💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmik yapılar içerisinde mantık bağlaçları ve niceleyiciler Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki ifadelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
a) "Her tam sayı çifttir."
b) "Bazı negatif sayılar pozitiftir."
c) \( 2 + 3 = 5 \)
d) "Bir hafta 8 gündür."
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda temel mantık ifadelerinin doğruluk değerlerini inceleyeceğiz.
a) "Her tam sayı çifttir." Bu ifade yanlıştır. Çünkü tek sayılar da tam sayıdır (örneğin 3, 5 gibi). Bu nedenle doğruluk değeri Y'dir.
b) "Bazı negatif sayılar pozitiftir." Bu ifade yanlıştır. Negatif sayılar tanım gereği pozitif olamaz. Bu nedenle doğruluk değeri Y'dir.
c) \( 2 + 3 = 5 \) Bu matematiksel işlem doğrudur. Bu nedenle doğruluk değeri D'dir.
d) "Bir hafta 8 gündür." Bu ifade yanlıştır. Bir hafta 7 gündür. Bu nedenle doğruluk değeri Y'dir.
💡 Unutmayın, bir önermenin doğru olması için her zaman doğru olması gerekir. Yanlış olması için ise en az bir karşı örnek yeterlidir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Verilen önermeler şunlardır:
p: "Tüm asal sayılar tektir."
q: "Her dik üçgenin bir dik açısı vardır."
r: "Her kare bir dikdörtgendir."
Bu önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz ve niceleyicilerin (tüm, bazı) etkisini gözlemleyiniz.
Çözüm ve Açıklama
Önermeleri tek tek inceleyelim:
p: "Tüm asal sayılar tektir." Bu önerme yanlıştır. Çünkü 2 sayısı hem asal hem de çift bir sayıdır. Bu nedenle niceleyici "Tüm" olmasına rağmen önerme Y'dir.
q: "Her dik üçgenin bir dik açısı vardır." Bu önerme doğrudur. Dik üçgenin tanımı gereği bir açısı 90 derecedir. Bu nedenle doğruluk değeri D'dir.
r: "Her kare bir dikdörtgendir." Bu önerme doğrudur. Kare, tüm kenar uzunlukları eşit ve tüm iç açıları 90 derece olan bir dörtgendir. Dikdörtgenin tanımına da uyar. Bu nedenle doğruluk değeri D'dir.
"ise" ( \( \implies \) ) bağlacında ilk önerme doğru, ikinci önerme yanlış ise sonuç yanlıştır. Diğer durumlarda doğrudur.
\( D \implies Y \) sonucu Y'dir.
📌 Mantık bağlaçlarının (ve, veya, değil, ise) doğruluk tablolarını hatırlamak bu tür soruları çözmek için çok önemlidir.
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir teknoloji mağazasında satılan akıllı telefonların özelliklerini inceleyen bir program yazılacaktır. Program, aşağıdaki önermeleri kullanarak filtreleme yapacaktır:
Kullanıcı, aşağıdaki koşulu sağlayan telefonları görmek istemektedir: "Telefonun hafızası en az 128 GB'dır VE (telefonun kamerası 48 MP'dir VEYA ekranı AMOLED teknolojisine sahiptir)."
Bu koşulu mantıksal bir ifade ile yazınız ve eğer p=D, q=Y, r=D ise bu koşulun doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle verilen koşulu mantıksal bir ifade ile yazalım:
Koşulun ilk kısmı: "Telefonun hafızası en az 128 GB'dır." Bu önermeyi p ile temsil ediyoruz.
Koşulun ikinci kısmı: "(telefonun kamerası 48 MP'dir VEYA ekranı AMOLED teknolojisine sahiptir)." Bu kısım \( q \lor r \) olarak ifade edilir.
Bu iki kısmın "VE" bağlacı ile birleşmesi isteniyor.
Dolayısıyla, istenen mantıksal ifade şudur: \( p \land (q \lor r) \)
Şimdi verilen doğruluk değerleriyle bu ifadenin doğruluk değerini hesaplayalım:
p = D
q = Y
r = D
Önce parantez içini hesaplayalım: \( q \lor r \)
\( Y \lor D \) sonucu D'dir.
Şimdi ana ifadeyi hesaplayalım: \( p \land (q \lor r) \)
\( D \land D \) sonucu D'dir.
✅ Sonuç olarak, bu koşul Doğru'dur.
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir markette indirim kampanyası yapılmaktadır. Kampanya koşulu şöyledir: "Eğer en az 2 ürün alırsanız VE bu ürünlerden biri süt ise, toplam tutardan 5 TL indirim kazanacaksınız."
Bu kampanya koşulunu mantık bağlaçları ile ifade edelim.
Önermeler:
a: "En az 2 ürün alındı."
b: "Alınan ürünlerden biri süt."
c: "Toplam tutardan 5 TL indirim kazanıldı."
Kampanya koşulunu \( a \land b \implies c \) şeklinde mi, yoksa \( (a \land b) \implies c \) şeklinde mi yazmalıyız? Neden?
Çözüm ve Açıklama
Bu kampanya koşulunu doğru bir şekilde ifade etmek için mantık bağlaçlarının öncelik sırasını ve anlamını bilmemiz gerekir.
Kampanyanın mantığı şudur: Belirli iki şartın (en az 2 ürün almak VE ürünlerden birinin süt olması) gerçekleşmesi durumunda, bir sonuç (indirim kazanılması) ortaya çıkar.
"Eğer ... ise ..." yapısı, "ise" ( \( \implies \) ) bağlacı ile ifade edilir.
"VE" bağlacı ( \( \land \) ) birden fazla koşulun aynı anda gerçekleşmesini gerektirir.
Burada, indirim kazanılmasının ön koşulu, hem "en az 2 ürün alınması" hem de "alınan ürünlerden birinin süt olması"dır. Bu iki koşul birlikte, indirim kazanılmasının "öncülü"nü oluşturur.
Bu nedenle, "en az 2 ürün alınması" (a) ile "alınan ürünlerden birinin süt olması" (b) önermeleri önce "VE" bağlacı ile birleştirilmelidir. Bu birleşim, indirim kazanılmasının (c) öncülünü oluşturur.
Yani, doğru ifade şudur: \( (a \land b) \implies c \)
Neden?
Eğer \( a \land b \implies c \) şeklinde yazsaydık, bu şu anlama gelirdi: "Eğer 'a' doğru ise, o zaman 'b' doğruysa 'c' doğrudur." Bu, kampanya mantığına uymaz.
\( (a \land b) \implies c \) ifadesi ise tam olarak şöyledir: "Eğer 'a' VE 'b' doğru ise, o zaman 'c' doğrudur." Bu, kampanya koşulunu doğru bir şekilde ifade eder.
💡 Parantezler, işlemlerin hangi sırayla yapılacağını belirlemede çok önemlidir.
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Aşağıdaki niceleyicili önermelerin Türkçe karşılıklarını yazınız ve doğruluk değerlerini belirleyiniz:
1) \( \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \ge 0 \)
2) \( \exists y \in \mathbb{R}, y+5 = 3 \)
3) \( \forall n \in \mathbb{N}, n > 0 \)
Çözüm ve Açıklama
Niceleyicili önermeleri anlayıp yorumlamak, matematiksel dili çözmenin anahtarıdır.
1) \( \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \ge 0 \)
Türkçe Karşılığı: "Her tam sayı ( \( x \in \mathbb{Z} \) ) için, karesi ( \( x^2 \) ) sıfırdan büyük veya eşittir ( \( \ge 0 \) )."
Doğruluk Değeri: Bu ifade Doğru'dur (D). Çünkü herhangi bir tam sayının karesi (pozitif, negatif veya sıfır) hiçbir zaman negatif olamaz.
2) \( \exists y \in \mathbb{R}, y+5 = 3 \)
Türkçe Karşılığı: "Reel sayılar ( \( y \in \mathbb{R} \) ) kümesinde öyle bir 'y' sayısı vardır ki, y artı 5 eşittir 3'tür ( \( y+5 = 3 \) )."
Doğruluk Değeri: Bu ifade Doğru'dur (D). Çünkü \( y = -2 \) olduğunda \( -2 + 5 = 3 \) denklemi sağlanır ve -2 reel bir sayıdır.
3) \( \forall n \in \mathbb{N}, n > 0 \)
Türkçe Karşılığı: "Her doğal sayı ( \( n \in \mathbb{N} \) ) sıfırdan büyüktür ( \( n > 0 \) )."
Doğruluk Değeri: Bu ifade Yanlış'tır (Y). Çünkü doğal sayılar kümesi ( \( \mathbb{N} \) ) genellikle 0'ı da içerir ( \( \{0, 1, 2, ...\} \) ). Eğer 0 doğal sayı kabul edilirse, 0 sıfırdan büyük değildir.
Bu önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz ve ardından \( (p \lor q) \implies \lnot r \) önermesinin doğruluk değerini hesaplayınız.
Çözüm ve Açıklama
Önce verilen önermelerin doğruluk değerlerini tek tek belirleyelim:
p: "Her çift sayı 2'ye tam bölünür."
Bu ifade Doğru'dur (D). Çift sayıların tanımı gereği 2'ye tam bölünürler.
q: "Bazı tek sayılar 5 ile tam bölünür."
Bu ifade Doğru'dur (D). Örneğin 5, 15, 25 gibi tek sayılar 5 ile tam bölünür. "Bazı" niceleyicisi olduğu için en az bir örnek yeterlidir.
r: "Her dik yamuğun iki dik açısı vardır."
Bu ifade Doğru'dur (D). Dik yamuğun tanımı gereği, paralel olmayan kenarlarından biri diğerine diktir ve bu da iki tane 90 derecelik açı oluşturur.
Şimdi \( (p \lor q) \implies \lnot r \) önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım:
\( p \lor q \)
\( D \lor D \) sonucu D'dir.
\( \lnot r \)
\( \lnot D \) sonucu Y'dir.
\( (p \lor q) \implies \lnot r \)
\( D \implies Y \) sonucu Y'dir.
✅ Bu karmaşık önermenin doğruluk değeri Yanlış'tır.
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir bilgisayar oyununda karakterin hareketleri için aşağıdaki mantık kuralları tanımlanmıştır:
p: "Karakter ileri hareket ediyor."
q: "Karakter zıplıyor."
r: "Karakter saldırıyor."
Oyunun bir kuralı şöyledir: "Eğer karakter ileri hareket ediyorsa VE zıplıyorsa VEYA saldırıyorsa, o zaman karakterin canı azalır."
Bu kuralı mantıksal bir ifade ile yazınız. Eğer karakter ileri hareket ediyor (p=D), zıplamıyor (q=Y) ve saldırıyor (r=D) ise, karakterin canı azalır mı? (Yani ifadenin doğruluk değerini bulunuz.)
Çözüm ve Açıklama
Oyun kuralını adım adım mantıksal bir ifadeye dökelim:
"Eğer ... o zaman ..." yapısı "ise" ( \( \implies \) ) bağlacı ile ifade edilir.
"VE" bağlacı ( \( \land \) )
"VEYA" bağlacı ( \( \lor \) )
Kuralın öncülü şudur: "Karakter ileri hareket ediyor VE zıplıyor VEYA saldırıyor."
"Karakter ileri hareket ediyor VE zıplıyor" ifadesi \( p \land q \) olarak yazılır.
Bu ifadenin "saldırıyor" (r) önermesiyle "VEYA" bağlacı ile birleşmesi isteniyor.
Burada dikkat edilmesi gereken nokta, "VE" bağlacının "VEYA" bağlacından önceliğidir. Eğer parantez kullanılmazsa, \( p \land q \lor r \) ifadesinde \( p \land q \) önce işlem görür. Ancak kural metninde "ileri hareket ediyor VE zıplıyor" ifadesi bir bütün olarak ele alınıp, bu bütünün "saldırıyor" ile "VEYA"landığı anlaşılıyor. Bu nedenle parantez kullanmak daha doğru olacaktır.
Yani öncül: \( (p \land q) \lor r \)
Kuralın sonucu şudur: "Karakterin canı azalır." Bu ifadeyi de 's' ile temsil edelim (s: "Karakterin canı azalır").
Bu durumda, oyun kuralının mantıksal ifadesi şöyledir: \( ((p \land q) \lor r) \implies s \)
Şimdi verilen doğruluk değerleriyle ifadenin doğruluk değerini hesaplayalım (karakterin canının azalması 's' önermesinin doğru olduğunu varsayalım, yani s=D):
p = D
q = Y
r = D
s = D (can azalır varsayımı)
Önce parantez içini hesaplayalım: \( p \land q \)
\( D \land Y \) sonucu Y'dir.
Şimdi \( (p \land q) \lor r \) ifadesini hesaplayalım:
\( Y \lor D \) sonucu D'dir.
Son olarak ana ifadeyi hesaplayalım: \( D \implies D \)
\( D \implies D \) sonucu D'dir.
✅ Evet, bu durumda karakterin canı azalır.
9
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir öğrenci, matematik dersinde öğrendiği mantık bağlaçlarını kullanarak bir program yazıyor. Program, kullanıcıdan iki önerme ve bir mantık bağlacı alacak ve sonucun doğruluk değerini hesaplayacaktır.
Öğrenci, aşağıdaki önermeleri kullanıyor:
p: "Bugün hava güneşli."
q: "Bugün sinemaya gideceğim."
Kullanıcı, "p VE q" bağlacını seçtiğinde, program şu soruyu soruyor: "Eğer bugün hava güneşli ise VE bugün sinemaya gideceksem, o zaman ikisi de gerçekleşir mi?"
Bu sorunun mantıksal ifadesini yazınız ve eğer p=D, q=D ise bu ifadenin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Sorunun mantıksal yapısını analiz edelim:
"Eğer ... o zaman ..." yapısı "ise" ( \( \implies \) ) bağlacı ile ifade edilir.
"VE" bağlacı ( \( \land \) )
Sorunun öncülü şudur: "bugün hava güneşli ise VE bugün sinemaya gideceksem". Bu, iki önermenin "VE" ile birleştirilmesidir.
Ancak sorunun yapısı "Eğer [koşul1] VE [koşul2] ise, o zaman [sonuç]" şeklindedir. Burada "koşul1" p, "koşul2" ise q'dur.
Sorulan soru aslında şudur: "p VE q" bağlacının seçilmesi durumunda, "Eğer p doğru ise VE q doğru ise, o zaman p VE q doğru mudur?"
Şimdi verilen doğruluk değerleriyle bu ifadenin doğruluk değerini hesaplayalım:
p = D
q = D
Önce parantez içini hesaplayalım: \( p \land q \)
\( D \land D \) sonucu D'dir.
Şimdi ana ifadeyi hesaplayalım: \( D \implies D \)
\( D \implies D \) sonucu D'dir.
✅ Evet, eğer bugün hava güneşli ise ve sinemaya gidilecekse, o zaman ikisinin de gerçekleştiği doğrudur.
💡 Bu tür \( A \implies A \) şeklindeki önermeler her zaman doğrudur (totoloji).
10
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki önermelerin sözel karşılıklarını ve niceleyicilerini belirleyiniz:
1) "Her öğrenci dersi dikkatle dinlemelidir."
2) "Bazı sayılar çifttir."
3) "Tüm kediler dört ayaklıdır."
Çözüm ve Açıklama
Önermeleri ve niceleyicilerini inceleyelim:
1) "Her öğrenci dersi dikkatle dinlemelidir."
Niceleyici: "Her" kelimesi Evrensel Niceleyici'dir ( \( \forall \) ).
Sözel Karşılık: Bu önerme, tüm öğrencilerin dersi dikkatle dinlemesi gerektiğini ifade eder.
2) "Bazı sayılar çifttir."
Niceleyici: "Bazı" kelimesi Varoluşsal Niceleyici'dir ( \( \exists \) ).
Sözel Karşılık: Bu önerme, sayılar kümesinde en az bir tane çift sayı olduğunu belirtir.
3) "Tüm kediler dört ayaklıdır."
Niceleyici: "Tüm" kelimesi Evrensel Niceleyici'dir ( \( \forall \) ).
Sözel Karşılık: Bu önerme, bütün kedilerin dört ayağı olduğunu ifade eder.
👉 Niceleyiciler, bir önermenin hangi küme elemanları için geçerli olduğunu belirtir.
9. Sınıf Matematik: Algoritmik yapılar içerisinde mantık bağlaçları ve niceleyiciler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki ifadelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
a) "Her tam sayı çifttir."
b) "Bazı negatif sayılar pozitiftir."
c) \( 2 + 3 = 5 \)
d) "Bir hafta 8 gündür."
Çözüm:
Bu soruda temel mantık ifadelerinin doğruluk değerlerini inceleyeceğiz.
a) "Her tam sayı çifttir." Bu ifade yanlıştır. Çünkü tek sayılar da tam sayıdır (örneğin 3, 5 gibi). Bu nedenle doğruluk değeri Y'dir.
b) "Bazı negatif sayılar pozitiftir." Bu ifade yanlıştır. Negatif sayılar tanım gereği pozitif olamaz. Bu nedenle doğruluk değeri Y'dir.
c) \( 2 + 3 = 5 \) Bu matematiksel işlem doğrudur. Bu nedenle doğruluk değeri D'dir.
d) "Bir hafta 8 gündür." Bu ifade yanlıştır. Bir hafta 7 gündür. Bu nedenle doğruluk değeri Y'dir.
💡 Unutmayın, bir önermenin doğru olması için her zaman doğru olması gerekir. Yanlış olması için ise en az bir karşı örnek yeterlidir.
Örnek 2:
Verilen önermeler şunlardır:
p: "Tüm asal sayılar tektir."
q: "Her dik üçgenin bir dik açısı vardır."
r: "Her kare bir dikdörtgendir."
Bu önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz ve niceleyicilerin (tüm, bazı) etkisini gözlemleyiniz.
Çözüm:
Önermeleri tek tek inceleyelim:
p: "Tüm asal sayılar tektir." Bu önerme yanlıştır. Çünkü 2 sayısı hem asal hem de çift bir sayıdır. Bu nedenle niceleyici "Tüm" olmasına rağmen önerme Y'dir.
q: "Her dik üçgenin bir dik açısı vardır." Bu önerme doğrudur. Dik üçgenin tanımı gereği bir açısı 90 derecedir. Bu nedenle doğruluk değeri D'dir.
r: "Her kare bir dikdörtgendir." Bu önerme doğrudur. Kare, tüm kenar uzunlukları eşit ve tüm iç açıları 90 derece olan bir dörtgendir. Dikdörtgenin tanımına da uyar. Bu nedenle doğruluk değeri D'dir.
"ise" ( \( \implies \) ) bağlacında ilk önerme doğru, ikinci önerme yanlış ise sonuç yanlıştır. Diğer durumlarda doğrudur.
\( D \implies Y \) sonucu Y'dir.
📌 Mantık bağlaçlarının (ve, veya, değil, ise) doğruluk tablolarını hatırlamak bu tür soruları çözmek için çok önemlidir.
Örnek 4:
Bir teknoloji mağazasında satılan akıllı telefonların özelliklerini inceleyen bir program yazılacaktır. Program, aşağıdaki önermeleri kullanarak filtreleme yapacaktır:
Kullanıcı, aşağıdaki koşulu sağlayan telefonları görmek istemektedir: "Telefonun hafızası en az 128 GB'dır VE (telefonun kamerası 48 MP'dir VEYA ekranı AMOLED teknolojisine sahiptir)."
Bu koşulu mantıksal bir ifade ile yazınız ve eğer p=D, q=Y, r=D ise bu koşulun doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle verilen koşulu mantıksal bir ifade ile yazalım:
Koşulun ilk kısmı: "Telefonun hafızası en az 128 GB'dır." Bu önermeyi p ile temsil ediyoruz.
Koşulun ikinci kısmı: "(telefonun kamerası 48 MP'dir VEYA ekranı AMOLED teknolojisine sahiptir)." Bu kısım \( q \lor r \) olarak ifade edilir.
Bu iki kısmın "VE" bağlacı ile birleşmesi isteniyor.
Dolayısıyla, istenen mantıksal ifade şudur: \( p \land (q \lor r) \)
Şimdi verilen doğruluk değerleriyle bu ifadenin doğruluk değerini hesaplayalım:
p = D
q = Y
r = D
Önce parantez içini hesaplayalım: \( q \lor r \)
\( Y \lor D \) sonucu D'dir.
Şimdi ana ifadeyi hesaplayalım: \( p \land (q \lor r) \)
\( D \land D \) sonucu D'dir.
✅ Sonuç olarak, bu koşul Doğru'dur.
Örnek 5:
Bir markette indirim kampanyası yapılmaktadır. Kampanya koşulu şöyledir: "Eğer en az 2 ürün alırsanız VE bu ürünlerden biri süt ise, toplam tutardan 5 TL indirim kazanacaksınız."
Bu kampanya koşulunu mantık bağlaçları ile ifade edelim.
Önermeler:
a: "En az 2 ürün alındı."
b: "Alınan ürünlerden biri süt."
c: "Toplam tutardan 5 TL indirim kazanıldı."
Kampanya koşulunu \( a \land b \implies c \) şeklinde mi, yoksa \( (a \land b) \implies c \) şeklinde mi yazmalıyız? Neden?
Çözüm:
Bu kampanya koşulunu doğru bir şekilde ifade etmek için mantık bağlaçlarının öncelik sırasını ve anlamını bilmemiz gerekir.
Kampanyanın mantığı şudur: Belirli iki şartın (en az 2 ürün almak VE ürünlerden birinin süt olması) gerçekleşmesi durumunda, bir sonuç (indirim kazanılması) ortaya çıkar.
"Eğer ... ise ..." yapısı, "ise" ( \( \implies \) ) bağlacı ile ifade edilir.
"VE" bağlacı ( \( \land \) ) birden fazla koşulun aynı anda gerçekleşmesini gerektirir.
Burada, indirim kazanılmasının ön koşulu, hem "en az 2 ürün alınması" hem de "alınan ürünlerden birinin süt olması"dır. Bu iki koşul birlikte, indirim kazanılmasının "öncülü"nü oluşturur.
Bu nedenle, "en az 2 ürün alınması" (a) ile "alınan ürünlerden birinin süt olması" (b) önermeleri önce "VE" bağlacı ile birleştirilmelidir. Bu birleşim, indirim kazanılmasının (c) öncülünü oluşturur.
Yani, doğru ifade şudur: \( (a \land b) \implies c \)
Neden?
Eğer \( a \land b \implies c \) şeklinde yazsaydık, bu şu anlama gelirdi: "Eğer 'a' doğru ise, o zaman 'b' doğruysa 'c' doğrudur." Bu, kampanya mantığına uymaz.
\( (a \land b) \implies c \) ifadesi ise tam olarak şöyledir: "Eğer 'a' VE 'b' doğru ise, o zaman 'c' doğrudur." Bu, kampanya koşulunu doğru bir şekilde ifade eder.
💡 Parantezler, işlemlerin hangi sırayla yapılacağını belirlemede çok önemlidir.
Örnek 6:
Aşağıdaki niceleyicili önermelerin Türkçe karşılıklarını yazınız ve doğruluk değerlerini belirleyiniz:
1) \( \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \ge 0 \)
2) \( \exists y \in \mathbb{R}, y+5 = 3 \)
3) \( \forall n \in \mathbb{N}, n > 0 \)
Çözüm:
Niceleyicili önermeleri anlayıp yorumlamak, matematiksel dili çözmenin anahtarıdır.
1) \( \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \ge 0 \)
Türkçe Karşılığı: "Her tam sayı ( \( x \in \mathbb{Z} \) ) için, karesi ( \( x^2 \) ) sıfırdan büyük veya eşittir ( \( \ge 0 \) )."
Doğruluk Değeri: Bu ifade Doğru'dur (D). Çünkü herhangi bir tam sayının karesi (pozitif, negatif veya sıfır) hiçbir zaman negatif olamaz.
2) \( \exists y \in \mathbb{R}, y+5 = 3 \)
Türkçe Karşılığı: "Reel sayılar ( \( y \in \mathbb{R} \) ) kümesinde öyle bir 'y' sayısı vardır ki, y artı 5 eşittir 3'tür ( \( y+5 = 3 \) )."
Doğruluk Değeri: Bu ifade Doğru'dur (D). Çünkü \( y = -2 \) olduğunda \( -2 + 5 = 3 \) denklemi sağlanır ve -2 reel bir sayıdır.
3) \( \forall n \in \mathbb{N}, n > 0 \)
Türkçe Karşılığı: "Her doğal sayı ( \( n \in \mathbb{N} \) ) sıfırdan büyüktür ( \( n > 0 \) )."
Doğruluk Değeri: Bu ifade Yanlış'tır (Y). Çünkü doğal sayılar kümesi ( \( \mathbb{N} \) ) genellikle 0'ı da içerir ( \( \{0, 1, 2, ...\} \) ). Eğer 0 doğal sayı kabul edilirse, 0 sıfırdan büyük değildir.
Bu önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz ve ardından \( (p \lor q) \implies \lnot r \) önermesinin doğruluk değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Önce verilen önermelerin doğruluk değerlerini tek tek belirleyelim:
p: "Her çift sayı 2'ye tam bölünür."
Bu ifade Doğru'dur (D). Çift sayıların tanımı gereği 2'ye tam bölünürler.
q: "Bazı tek sayılar 5 ile tam bölünür."
Bu ifade Doğru'dur (D). Örneğin 5, 15, 25 gibi tek sayılar 5 ile tam bölünür. "Bazı" niceleyicisi olduğu için en az bir örnek yeterlidir.
r: "Her dik yamuğun iki dik açısı vardır."
Bu ifade Doğru'dur (D). Dik yamuğun tanımı gereği, paralel olmayan kenarlarından biri diğerine diktir ve bu da iki tane 90 derecelik açı oluşturur.
Şimdi \( (p \lor q) \implies \lnot r \) önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım:
\( p \lor q \)
\( D \lor D \) sonucu D'dir.
\( \lnot r \)
\( \lnot D \) sonucu Y'dir.
\( (p \lor q) \implies \lnot r \)
\( D \implies Y \) sonucu Y'dir.
✅ Bu karmaşık önermenin doğruluk değeri Yanlış'tır.
Örnek 8:
Bir bilgisayar oyununda karakterin hareketleri için aşağıdaki mantık kuralları tanımlanmıştır:
p: "Karakter ileri hareket ediyor."
q: "Karakter zıplıyor."
r: "Karakter saldırıyor."
Oyunun bir kuralı şöyledir: "Eğer karakter ileri hareket ediyorsa VE zıplıyorsa VEYA saldırıyorsa, o zaman karakterin canı azalır."
Bu kuralı mantıksal bir ifade ile yazınız. Eğer karakter ileri hareket ediyor (p=D), zıplamıyor (q=Y) ve saldırıyor (r=D) ise, karakterin canı azalır mı? (Yani ifadenin doğruluk değerini bulunuz.)
Çözüm:
Oyun kuralını adım adım mantıksal bir ifadeye dökelim:
"Eğer ... o zaman ..." yapısı "ise" ( \( \implies \) ) bağlacı ile ifade edilir.
"VE" bağlacı ( \( \land \) )
"VEYA" bağlacı ( \( \lor \) )
Kuralın öncülü şudur: "Karakter ileri hareket ediyor VE zıplıyor VEYA saldırıyor."
"Karakter ileri hareket ediyor VE zıplıyor" ifadesi \( p \land q \) olarak yazılır.
Bu ifadenin "saldırıyor" (r) önermesiyle "VEYA" bağlacı ile birleşmesi isteniyor.
Burada dikkat edilmesi gereken nokta, "VE" bağlacının "VEYA" bağlacından önceliğidir. Eğer parantez kullanılmazsa, \( p \land q \lor r \) ifadesinde \( p \land q \) önce işlem görür. Ancak kural metninde "ileri hareket ediyor VE zıplıyor" ifadesi bir bütün olarak ele alınıp, bu bütünün "saldırıyor" ile "VEYA"landığı anlaşılıyor. Bu nedenle parantez kullanmak daha doğru olacaktır.
Yani öncül: \( (p \land q) \lor r \)
Kuralın sonucu şudur: "Karakterin canı azalır." Bu ifadeyi de 's' ile temsil edelim (s: "Karakterin canı azalır").
Bu durumda, oyun kuralının mantıksal ifadesi şöyledir: \( ((p \land q) \lor r) \implies s \)
Şimdi verilen doğruluk değerleriyle ifadenin doğruluk değerini hesaplayalım (karakterin canının azalması 's' önermesinin doğru olduğunu varsayalım, yani s=D):
p = D
q = Y
r = D
s = D (can azalır varsayımı)
Önce parantez içini hesaplayalım: \( p \land q \)
\( D \land Y \) sonucu Y'dir.
Şimdi \( (p \land q) \lor r \) ifadesini hesaplayalım:
\( Y \lor D \) sonucu D'dir.
Son olarak ana ifadeyi hesaplayalım: \( D \implies D \)
\( D \implies D \) sonucu D'dir.
✅ Evet, bu durumda karakterin canı azalır.
Örnek 9:
Bir öğrenci, matematik dersinde öğrendiği mantık bağlaçlarını kullanarak bir program yazıyor. Program, kullanıcıdan iki önerme ve bir mantık bağlacı alacak ve sonucun doğruluk değerini hesaplayacaktır.
Öğrenci, aşağıdaki önermeleri kullanıyor:
p: "Bugün hava güneşli."
q: "Bugün sinemaya gideceğim."
Kullanıcı, "p VE q" bağlacını seçtiğinde, program şu soruyu soruyor: "Eğer bugün hava güneşli ise VE bugün sinemaya gideceksem, o zaman ikisi de gerçekleşir mi?"
Bu sorunun mantıksal ifadesini yazınız ve eğer p=D, q=D ise bu ifadenin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm:
Sorunun mantıksal yapısını analiz edelim:
"Eğer ... o zaman ..." yapısı "ise" ( \( \implies \) ) bağlacı ile ifade edilir.
"VE" bağlacı ( \( \land \) )
Sorunun öncülü şudur: "bugün hava güneşli ise VE bugün sinemaya gideceksem". Bu, iki önermenin "VE" ile birleştirilmesidir.
Ancak sorunun yapısı "Eğer [koşul1] VE [koşul2] ise, o zaman [sonuç]" şeklindedir. Burada "koşul1" p, "koşul2" ise q'dur.
Sorulan soru aslında şudur: "p VE q" bağlacının seçilmesi durumunda, "Eğer p doğru ise VE q doğru ise, o zaman p VE q doğru mudur?"