💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmik yapılar içerisinde mantık bağlaçları ve niceleyiciler Çözümlü Örnekler

Bu soruda temel mantık ifadelerinin doğruluk değerlerini inceleyeceğiz.

• a) "Her tam sayı çifttir." Bu ifade yanlıştır. Çünkü tek sayılar da tam sayıdır (örneğin 3, 5 gibi). Bu nedenle doğruluk değeri Y'dir.
• b) "Bazı negatif sayılar pozitiftir." Bu ifade yanlıştır. Negatif sayılar tanım gereği pozitif olamaz. Bu nedenle doğruluk değeri Y'dir.
• c) \( 2 + 3 = 5 \) Bu matematiksel işlem doğrudur. Bu nedenle doğruluk değeri D'dir.
• d) "Bir hafta 8 gündür." Bu ifade yanlıştır. Bir hafta 7 gündür. Bu nedenle doğruluk değeri Y'dir.

💡 Unutmayın, bir önermenin doğru olması için her zaman doğru olması gerekir. Yanlış olması için ise en az bir karşı örnek yeterlidir.

Önermeleri tek tek inceleyelim:

• p: "Tüm asal sayılar tektir." Bu önerme yanlıştır. Çünkü 2 sayısı hem asal hem de çift bir sayıdır. Bu nedenle niceleyici "Tüm" olmasına rağmen önerme Y'dir.
• q: "Her dik üçgenin bir dik açısı vardır." Bu önerme doğrudur. Dik üçgenin tanımı gereği bir açısı 90 derecedir. Bu nedenle doğruluk değeri D'dir.
• r: "Her kare bir dikdörtgendir." Bu önerme doğrudur. Kare, tüm kenar uzunlukları eşit ve tüm iç açıları 90 derece olan bir dörtgendir. Dikdörtgenin tanımına da uyar. Bu nedenle doğruluk değeri D'dir.

👉 Niceleyiciler (tüm, bazı) önermelerin kapsamını belirler ve doğruluk değerini etkiler.

Verilen önermelerin doğruluk değerlerini kullanarak bileşik önermeleri hesaplayalım:

• 1) \( p \land q \)
• p'nin doğruluk değeri Y.
• q'nun doğruluk değeri Y.
• "ve" ( \( \land \) ) bağlacında her iki önerme de doğru ise sonuç doğrudur. Diğer durumlarda yanlıştır.
• \( Y \land Y \) sonucu Y'dir.
• 2) \( p \lor r \)
• p'nin doğruluk değeri Y.
• r'nin doğruluk değeri D.
• "veya" ( \( \lor \) ) bağlacında en az bir önerme doğru ise sonuç doğrudur.
• \( Y \lor D \) sonucu D'dir.
• 3) \( \lnot q \)
• q'nun doğruluk değeri Y.
• "değil" ( \( \lnot \) ) bağlacı önermenin doğruluk değerini tersine çevirir.
• \( \lnot Y \) sonucu D'dir.
• 4) \( r \implies p \)
• r'nin doğruluk değeri D.
• p'nin doğruluk değeri Y.
• "ise" ( \( \implies \) ) bağlacında ilk önerme doğru, ikinci önerme yanlış ise sonuç yanlıştır. Diğer durumlarda doğrudur.
• \( D \implies Y \) sonucu Y'dir.

📌 Mantık bağlaçlarının (ve, veya, değil, ise) doğruluk tablolarını hatırlamak bu tür soruları çözmek için çok önemlidir.

Öncelikle verilen koşulu mantıksal bir ifade ile yazalım:

• Koşulun ilk kısmı: "Telefonun hafızası en az 128 GB'dır." Bu önermeyi p ile temsil ediyoruz.
• Koşulun ikinci kısmı: "(telefonun kamerası 48 MP'dir VEYA ekranı AMOLED teknolojisine sahiptir)." Bu kısım \( q \lor r \) olarak ifade edilir.
• Bu iki kısmın "VE" bağlacı ile birleşmesi isteniyor.

Dolayısıyla, istenen mantıksal ifade şudur: \( p \land (q \lor r) \)

Şimdi verilen doğruluk değerleriyle bu ifadenin doğruluk değerini hesaplayalım:

• p = D
• q = Y
• r = D

Önce parantez içini hesaplayalım: \( q \lor r \)

• \( Y \lor D \) sonucu D'dir.

Şimdi ana ifadeyi hesaplayalım: \( p \land (q \lor r) \)

• \( D \land D \) sonucu D'dir.

✅ Sonuç olarak, bu koşul Doğru'dur.

Bu kampanya koşulunu doğru bir şekilde ifade etmek için mantık bağlaçlarının öncelik sırasını ve anlamını bilmemiz gerekir.

Kampanyanın mantığı şudur: Belirli iki şartın (en az 2 ürün almak VE ürünlerden birinin süt olması) gerçekleşmesi durumunda, bir sonuç (indirim kazanılması) ortaya çıkar.

• "Eğer ... ise ..." yapısı, "ise" ( \( \implies \) ) bağlacı ile ifade edilir.
• "VE" bağlacı ( \( \land \) ) birden fazla koşulun aynı anda gerçekleşmesini gerektirir.

Burada, indirim kazanılmasının ön koşulu, hem "en az 2 ürün alınması" hem de "alınan ürünlerden birinin süt olması"dır. Bu iki koşul birlikte, indirim kazanılmasının "öncülü"nü oluşturur.

Bu nedenle, "en az 2 ürün alınması" (a) ile "alınan ürünlerden birinin süt olması" (b) önermeleri önce "VE" bağlacı ile birleştirilmelidir. Bu birleşim, indirim kazanılmasının (c) öncülünü oluşturur.

Yani, doğru ifade şudur: \( (a \land b) \implies c \)

Neden?

• Eğer \( a \land b \implies c \) şeklinde yazsaydık, bu şu anlama gelirdi: "Eğer 'a' doğru ise, o zaman 'b' doğruysa 'c' doğrudur." Bu, kampanya mantığına uymaz.
• \( (a \land b) \implies c \) ifadesi ise tam olarak şöyledir: "Eğer 'a' VE 'b' doğru ise, o zaman 'c' doğrudur." Bu, kampanya koşulunu doğru bir şekilde ifade eder.

💡 Parantezler, işlemlerin hangi sırayla yapılacağını belirlemede çok önemlidir.

Niceleyicili önermeleri anlayıp yorumlamak, matematiksel dili çözmenin anahtarıdır.

• 1) \( \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \ge 0 \)
• Türkçe Karşılığı: "Her tam sayı ( \( x \in \mathbb{Z} \) ) için, karesi ( \( x^2 \) ) sıfırdan büyük veya eşittir ( \( \ge 0 \) )."
• Doğruluk Değeri: Bu ifade Doğru'dur (D). Çünkü herhangi bir tam sayının karesi (pozitif, negatif veya sıfır) hiçbir zaman negatif olamaz.
• 2) \( \exists y \in \mathbb{R}, y+5 = 3 \)
• Türkçe Karşılığı: "Reel sayılar ( \( y \in \mathbb{R} \) ) kümesinde öyle bir 'y' sayısı vardır ki, y artı 5 eşittir 3'tür ( \( y+5 = 3 \) )."
• Doğruluk Değeri: Bu ifade Doğru'dur (D). Çünkü \( y = -2 \) olduğunda \( -2 + 5 = 3 \) denklemi sağlanır ve -2 reel bir sayıdır.
• 3) \( \forall n \in \mathbb{N}, n > 0 \)
• Türkçe Karşılığı: "Her doğal sayı ( \( n \in \mathbb{N} \) ) sıfırdan büyüktür ( \( n > 0 \) )."
• Doğruluk Değeri: Bu ifade Yanlış'tır (Y). Çünkü doğal sayılar kümesi ( \( \mathbb{N} \) ) genellikle 0'ı da içerir ( \( \{0, 1, 2, ...\} \) ). Eğer 0 doğal sayı kabul edilirse, 0 sıfırdan büyük değildir.

👉 Semboller: \( \forall \) (Her, tüm), \( \exists \) (Bazı, en az bir), \( \in \) (elemanıdır), \( \mathbb{Z} \) (Tam sayılar), \( \mathbb{R} \) (Reel sayılar), \( \mathbb{N} \) (Doğal sayılar).

Önce verilen önermelerin doğruluk değerlerini tek tek belirleyelim:

• p: "Her çift sayı 2'ye tam bölünür."
• Bu ifade Doğru'dur (D). Çift sayıların tanımı gereği 2'ye tam bölünürler.
• q: "Bazı tek sayılar 5 ile tam bölünür."
• Bu ifade Doğru'dur (D). Örneğin 5, 15, 25 gibi tek sayılar 5 ile tam bölünür. "Bazı" niceleyicisi olduğu için en az bir örnek yeterlidir.
• r: "Her dik yamuğun iki dik açısı vardır."
• Bu ifade Doğru'dur (D). Dik yamuğun tanımı gereği, paralel olmayan kenarlarından biri diğerine diktir ve bu da iki tane 90 derecelik açı oluşturur.

Şimdi \( (p \lor q) \implies \lnot r \) önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım:

• \( p \lor q \)
• \( D \lor D \) sonucu D'dir.
• \( \lnot r \)
• \( \lnot D \) sonucu Y'dir.
• \( (p \lor q) \implies \lnot r \)
• \( D \implies Y \) sonucu Y'dir.

✅ Bu karmaşık önermenin doğruluk değeri Yanlış'tır.

Oyun kuralını adım adım mantıksal bir ifadeye dökelim:

• "Eğer ... o zaman ..." yapısı "ise" ( \( \implies \) ) bağlacı ile ifade edilir.
• "VE" bağlacı ( \( \land \) )
• "VEYA" bağlacı ( \( \lor \) )

Kuralın öncülü şudur: "Karakter ileri hareket ediyor VE zıplıyor VEYA saldırıyor."

• "Karakter ileri hareket ediyor VE zıplıyor" ifadesi \( p \land q \) olarak yazılır.
• Bu ifadenin "saldırıyor" (r) önermesiyle "VEYA" bağlacı ile birleşmesi isteniyor.
• Burada dikkat edilmesi gereken nokta, "VE" bağlacının "VEYA" bağlacından önceliğidir. Eğer parantez kullanılmazsa, \( p \land q \lor r \) ifadesinde \( p \land q \) önce işlem görür. Ancak kural metninde "ileri hareket ediyor VE zıplıyor" ifadesi bir bütün olarak ele alınıp, bu bütünün "saldırıyor" ile "VEYA"landığı anlaşılıyor. Bu nedenle parantez kullanmak daha doğru olacaktır.
• Yani öncül: \( (p \land q) \lor r \)

Kuralın sonucu şudur: "Karakterin canı azalır." Bu ifadeyi de 's' ile temsil edelim (s: "Karakterin canı azalır").

Bu durumda, oyun kuralının mantıksal ifadesi şöyledir: \( ((p \land q) \lor r) \implies s \)

Şimdi verilen doğruluk değerleriyle ifadenin doğruluk değerini hesaplayalım (karakterin canının azalması 's' önermesinin doğru olduğunu varsayalım, yani s=D):

• p = D
• q = Y
• r = D
• s = D (can azalır varsayımı)

Önce parantez içini hesaplayalım: \( p \land q \)

• \( D \land Y \) sonucu Y'dir.

Şimdi \( (p \land q) \lor r \) ifadesini hesaplayalım:

• \( Y \lor D \) sonucu D'dir.

Son olarak ana ifadeyi hesaplayalım: \( D \implies D \)

• \( D \implies D \) sonucu D'dir.

✅ Evet, bu durumda karakterin canı azalır.

Sorunun mantıksal yapısını analiz edelim:

• "Eğer ... o zaman ..." yapısı "ise" ( \( \implies \) ) bağlacı ile ifade edilir.
• "VE" bağlacı ( \( \land \) )

Sorunun öncülü şudur: "bugün hava güneşli ise VE bugün sinemaya gideceksem". Bu, iki önermenin "VE" ile birleştirilmesidir.

Ancak sorunun yapısı "Eğer [koşul1] VE [koşul2] ise, o zaman [sonuç]" şeklindedir. Burada "koşul1" p, "koşul2" ise q'dur.

Sorulan soru aslında şudur: "p VE q" bağlacının seçilmesi durumunda, "Eğer p doğru ise VE q doğru ise, o zaman p VE q doğru mudur?"

Bu sorunun mantıksal ifadesi: \( (p \land q) \implies (p \land q) \)

Şimdi verilen doğruluk değerleriyle bu ifadenin doğruluk değerini hesaplayalım:

• p = D
• q = D

Önce parantez içini hesaplayalım: \( p \land q \)

• \( D \land D \) sonucu D'dir.

Şimdi ana ifadeyi hesaplayalım: \( D \implies D \)

• \( D \implies D \) sonucu D'dir.

✅ Evet, eğer bugün hava güneşli ise ve sinemaya gidilecekse, o zaman ikisinin de gerçekleştiği doğrudur.

💡 Bu tür \( A \implies A \) şeklindeki önermeler her zaman doğrudur (totoloji).

Önermeleri ve niceleyicilerini inceleyelim:

• 1) "Her öğrenci dersi dikkatle dinlemelidir."
• Niceleyici: "Her" kelimesi Evrensel Niceleyici'dir ( \( \forall \) ).
• Sözel Karşılık: Bu önerme, tüm öğrencilerin dersi dikkatle dinlemesi gerektiğini ifade eder.
• 2) "Bazı sayılar çifttir."
• Niceleyici: "Bazı" kelimesi Varoluşsal Niceleyici'dir ( \( \exists \) ).
• Sözel Karşılık: Bu önerme, sayılar kümesinde en az bir tane çift sayı olduğunu belirtir.
• 3) "Tüm kediler dört ayaklıdır."
• Niceleyici: "Tüm" kelimesi Evrensel Niceleyici'dir ( \( \forall \) ).
• Sözel Karşılık: Bu önerme, bütün kedilerin dört ayağı olduğunu ifade eder.

👉 Niceleyiciler, bir önermenin hangi küme elemanları için geçerli olduğunu belirtir.