💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmik Yapılar İçerisindeki Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler Çözümlü Örnekler

Öncelikle niceleyicileri hatırlayalım:

• "Her" niceleyicisi (∀): Bir kümedeki tüm elemanlar için geçerli olan ifadeleri belirtir.
• "Bazı" niceleyicisi (∃): Bir kümedeki en az bir eleman için geçerli olan ifadeleri belirtir.

Şimdi önermelerin doğruluk değerlerini inceleyelim:

• p: "Her tam sayı çifttir." Bu önerme yanlıştır. Çünkü tek sayılar da tam sayıdır (örneğin 3 tek bir tam sayıdır ve çift değildir). Dolayısıyla ∀x ∈ ℤ, x çifttir. ifadesi yanlıştır.
• q: "Bazı asal sayılar tektir." Bu önerme doğrudur. Çünkü 3, 5, 7 gibi birçok tek asal sayı vardır. En az bir tane tek asal sayı olması bu önermeyi doğru yapar. Dolayısıyla ∃x ∈ Asal Sayılar, x tektir. ifadesi doğrudur.

Sonuç olarak:
p önermesi Yanlış (Y)
q önermesi Doğru (D)
dir. ✅

Mantık bağlaçlarını ve doğruluk değerlerini hatırlayalım:

• ∧ (ve): İki önerme de doğru ise sonuç doğrudur.
• ∨ (veya): En az bir önerme doğru ise sonuç doğrudur.
• ⇒ (ise): Birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlış ise sonuç yanlıştır. Diğer durumlarda doğrudur.
• ⇔ (ancak ve ancak): İki önermenin doğruluk değerleri aynı ise sonuç doğrudur. Farklı ise yanlıştır.

Verilen önermeler:
p: "5 tek sayıdır." (Doğru - D)
q: "3 çift sayıdır." (Yanlış - Y)
Şimdi mantık bağlaçlarını uygulayalım:

• p ∧ q: D ∧ Y = Y (Yanlış)
• p ∨ q: D ∨ Y = D (Doğru)
• p ⇒ q: D ⇒ Y = Y (Yanlış)
• p ⇔ q: D ⇔ Y = Y (Yanlış)

Sonuçlar:
p ∧ q: Yanlış
p ∨ q: Doğru
p ⇒ q: Yanlış
p ⇔ q: Yanlış
Unutmayın, mantık bağlaçları algoritmaların temelini oluşturur! 💡

Bu durumu ifade etmek için "ise" (⇒) mantık bağılacını kullanırız.
"Eğer p doğru ise, q da doğrudur." ifadesi, p ⇒ q şeklinde yazılır.
Bu, p önermesi doğru olduğunda q önermesinin de doğru olmasını gerektirir. Eğer p doğru olup q yanlış olursa, bu koşul sağlanmamış olur.
Örneğimizde:
p: "Kullanıcının yaşı 18'den büyüktür."
q: "Kullanıcı reşittir."
Eğer kullanıcının yaşı 18'den büyükse (p doğru ise), o zaman kullanıcı reşittir (q doğrudur). Bu durum p ⇒ q olarak ifade edilir.
Bu tür koşullu ifadeler, programlama dillerinde 'if-then' yapılarını oluşturur. ✅

İki sayının toplamının tek olması için sayılardan birinin tek, diğerinin ise çift olması gerekir. Bunu mantık bağlaçları ile ifade edelim:

• Durum 1: Birinci sayı tek (p doğru) VE İkinci sayı çift (q yanlış).
• Durum 2: Birinci sayı çift (p yanlış) VE İkinci sayı tek (q doğru).

Bu iki durumu birleştiren ana mantık bağılacı "veya" (∨) olacaktır.
Yani, toplamın tek olması için aşağıdaki koşul sağlanmalıdır:
(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
Burada:

• ¬q: "İkinci sayı çiftir." (q'nun değili)
• ¬p: "Birinci sayı çifttir." (p'nin değili)

Bu ifade, özel veya (XOR) bağlacına benzer. Anlamı: "ya birinci sayı tek ve ikinci sayı çift, ya da birinci sayı çift ve ikinci sayı tek olmalıdır."
Bu, algoritmada doğru kararlar vermek için önemlidir. 💡

Oyuncuya ödül verilebilmesi için her iki önermenin de aynı anda doğru olması gerekmektedir. Bu durumu ifade etmek için "ve" (∧) mantık bağılacını kullanırız.
Koşul şu şekilde ifade edilir:
p ∧ q
Bu demektir ki:

• Eğer p doğru ise (Oyuncu seviye 5'i geçti)
• VE
• Eğer q doğru ise (Oyuncu 1000 puan topladı)

Ancak o zaman oyuncuya ödül verilir. Eğer bu koşullardan biri veya her ikisi de sağlanmazsa, ödül verilmez. ✅
Bu, algoritmada "AND" kapıları gibi çalışır.

Bu durumda, indirim kuponu gönderilmesi için iki koşuldan en az birinin doğru olması yeterlidir. Bu durumu ifade etmek için "veya" (∨) mantık bağılacını kullanırız.
Koşul şu şekilde ifade edilir:
p ∨ q
Bu demektir ki:

• Eğer p doğru ise (Kullanıcı VIP müşteridir)
• VEYA
• Eğer q doğru ise (Kullanıcı son bir ayda en az 3 alışveriş yapmıştır)

Bu iki durumdan herhangi biri gerçekleştiğinde indirim kuponu gönderilecektir. Eğer hem VIP müşteri değilse hem de yeterli sayıda alışveriş yapmamışsa kupon gönderilmez. 💡
Bu, algoritmada "OR" kapısı mantığına benzer.

Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:
a: "En küçük asal sayı 2'dir." → Doğru (D)
b: "Her tek sayı asaldır." → Yanlış (Y) (Örneğin 9 tek bir sayıdır ama asal değildir.)
c: "Bazı çift sayılar 10'dan büyüktür." → Doğru (D) (Örneğin 12, 14 gibi sayılar çift ve 10'dan büyüktür.)
Şimdi (a ∧ b) ∨ c önermesini adım adım hesaplayalım:

• Adım 1: a ∧ b işlemini yapalım.
  D ∧ Y = Y (Yanlış)
  Bu, "En küçük asal sayı 2'dir VE her tek sayı asaldır." önermesinin yanlış olduğunu gösterir.
• Adım 2: Elde ettiğimiz sonucu c önermesi ile birleştirelim.
  (a ∧ b) ∨ c = Y ∨ D
  Y ∨ D = D (Doğru)
  Bu, "(En küçük asal sayı 2'dir VE her tek sayı asaldır) VEYA bazı çift sayılar 10'dan büyüktür." önermesinin doğru olduğunu gösterir.

Sonuç olarak, (a ∧ b) ∨ c önermesinin doğruluk değeri Doğru (D)'dur. ✅

Evet, bu bilgiyi "ise" bağlacı ile ifade edebiliriz. Ancak burada dikkatli olmalıyız.
Öğrencinin sınavdan geçmesi için koşul şudur: p ∨ q (Matematik notu 50'den yüksek VEYA Fen bilimleri notu 60'tan yüksek).
Eğer öğrencinin sınavdan geçtiği biliniyorsa, bu şu anlama gelir: p ∨ q önermesi Doğru'dur (D).
Şimdi bu bilgiyi "ise" bağlacı ile ifade etmeye çalışalım. Bir önermenin doğru olduğunu bildiğimizde, bunu bir koşulun sonucu olarak ifade edebiliriz.
Örneğin, "Eğer öğrenci matematikten 50'den yüksek alırsa, o zaman sınavdan geçer." ifadesi p ⇒ (p ∨ q) şeklinde yazılabilir. Bu ifade her zaman doğrudur çünkü p doğru olduğunda p ∨ q da doğru olur.
Ancak, öğrencinin geçtiğini bilmek (p ∨ q'nun doğru olduğunu bilmek), tek başına bize p veya q hakkında kesin bir bilgi vermez. Örneğin, öğrenci sadece matematikten geçmiş olabilir (p doğru, q yanlış) veya sadece fenden geçmiş olabilir (p yanlış, q doğru) veya her ikisinden de geçmiş olabilir (p doğru, q doğru).
Bu nedenle, "Öğrencinin sınavdan geçtiği biliniyor." ifadesini, tek bir "ise" bağlacı ile başka bir önermeye bağlamak doğrudan anlamlı olmayabilir. Ancak, eğer bir öncül (hipotez) eklersek, örneğin:
"Eğer öğrenci matematikten 50'den yüksek alırsa (p doğru ise), o zaman sınavdan geçer (p ∨ q doğru olur)."
Bu, p ⇒ (p ∨ q) şeklinde yazılır ve mantıksal olarak doğrudur. ✅
Bu tür ifadeler, mantıksal çıkarım yaparken kullanılır.