💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmik dilde mantık ve bağlaçlar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
p: "Her tam sayı çifttir."
q: "En küçük asal sayı 2'dir."
r: "Kare, dört kenarlı bir çokgendir."
Çözüm ve Açıklama
Önermelerin doğruluk değerlerini tek tek inceleyelim:
p: "Her tam sayı çifttir." Bu önerme yanlıştır. Çünkü tek sayılar da tam sayıdır. Dolayısıyla p'nin doğruluk değeri Y'dir.
q: "En küçük asal sayı 2'dir." Bu önerme doğrudur. Asal sayılar 2, 3, 5, 7... diye başlar ve en küçüğü 2'dir. Dolayısıyla q'nun doğruluk değeri D'dir.
r: "Kare, dört kenarlı bir çokgendir." Bu önerme doğrudur. Karenin tanımı gereği dört kenarı vardır. Dolayısıyla r'nin doğruluk değeri D'dir.
Sonuç olarak:
p ≡ Y
q ≡ D
r ≡ D
💡 Unutmayalım ki doğruluk değeri bir önermenin doğru olup olmadığını gösterir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
İki önerme verilsin:
p: "10 sayısı 5'e tam bölünür."
q: "10 sayısı 3'e tam bölünür."
Buna göre, \( p \land q \) (p VE q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:
p: "10 sayısı 5'e tam bölünür." Bu ifade doğrudur. Çünkü \( 10 \div 5 = 2 \). Dolayısıyla p ≡ D.
q: "10 sayısı 3'e tam bölünür." Bu ifade yanlıştır. Çünkü \( 10 \div 3 \) tam bir sayı değildir. Dolayısıyla q ≡ Y.
Şimdi \( p \land q \) (p VE q) önermesini inceleyelim:
VE (∧) bağlacı, her iki önerme de doğru olduğunda doğru sonuç verir. Diğer tüm durumlarda yanlıştır.
Bizim durumumuzda p doğru (D) ve q yanlıştır (Y).
\( D \land Y \equiv Y \)
Dolayısıyla, \( p \land q \) önermesinin doğruluk değeri Y'dir.
👉 VE bağlacında sonucun doğru olması için tüm önermeler doğru olmalıdır.
3
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
İki önerme verilsin:
p: "Bugün Pazartesi'dir."
q: "Bugün tatil günüdür."
Buna göre, \( p \lor q \) (p VEYA q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz. (Varsayalım ki bugün Pazartesi ve tatil değil.)
Çözüm ve Açıklama
Verilen bilgilere göre önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:
p: "Bugün Pazartesi'dir." Bu önerme doğrudur. Dolayısıyla p ≡ D.
q: "Bugün tatil günüdür." Bu önerme yanlıştır. Dolayısıyla q ≡ Y.
Şimdi \( p \lor q \) (p VEYA q) önermesini inceleyelim:
VEYA (∨) bağlacı, önermelerden en az biri doğru olduğunda doğru sonuç verir. Sadece her ikisi de yanlış olduğunda yanlıştır.
Bizim durumumuzda p doğru (D) ve q yanlıştır (Y).
\( D \lor Y \equiv D \)
Dolayısıyla, \( p \lor q \) önermesinin doğruluk değeri D'dir.
✅ VEYA bağlacında sonucun doğru olması için tek bir önermenin doğru olması yeterlidir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( p \) önermesi " \( 3^2 = 9 \) " ise, \( \neg p \) (p DEĞİL) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle \( p \) önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
p: " \( 3^2 = 9 \) " Bu ifade doğrudur. Çünkü \( 3 \times 3 = 9 \). Dolayısıyla p ≡ D.
Şimdi \( \neg p \) (p DEĞİL) önermesini inceleyelim:
DEĞİL (¬) bağlacı, bir önermenin doğruluk değerini tersine çevirir. Eğer önerme doğru ise, değil'i yanlış; eğer önerme yanlış ise, değil'i doğru olur.
Bizim durumumuzda p doğru (D) olduğu için:
\( \neg D \equiv Y \)
Dolayısıyla, \( \neg p \) önermesinin doğruluk değeri Y'dir.
💡 DEĞİL bağlacı, önermenin tam tersini ifade eder.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
İki önerme verilsin:
p: "İki tek sayının toplamı çifttir."
q: "İki çift sayının toplamı tektir."
Buna göre, \( p \implies q \) (p İSE q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:
p: "İki tek sayının toplamı çifttir." Bu ifade doğrudur. (Örn: \( 3 + 5 = 8 \)). Dolayısıyla p ≡ D.
q: "İki çift sayının toplamı tektir." Bu ifade yanlıştır. İki çift sayının toplamı çifttir. (Örn: \( 4 + 6 = 10 \)). Dolayısıyla q ≡ Y.
Şimdi \( p \implies q \) (p İSE q) önermesini inceleyelim:
İSE (⇒) bağlacı, sadece ilk önerme doğru (D) ve ikinci önerme yanlış (Y) olduğunda yanlış sonuç verir. Diğer tüm durumlarda doğrudur.
Bizim durumumuzda p doğru (D) ve q yanlıştır (Y).
\( D \implies Y \equiv Y \)
Dolayısıyla, \( p \implies q \) önermesinin doğruluk değeri Y'dir.
📌 İSE bağlacında "doğru"dan "yanlış"a geçiş tek yanlış durumdur.
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
İki önerme verilsin:
p: " \( \sqrt{16} = 4 \) "
q: " \( 5 \times 2 = 10 \) "
Buna göre, \( p \iff q \) (p ANCAK VE ANCAK q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:
p: " \( \sqrt{16} = 4 \) " Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla p ≡ D.
q: " \( 5 \times 2 = 10 \) " Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla q ≡ D.
Şimdi \( p \iff q \) (p ANCAK VE ANCAK q) önermesini inceleyelim:
ANCAK VE ANCAK (⇔) bağlacı, her iki önermenin doğruluk değerleri aynı olduğunda doğru sonuç verir. Farklı olduğunda ise yanlış sonuç verir.
Bizim durumumuzda p doğru (D) ve q da doğrudur (D).
\( D \iff D \equiv D \)
Dolayısıyla, \( p \iff q \) önermesinin doğruluk değeri D'dir.
💡 ANCAK VE ANCAK bağlacı, iki önermenin aynı şeyi ifade edip etmediğini kontrol eder.
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir bilgisayar programı, girilen iki sayının toplamının 10'dan büyük olup olmadığını kontrol etmektedir.
p: "Girilen birinci sayı 7'dir."
q: "Girilen ikinci sayı 4'tür."
Programın kontrol ettiği koşul "p VE q" şeklinde ifade edilirse, bu koşulun doğru olması için hangi sayılar girilmelidir?
Çözüm ve Açıklama
Programın kontrol ettiği koşul \( p \land q \) (p VE q) olarak verilmiştir.
VE (∧) bağlacının doğru olması için her iki önermenin de doğru olması gerekir.
p: "Girilen birinci sayı 7'dir." önermesinin doğru olması için girilen birinci sayının 7 olması gerekir.
q: "Girilen ikinci sayı 4'tür." önermesinin doğru olması için girilen ikinci sayının 4 olması gerekir.
Bu durumda, \( p \land q \) önermesi doğru olur ve bu da programın kontrol ettiği koşulun (toplamın 10'dan büyük olması) doğru olduğu anlamına gelir.
Yani, girilen birinci sayı 7 ve girilen ikinci sayı 4 olmalıdır. Bu durumda toplam \( 7 + 4 = 11 \) olur ve 11 sayısı 10'dan büyüktür.
✅ Eğer koşul "p VEYA q" olsaydı, sadece birinin doğru olması yeterli olurdu.
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir karar verme sürecini düşünelim. Bir arkadaşınız size iki seçenek sunuyor:
p: "Sinemaya gidelim."
q: "Parka gidelim."
Eğer siz "Ya sinemaya gideriz YA DA parka gideriz" şeklinde bir ifade kullanırsanız, bu durum hangi mantıksal bağlaçla ifade edilir ve hangi durumlarda bu cümleniz doğru kabul edilir? (Buradaki "ya ... ya da" ifadesi özel veya bağlacını temsil eder.)
Çözüm ve Açıklama
Bu durumda kullanılan "ya ... ya da" ifadesi, mantıkta özel VEYA (Exclusive OR - XOR) bağlacını temsil eder. Bu bağlaç, önermelerden sadece biri doğru olduğunda doğru sonuç verir. İki önerme de doğruysa veya ikisi de yanlışsa, sonuç yanlış olur.
Özel VEYA bağlacını \( p \oplus q \) şeklinde gösterebiliriz.
Cümlenizin doğru kabul edileceği durumlar şunlardır:
Durum 1: Sinemaya gidilir (p doğru), parka gidilmez (q yanlış).
Bu durumda \( D \oplus Y \equiv D \) olur. Cümleniz doğrudur.
Durum 2: Sinemaya gidilmez (p yanlış), parka gidilir (q doğru).
Bu durumda \( Y \oplus D \equiv D \) olur. Cümleniz doğrudur.
Cümlenizin yanlış kabul edileceği durumlar ise şunlardır:
Durum 3: Hem sinemaya gidilir hem de parka gidilir (p doğru, q doğru).
Bu durumda \( D \oplus D \equiv Y \) olur. Cümleniz yanlıştır, çünkü "ya ... ya da" iki seçenekten sadece birini seçmeyi ima eder.
Durum 4: Hem sinemaya gidilmez hem de parka gidilmez (p yanlış, q yanlış).
Bu durumda \( Y \oplus Y \equiv Y \) olur. Cümleniz yanlıştır, çünkü hiçbir aktivite yapılmamıştır.
👉 Günlük dildeki "ya ... ya da" ifadesi, iki seçenekten birini seçme zorunluluğunu vurgular.
9. Sınıf Matematik: Algoritmik dilde mantık ve bağlaçlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
p: "Her tam sayı çifttir."
q: "En küçük asal sayı 2'dir."
r: "Kare, dört kenarlı bir çokgendir."
Çözüm:
Önermelerin doğruluk değerlerini tek tek inceleyelim:
p: "Her tam sayı çifttir." Bu önerme yanlıştır. Çünkü tek sayılar da tam sayıdır. Dolayısıyla p'nin doğruluk değeri Y'dir.
q: "En küçük asal sayı 2'dir." Bu önerme doğrudur. Asal sayılar 2, 3, 5, 7... diye başlar ve en küçüğü 2'dir. Dolayısıyla q'nun doğruluk değeri D'dir.
r: "Kare, dört kenarlı bir çokgendir." Bu önerme doğrudur. Karenin tanımı gereği dört kenarı vardır. Dolayısıyla r'nin doğruluk değeri D'dir.
Sonuç olarak:
p ≡ Y
q ≡ D
r ≡ D
💡 Unutmayalım ki doğruluk değeri bir önermenin doğru olup olmadığını gösterir.
Örnek 2:
İki önerme verilsin:
p: "10 sayısı 5'e tam bölünür."
q: "10 sayısı 3'e tam bölünür."
Buna göre, \( p \land q \) (p VE q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:
p: "10 sayısı 5'e tam bölünür." Bu ifade doğrudur. Çünkü \( 10 \div 5 = 2 \). Dolayısıyla p ≡ D.
q: "10 sayısı 3'e tam bölünür." Bu ifade yanlıştır. Çünkü \( 10 \div 3 \) tam bir sayı değildir. Dolayısıyla q ≡ Y.
Şimdi \( p \land q \) (p VE q) önermesini inceleyelim:
VE (∧) bağlacı, her iki önerme de doğru olduğunda doğru sonuç verir. Diğer tüm durumlarda yanlıştır.
Bizim durumumuzda p doğru (D) ve q yanlıştır (Y).
\( D \land Y \equiv Y \)
Dolayısıyla, \( p \land q \) önermesinin doğruluk değeri Y'dir.
👉 VE bağlacında sonucun doğru olması için tüm önermeler doğru olmalıdır.
Örnek 3:
İki önerme verilsin:
p: "Bugün Pazartesi'dir."
q: "Bugün tatil günüdür."
Buna göre, \( p \lor q \) (p VEYA q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz. (Varsayalım ki bugün Pazartesi ve tatil değil.)
Çözüm:
Verilen bilgilere göre önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:
p: "Bugün Pazartesi'dir." Bu önerme doğrudur. Dolayısıyla p ≡ D.
q: "Bugün tatil günüdür." Bu önerme yanlıştır. Dolayısıyla q ≡ Y.
Şimdi \( p \lor q \) (p VEYA q) önermesini inceleyelim:
VEYA (∨) bağlacı, önermelerden en az biri doğru olduğunda doğru sonuç verir. Sadece her ikisi de yanlış olduğunda yanlıştır.
Bizim durumumuzda p doğru (D) ve q yanlıştır (Y).
\( D \lor Y \equiv D \)
Dolayısıyla, \( p \lor q \) önermesinin doğruluk değeri D'dir.
✅ VEYA bağlacında sonucun doğru olması için tek bir önermenin doğru olması yeterlidir.
Örnek 4:
\( p \) önermesi " \( 3^2 = 9 \) " ise, \( \neg p \) (p DEĞİL) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle \( p \) önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
p: " \( 3^2 = 9 \) " Bu ifade doğrudur. Çünkü \( 3 \times 3 = 9 \). Dolayısıyla p ≡ D.
Şimdi \( \neg p \) (p DEĞİL) önermesini inceleyelim:
DEĞİL (¬) bağlacı, bir önermenin doğruluk değerini tersine çevirir. Eğer önerme doğru ise, değil'i yanlış; eğer önerme yanlış ise, değil'i doğru olur.
Bizim durumumuzda p doğru (D) olduğu için:
\( \neg D \equiv Y \)
Dolayısıyla, \( \neg p \) önermesinin doğruluk değeri Y'dir.
💡 DEĞİL bağlacı, önermenin tam tersini ifade eder.
Örnek 5:
İki önerme verilsin:
p: "İki tek sayının toplamı çifttir."
q: "İki çift sayının toplamı tektir."
Buna göre, \( p \implies q \) (p İSE q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:
p: "İki tek sayının toplamı çifttir." Bu ifade doğrudur. (Örn: \( 3 + 5 = 8 \)). Dolayısıyla p ≡ D.
q: "İki çift sayının toplamı tektir." Bu ifade yanlıştır. İki çift sayının toplamı çifttir. (Örn: \( 4 + 6 = 10 \)). Dolayısıyla q ≡ Y.
Şimdi \( p \implies q \) (p İSE q) önermesini inceleyelim:
İSE (⇒) bağlacı, sadece ilk önerme doğru (D) ve ikinci önerme yanlış (Y) olduğunda yanlış sonuç verir. Diğer tüm durumlarda doğrudur.
Bizim durumumuzda p doğru (D) ve q yanlıştır (Y).
\( D \implies Y \equiv Y \)
Dolayısıyla, \( p \implies q \) önermesinin doğruluk değeri Y'dir.
📌 İSE bağlacında "doğru"dan "yanlış"a geçiş tek yanlış durumdur.
Örnek 6:
İki önerme verilsin:
p: " \( \sqrt{16} = 4 \) "
q: " \( 5 \times 2 = 10 \) "
Buna göre, \( p \iff q \) (p ANCAK VE ANCAK q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:
p: " \( \sqrt{16} = 4 \) " Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla p ≡ D.
q: " \( 5 \times 2 = 10 \) " Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla q ≡ D.
Şimdi \( p \iff q \) (p ANCAK VE ANCAK q) önermesini inceleyelim:
ANCAK VE ANCAK (⇔) bağlacı, her iki önermenin doğruluk değerleri aynı olduğunda doğru sonuç verir. Farklı olduğunda ise yanlış sonuç verir.
Bizim durumumuzda p doğru (D) ve q da doğrudur (D).
\( D \iff D \equiv D \)
Dolayısıyla, \( p \iff q \) önermesinin doğruluk değeri D'dir.
💡 ANCAK VE ANCAK bağlacı, iki önermenin aynı şeyi ifade edip etmediğini kontrol eder.
Örnek 7:
Bir bilgisayar programı, girilen iki sayının toplamının 10'dan büyük olup olmadığını kontrol etmektedir.
p: "Girilen birinci sayı 7'dir."
q: "Girilen ikinci sayı 4'tür."
Programın kontrol ettiği koşul "p VE q" şeklinde ifade edilirse, bu koşulun doğru olması için hangi sayılar girilmelidir?
Çözüm:
Programın kontrol ettiği koşul \( p \land q \) (p VE q) olarak verilmiştir.
VE (∧) bağlacının doğru olması için her iki önermenin de doğru olması gerekir.
p: "Girilen birinci sayı 7'dir." önermesinin doğru olması için girilen birinci sayının 7 olması gerekir.
q: "Girilen ikinci sayı 4'tür." önermesinin doğru olması için girilen ikinci sayının 4 olması gerekir.
Bu durumda, \( p \land q \) önermesi doğru olur ve bu da programın kontrol ettiği koşulun (toplamın 10'dan büyük olması) doğru olduğu anlamına gelir.
Yani, girilen birinci sayı 7 ve girilen ikinci sayı 4 olmalıdır. Bu durumda toplam \( 7 + 4 = 11 \) olur ve 11 sayısı 10'dan büyüktür.
✅ Eğer koşul "p VEYA q" olsaydı, sadece birinin doğru olması yeterli olurdu.
Örnek 8:
Bir karar verme sürecini düşünelim. Bir arkadaşınız size iki seçenek sunuyor:
p: "Sinemaya gidelim."
q: "Parka gidelim."
Eğer siz "Ya sinemaya gideriz YA DA parka gideriz" şeklinde bir ifade kullanırsanız, bu durum hangi mantıksal bağlaçla ifade edilir ve hangi durumlarda bu cümleniz doğru kabul edilir? (Buradaki "ya ... ya da" ifadesi özel veya bağlacını temsil eder.)
Çözüm:
Bu durumda kullanılan "ya ... ya da" ifadesi, mantıkta özel VEYA (Exclusive OR - XOR) bağlacını temsil eder. Bu bağlaç, önermelerden sadece biri doğru olduğunda doğru sonuç verir. İki önerme de doğruysa veya ikisi de yanlışsa, sonuç yanlış olur.
Özel VEYA bağlacını \( p \oplus q \) şeklinde gösterebiliriz.
Cümlenizin doğru kabul edileceği durumlar şunlardır:
Durum 1: Sinemaya gidilir (p doğru), parka gidilmez (q yanlış).
Bu durumda \( D \oplus Y \equiv D \) olur. Cümleniz doğrudur.
Durum 2: Sinemaya gidilmez (p yanlış), parka gidilir (q doğru).
Bu durumda \( Y \oplus D \equiv D \) olur. Cümleniz doğrudur.
Cümlenizin yanlış kabul edileceği durumlar ise şunlardır:
Durum 3: Hem sinemaya gidilir hem de parka gidilir (p doğru, q doğru).
Bu durumda \( D \oplus D \equiv Y \) olur. Cümleniz yanlıştır, çünkü "ya ... ya da" iki seçenekten sadece birini seçmeyi ima eder.
Durum 4: Hem sinemaya gidilmez hem de parka gidilmez (p yanlış, q yanlış).
Bu durumda \( Y \oplus Y \equiv Y \) olur. Cümleniz yanlıştır, çünkü hiçbir aktivite yapılmamıştır.
👉 Günlük dildeki "ya ... ya da" ifadesi, iki seçenekten birini seçme zorunluluğunu vurgular.