💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmik yapılar içinde mantık bağlaçları ve nicelikler Çözümlü Örnekler

Bu tür sorularda, verilen önermeleri sembollerle ifade edip aralarındaki bağlacı doğru seçmemiz gerekir.

• p önermesi: "Bugün hava güneşli."
• q önermesi: "Pikniğe gideceğiz."
• İstenen önerme: "Bugün hava güneşli VE pikniğe gideceğiz."
• Burada kullanılan bağlaç "VE"dir.
• Mantıkta "VE" bağlacı 'land' sembolü ile gösterilir.

Sonuç olarak, istenen önerme p ∧ q şeklinde gösterilir. 💡

Bu soruda da verilen önermeleri ve aralarındaki bağlacı doğru tespit etmeliyiz.

• a önermesi: "Sınavdan yüksek not aldım."
• b önermesi: "Öğretmenim beni tebrik etti."
• İstenen önerme: "Sınavdan yüksek not aldım VEYA öğretmenim beni tebrik etti."
• Burada kullanılan bağlaç "VEYA"dır.
• Mantıkta "VEYA" bağlacı 'lor' sembolü ile gösterilir.

Dolayısıyla, istenen önerme a ∨ b şeklinde gösterilir. ✅

Önermelerin doğruluğunu teker teker değerlendirelim:

• p: "Her tam sayı çifttir." Bu önerme yanlıştır. Çünkü tek tam sayılar da vardır (örneğin 3, 5, 7). "Her" niceleyicisiyle verilen bir önermenin doğru olması için tüm durumları sağlaması gerekir. ❌
• q: "Bazı asal sayılar tektir." Bu önerme doğrudur. Asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11... şeklindedir. Bu sayılardan 3, 5, 7, 11 gibi pek çok tek sayı vardır. "Bazı" niceleyicisiyle verilen bir önermenin doğru olması için en az bir durumun sağlanması yeterlidir. ✅
• r: "Her dik üçgenin bir dik açısı vardır." Bu önerme doğrudur. Dik üçgenin tanımı gereği bir açısı 90 derecedir, yani dik açıdır. "Her" niceleyicisi burada tanımı ifade ettiği için doğrudur. ✅

Sonuç olarak, q ve r önermeleri doğrudur. 👉

"İse" bağlacının (koşullu önerme) doğruluk tablosunu hatırlayalım.
"p ise q" önermesi, yalnızca p doğru iken q yanlış olduğunda yanlış olur. Diğer tüm durumlarda doğrudur.

Şimdi önermelerimizin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• p: "5 asal sayıdır." Bu önerme doğrudur. 5, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen bir sayıdır. (Doğru)
• q: "5 tek sayıdır." Bu önerme de doğrudur. 5, 2'ye tam bölünemeyen bir sayıdır. (Doğru)

p doğru ve q doğru olduğuna göre, "p ise q" önermesi doğrudur. 💡

Bu soruda, verilen önermenin denk olduğu önermeyi bulmak için De Morgan kurallarını kullanacağız.
De Morgan kurallarına göre:

• \( \neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q \)
• \( \neg (p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q \)

Verilen önermemiz \( \neg (p \land q) \) şeklindedir. Bu ifadeye De Morgan kurallarının ilkini uygularsak:
\( \neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q \) elde ederiz.

Yani, \( \neg (p \land q) \) önermesi, \( \neg p \lor \neg q \) önermesine denktir. ✅

Bu soruda, verilen bilgileri mantıksal ifadelerle temsil edip, Ali'nin çay içtiği bilgisini kullanarak diğer olasılıkları değerlendireceğiz.

Verilenler:

• Ali için: \( p \lor q \) (Ali çay veya kahve içmiştir.)
• Ayşe için: \( \neg r \implies s \) (Ayşe çay içmediyse kahve içmiştir.)
• Can için: \( t \implies u \) (Can kahve içtiyse çay içmiştir.)

Ek Bilgi: Ali çay içmiştir. Yani p önermesi doğrudur. 📌

Şimdi Ali'nin durumuyla ilgili önermeyi inceleyelim: \( p \lor q \).
Eğer p doğru ise, \( p \lor q \) önermesi doğru olmak zorundadır. Bu durumda q (Ali kahve içmiştir) önermesinin doğruluğu hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz. Ali hem çay hem de kahve içmiş olabilir (bu durumda \( p \land q \) doğru olur) veya sadece çay içmiş olabilir (bu durumda \( p \land \neg q \) doğru olur).

Ali'nin çay içtiği bilgisi, Ayşe ve Can'ın siparişleri hakkında herhangi bir doğrudan ilişki kurmamızı sağlamaz. Ayşe ve Can'ın siparişleri kendi içlerinde değerlendirilir.

Dolayısıyla, Ali'nin çay içtiği bilgisiyle Ayşe ve Can'ın siparişleri hakkında kesin bir yargıya varılamaz. Sadece Ali'nin çay içtiği bilgisi kesinleşmiş olur. 🤔

Bu günlük hayat örneğini mantık bağlaçları ile ifade etmek, kuralları anlamamıza yardımcı olur.

Önermeleri tanımlayalım:

• p: "Trafik lambası kırmızıdır."
• q: "Durmalıyız."

İstenen önerme: "Eğer trafik lambası kırmızıysa, durmalıyız."
Bu ifade, "ise" bağlacı ile kurulmuş bir koşullu önermedir. Mantık dilinde bu ifade p → q şeklinde gösterilir. 🚦

Bu önermenin doğruluk tablosu gereği, trafik lambası kırmızı iken durmamamız (p doğru iken q yanlış olması) mümkün değildir. Diğer durumlarda (kırmızı değilken durmak veya kırmızı değilken geçmek gibi) önerme doğru kabul edilir. Bu da trafikteki kuralın mantıksal karşılığıdır. ✅

Bu alışveriş kuralını mantık bağlaçları kullanarak daha net ifade edebiliriz.

Önermeleri tanımlayalım:

• p: "Sepetteki ürün sayısı 10'dan fazladır."
• q: "Toplam tutar 200 TL'den fazladır."
• r: "%10 indirim kazanırsınız."

Verilen kural: "Eğer sepetteki ürün sayısı 10'dan fazlaysa VE toplam tutar 200 TL'den fazlaysa, %10 indirim kazanırsınız."

Bu kuralı mantık sembolleriyle şu şekilde ifade edebiliriz:
(p ∧ q) → r

Bu ifade şunu anlatır: Eğer hem ürün sayısı 10'dan fazlaysa (p doğru) hem de toplam tutar 200 TL'den fazlaysa (q doğru), o zaman %10 indirim kazanılır (r doğru). Eğer bu iki koşuldan biri veya ikisi birden sağlanmazsa, bu "ise" önermesi yine de doğru kabul edilir (çünkü indirim kazanılmaması durumu, kuralın ihlal edildiği anlamına gelmez, sadece indirim kazanılmadığı anlamına gelir). 🛍️💰

"Ancak ve ancak" bağlacı (çift gerektirme), iki önermenin aynı doğruluk değerine sahip olması durumunda doğru olan bir önermedir.

\( p \iff q \) önermesi, aşağıdaki iki koşullu önermenin "VE" ile bağlanmış haline denktir:
\( (p \implies q) \land (q \implies p) \)

Bunu şöyle açıklayabiliriz:

• \( p \implies q \): Eğer p doğruysa, q da doğrudur.
• \( q \implies p \): Eğer q doğruysa, p de doğrudur.

Bu iki koşul birlikte sağlandığında, p ve q'nun aynı doğruluk değerine sahip olduğu anlamına gelir. Yani, ikisi de doğruysa veya ikisi de yanlışsa \( p \iff q \) önermesi doğrudur. 💡