🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Bağlaçlar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Bağlaçlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
"ve" (\( \land \)) ve "veya" (\( \lor \)) bağlaçları ile ilgili verilen aşağıdaki bileşik önermenin doğruluk değerini bulunuz:
\( p \equiv 1 \)
\( q \equiv 0 \)
Olduğuna göre, \( (p \land q) \lor p' \) önermesinin sonucu nedir?
\( p \equiv 1 \)
\( q \equiv 0 \)
Olduğuna göre, \( (p \land q) \lor p' \) önermesinin sonucu nedir?
Çözüm:
Verilen değerleri adım adım yerlerine koyalım:
- Öncelikle \( p \equiv 1 \) ise \( p' \equiv 0 \) olur.
- Parantez içindeki işlemi yapalım: \( (p \land q) \Rightarrow (1 \land 0) \equiv 0 \) (Çünkü "ve" bağlacında bir tane bile 0 varsa sonuç 0 olur).
- Şimdi dışarıdaki "veya" işlemini ekleyelim: \( 0 \lor p' \Rightarrow 0 \lor 0 \equiv 0 \).
Örnek 2:
De Morgan Kuralları'nı kullanarak aşağıdaki önermenin en sade halini bulunuz:
\( [p \lor (q \land p)]' \land p \)
\( [p \lor (q \land p)]' \land p \)
Çözüm:
Adım adım sadeleştirme yapalım:
- Öncelikle parantez içindeki "Yutma Özelliği"ni fark edelim: \( p \lor (q \land p) \equiv p \) olur.
- Eğer bu özelliği hatırlamıyorsak dağılma özelliği de yapabiliriz ancak yutma özelliği en kısa yoldur.
- İfademiz şu hale geldi: \( p' \land p \).
- Bir önermenin değili ile kendisinin "ve" bağlacı ile işleme girmesi her zaman 0 sonucunu verir.
Örnek 3:
"Ya da" (\( \underline{\lor} \)) bağlacı ile ilgili verilen aşağıdaki ifadenin değerini hesaplayınız:
\( (1 \underline{\lor} 1) \underline{\lor} (0 \underline{\lor} 1) \)
\( (1 \underline{\lor} 1) \underline{\lor} (0 \underline{\lor} 1) \)
Çözüm:
"Ya da" bağlacında bileşenlerin doğruluk değerleri farklı ise sonuç 1, aynı ise sonuç 0 olur.
- Birinci parantez: \( (1 \underline{\lor} 1) \equiv 0 \) (Aynı oldukları için).
- İkinci parantez: \( (0 \underline{\lor} 1) \equiv 1 \) (Farklı oldukları için).
- Şimdi çıkan sonuçları tekrar "ya da" ile bağlayalım: \( 0 \underline{\lor} 1 \).
- Değerler farklı olduğu için sonuç 1 olur.
Örnek 4:
"İse" (\( \Rightarrow \)) bağlacı içeren aşağıdaki önerme yanlış olduğuna göre, \( p, q \) ve \( r \) önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz:
\( (p \land q') \Rightarrow r \equiv 0 \)
\( (p \land q') \Rightarrow r \equiv 0 \)
Çözüm:
"İse" bağlacının sonucunun 0 (yanlış) çıkması için tek bir durum vardır: 1 \(\Rightarrow\) 0 durumu.
- Bu durumda; \( (p \land q') \equiv 1 \) ve \( r \equiv 0 \) olmalıdır.
- \( (p \land q') \equiv 1 \) olması için "ve" bağlacı kuralı gereği her iki tarafın da 1 olması gerekir.
- Buradan \( p \equiv 1 \) ve \( q' \equiv 1 \) bulunur.
- \( q' \equiv 1 \) ise \( q \equiv 0 \) olur.
- \( p \equiv 1 \)
- \( q \equiv 0 \)
- \( r \equiv 0 \)
Örnek 5:
Bir akıllı ev sisteminde ışıkların yanması için şu kural tanımlanmıştır:
"Işıkların yanması (\( s \)) için; sensörün hareket algılaması (\( p \)) veya anahtarın açık olması (\( q \)) gerekir. Ancak, gece modu aktifse (\( r \)), bu şartlar sağlansa bile sistemin çalışması için gece modunun kapalı olması (\( r' \)) şarttır."
Bu durumu ifade eden mantıksal bileşik önermeyi yazınız.
"Işıkların yanması (\( s \)) için; sensörün hareket algılaması (\( p \)) veya anahtarın açık olması (\( q \)) gerekir. Ancak, gece modu aktifse (\( r \)), bu şartlar sağlansa bile sistemin çalışması için gece modunun kapalı olması (\( r' \)) şarttır."
Bu durumu ifade eden mantıksal bileşik önermeyi yazınız.
Çözüm:
Sözel ifadeyi adım adım matematiksel sembollere dökelim:
- Hareket algılanması veya anahtarın açık olması: \( (p \lor q) \)
- Bu durumun gerçekleşmesi ile beraber gece modunun kapalı olması şartı (ve bağlacı): \( \land r' \)
- Tüm bu koşullar sağlandığında ışıklar yanar: \( s \)
Örnek 6:
Bir baba oğluna şu sözü veriyor:
"Takdir belgesi alırsan (\( p \)) sana bisiklet alacağım (\( q \))."
Hangi durumlarda babanın verdiği bu söz mantıksal olarak yalan (yanlış) sayılır?
"Takdir belgesi alırsan (\( p \)) sana bisiklet alacağım (\( q \))."
Hangi durumlarda babanın verdiği bu söz mantıksal olarak yalan (yanlış) sayılır?
Çözüm:
Bu bir "İse" (\( \Rightarrow \)) bağlacı örneğidir. \( p \Rightarrow q \) önermesini inceleyelim:
- Durum 1: Çocuk takdir alır (\( p \equiv 1 \)) ve baba bisiklet alır (\( q \equiv 1 \)). Sonuç: \( 1 \Rightarrow 1 \equiv 1 \) (Söz tutuldu).
- Durum 2: Çocuk takdir alamaz (\( p \equiv 0 \)) ve baba bisiklet alır (\( q \equiv 1 \)). Sonuç: \( 0 \Rightarrow 1 \equiv 1 \) (Baba jest yapmıştır, sözüne aykırı bir durum yoktur).
- Durum 3: Çocuk takdir alamaz (\( p \equiv 0 \)) ve baba bisiklet almaz (\( q \equiv 0 \)). Sonuç: \( 0 \Rightarrow 0 \equiv 1 \) (Şart gerçekleşmediği için söz bozulmamıştır).
- Durum 4: Çocuk takdir alır (\( p \equiv 1 \)) ama baba bisiklet almaz (\( q \equiv 0 \)). Sonuç: \( 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 \).
Örnek 7:
"Ancak ve ancak" (\( \Leftrightarrow \)) bağlacı ile ilgili verilen aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz:
\( (p \Leftrightarrow p') \lor (q \Leftrightarrow q) \)
\( (p \Leftrightarrow p') \lor (q \Leftrightarrow q) \)
Çözüm:
"Ancak ve ancak" bağlacında değerler aynı ise 1, farklı ise 0 sonucuna ulaşılır.
- Birinci parantez: \( p \Leftrightarrow p' \). Bir önerme ile değili her zaman farklı değerlere sahiptir. Bu yüzden sonuç 0 olur.
- İkinci parantez: \( q \Leftrightarrow q \). Bir önerme kendisiyle her zaman aynı değere sahiptir. Bu yüzden sonuç 1 olur.
- İfade şuna dönüştü: \( 0 \lor 1 \).
- "Veya" bağlacında içinde bir tane 1 olması sonucu 1 yapmaya yeterlidir.
Örnek 8:
Bir bilgisayar algoritması, girilen \( x \) sayısı için şu önermeleri kontrol ediyor:
\( p: x > 10 \)
\( q: x \) çift sayıdır.
Algoritma \( p' \land q \) önermesi doğru (1) olduğunda "UYGUN" çıktısı veriyor.
Buna göre; 7, 10 ve 12 sayılarından hangileri girildiğinde algoritma "UYGUN" çıktısı verir?
\( p: x > 10 \)
\( q: x \) çift sayıdır.
Algoritma \( p' \land q \) önermesi doğru (1) olduğunda "UYGUN" çıktısı veriyor.
Buna göre; 7, 10 ve 12 sayılarından hangileri girildiğinde algoritma "UYGUN" çıktısı verir?
Çözüm:
\( p' \land q \equiv 1 \) olması için hem \( p' \equiv 1 \) hem de \( q \equiv 1 \) olmalıdır.
- \( p' \equiv 1 \) olması için \( p \equiv 0 \) olmalıdır. Yani \( x > 10 \) ifadesi yanlış olmalı (\( x \leq 10 \)).
- \( q \equiv 1 \) olması için \( x \) çift sayı olmalıdır.
- Şimdi sayıları inceleyelim:
- x = 7 için: \( 7 \leq 10 \) (Doğru) ama 7 çift değil (Yanlış). Sonuç: \( 1 \land 0 \equiv 0 \).
- x = 10 için: \( 10 \leq 10 \) (Doğru) ve 10 çift sayıdır (Doğru). Sonuç: \( 1 \land 1 \equiv 1 \).
- x = 12 için: \( 12 \leq 10 \) (Yanlış) ve 12 çift sayıdır (Doğru). Sonuç: \( 0 \land 1 \equiv 0 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-baglaclar/sorular