💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmalarda Ve Matematiksel İspatlarda Mantık Bağlaçları Çözümlü Örnekler

• 1️⃣ p önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
  "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." önermesi doğru bir önermedir. Bu nedenle \(p \equiv 1\)'dir. ✅
• 2️⃣ q önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
  "3 bir asal sayıdır." önermesi de doğru bir önermedir. Çünkü 3 sadece 1'e ve kendisine bölünebilir. Bu nedenle \(q \equiv 1\)'dir. ✅
• 3️⃣ \(p \land q\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım:
  "ve" ( \(\land\) ) bağlacında, bileşik önermenin doğru olabilmesi için her iki basit önermenin de doğru olması gerekir. Hem \(p\) hem de \(q\) doğru (1) olduğu için, \(p \land q\) önermesi de doğru olacaktır.
  Yani \(1 \land 1 \equiv 1\).

👉 Sonuç olarak, \(p \land q\) bileşik önermesinin doğruluk değeri 1 (Doğru)'dir.

• 1️⃣ p önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
  "2 + 5 = 7" önermesi matematiksel olarak doğru bir ifadedir. Bu nedenle \(p \equiv 1\)'dir. ✅
• 2️⃣ q önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
  "Bir hafta 8 gündür." önermesi yanlış bir ifadedir, çünkü bir hafta 7 gündür. Bu nedenle \(q \equiv 0\)'dır. ❌
• 3️⃣ \(p \lor q\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım:
  "veya" ( \(\lor\) ) bağlacında, bileşik önermenin doğru olabilmesi için en az bir basit önermenin doğru olması yeterlidir. \(p\) doğru (1) ve \(q\) yanlış (0) olduğu için, \(p \lor q\) önermesi doğru olacaktır.
  Yani \(1 \lor 0 \equiv 1\).

👉 Sonuç olarak, \(p \lor q\) bileşik önermesinin doğruluk değeri 1 (Doğru)'dir.

• 1️⃣ Verilen doğruluk değerlerini yerine yazalım:
  Bize \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\) verilmiştir. Bu değerleri \(\neg p \lor (q \land p)\) ifadesinde yerine koyalım.
• 2️⃣ \(\neg p\) ifadesini değerlendirelim:
  \(p \equiv 1\) olduğu için, \(\neg p\) (p'nin değili) \(0\)'a denk olacaktır.
  Yani \(\neg p \equiv 0\).
• 3️⃣ Parantez içindeki \(q \land p\) ifadesini değerlendirelim:
  \(q \equiv 0\) ve \(p \equiv 1\) olduğu için, \(q \land p\) ifadesi \(0 \land 1\)'e denktir.
  "ve" ( \(\land\) ) bağlacında sonucun doğru olması için her iki önermenin de doğru olması gerekir. Burada biri yanlış olduğu için sonuç yanlıştır.
  Yani \(0 \land 1 \equiv 0\).
• 4️⃣ Son olarak, bileşik önermenin tamamını değerlendirelim:
  Şimdi \(\neg p \lor (q \land p)\) ifadesi \(0 \lor 0\) haline geldi.
  "veya" ( \(\lor\) ) bağlacında sonucun doğru olması için en az bir önermenin doğru olması gerekir. Burada her iki önerme de yanlış olduğu için sonuç yanlıştır.
  Yani \(0 \lor 0 \equiv 0\).

👉 Sonuç olarak, \(\neg p \lor (q \land p)\) bileşik önermesinin doğruluk değeri 0 (Yanlış)'tır.

• 1️⃣ x yerine 6 yazarak p önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
  \(p: "x < 5"\) önermesinde x yerine 6 yazarsak, "6 < 5" olur. Bu ifade yanlış olduğu için \(p \equiv 0\)'dır. ❌
• 2️⃣ x yerine 6 yazarak q önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
  \(q: "x = 5"\) önermesinde x yerine 6 yazarsak, "6 = 5" olur. Bu ifade de yanlış olduğu için \(q \equiv 0\)'dır. ❌
• 3️⃣ \((p \implies q)\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım:
  "ise" ( \(\implies\) ) bağlacında, sadece "1 \(\implies\) 0" durumu yanlış (0) diğer tüm durumlar doğrudur (1). Bizim durumumuzda \(p \equiv 0\) ve \(q \equiv 0\) olduğu için, \(0 \implies 0\) durumunu değerlendireceğiz.
  Yani \(0 \implies 0 \equiv 1\).

👉 Sonuç olarak, x yerine 6 yazıldığında \((p \implies q)\) bileşik önermesinin doğruluk değeri 1 (Doğru)'dir. 💡

• 1️⃣ p önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
  "Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir." önermesi geometrik olarak doğru bir bilgidir. Bu nedenle \(p \equiv 1\)'dir. ✅
• 2️⃣ q önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
  "Tüm kareler aynı zamanda dikdörtgendir." önermesi de doğru bir ifadedir. Çünkü bir dikdörtgenin tüm özellikleri (karşılıklı kenarları paralel ve eşit, tüm açıları 90 derece) karede de bulunur. Bu nedenle \(q \equiv 1\)'dir. ✅
• 3️⃣ \((p \iff q)\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım:
  "ancak ve ancak" ( \(\iff\) ) bağlacında, bileşik önermenin doğru olabilmesi için her iki basit önermenin de aynı doğruluk değerine sahip olması gerekir (ya ikisi de doğru, ya da ikisi de yanlış). Hem \(p\) hem de \(q\) doğru (1) olduğu için, \((p \iff q)\) önermesi de doğru olacaktır.
  Yani \(1 \iff 1 \equiv 1\).

👉 Sonuç olarak, \((p \iff q)\) bileşik önermesinin doğruluk değeri 1 (Doğru)'dir.

• 1️⃣ Verilen doğruluk değerlerini yerine yazalım:
  Bize \(p \equiv 0\) ve \(q \equiv 1\) verilmiştir. Bu değerleri \((p \lor \neg q) \implies (p \land q)\) ifadesinde yerine koyalım.
• 2️⃣ İlk parantez içindeki \((p \lor \neg q)\) ifadesini değerlendirelim:
  • Önce \(\neg q\)'yu bulalım: \(q \equiv 1\) olduğu için, \(\neg q \equiv 0\)'dır.
  • Şimdi \(p \lor \neg q\) ifadesi \(0 \lor 0\) haline gelir. "veya" bağlacında her ikisi de yanlış olduğu için sonuç yanlıştır.
    Yani \(0 \lor 0 \equiv 0\).
• 3️⃣ İkinci parantez içindeki \((p \land q)\) ifadesini değerlendirelim:
  \(p \equiv 0\) ve \(q \equiv 1\) olduğu için, \(p \land q\) ifadesi \(0 \land 1\)'e denktir. "ve" bağlacında biri yanlış olduğu için sonuç yanlıştır.
  Yani \(0 \land 1 \equiv 0\).
• 4️⃣ Son olarak, bileşik önermenin tamamını değerlendirelim:
  Şimdi \((p \lor \neg q) \implies (p \land q)\) ifadesi \(0 \implies 0\) haline geldi.
  "ise" bağlacında \(0 \implies 0\) durumu doğrudur.
  Yani \(0 \implies 0 \equiv 1\).

👉 Sonuç olarak, \((p \lor \neg q) \implies (p \land q)\) bileşik önermesinin doğruluk değeri 1 (Doğru)'dir.

• 1️⃣ Verilen önermeleri ve kuralı mantık sembolleriyle ifade edelim:
  • p: "Öğrenci son matematik sınavından en az 70 puan almıştır."
  • q: "Öğrenci spor kulübüne üyedir."
  • Etkinliğe katılma kuralı: "Koşul A'yı sağlamıyorsa VEYA Koşul B'yi sağlıyorsa" ifadesi \(\neg p \lor q\) olarak yazılır.
• 2️⃣ Ayşe'nin durumuna göre p ve q önermelerinin doğruluk değerlerini belirleyelim:
  • Ayşe matematik sınavından 65 almıştır. Koşul A, "en az 70 puan almak" olduğu için, Ayşe Koşul A'yı sağlamamıştır. Bu nedenle \(p \equiv 0\)'dır. ❌
  • Ayşe spor kulübüne üyedir. Bu nedenle Koşul B'yi sağlamıştır. Yani \(q \equiv 1\)'dir. ✅
• 3️⃣ Ayşe'nin etkinliğe katılma kuralına göre doğruluk değerini hesaplayalım:
  Kural \(\neg p \lor q\) olduğuna göre, Ayşe'nin durumunu yerine yazalım:
  • Önce \(\neg p\)'yi bulalım: \(p \equiv 0\) olduğu için, \(\neg p \equiv 1\)'dir.
  • Şimdi \(\neg p \lor q\) ifadesi \(1 \lor 1\) haline gelir. "veya" bağlacında her iki önerme de doğru olduğu için sonuç doğrudur.
    Yani \(1 \lor 1 \equiv 1\).

👉 Sonuç olarak, Ayşe'nin durumu etkinliğe katılma kuralını doğru (1) kılmaktadır. Bu nedenle Ayşe etkinliğe katılabilir. 🎉

• 1️⃣ Verilen önermeleri ve indirim şartını mantık sembolleriyle ifade edelim:
  • p: "Müşteri en az 100 TL'lik alışveriş yapmıştır."
  • q: "Müşteri marketin sadakat kartına sahiptir."
  • İndirimli ürün alabilme şartı: "Kural 1'i sağlıyorsa VE Kural 2'yi de sağlıyorsa" ifadesi \(p \land q\) olarak yazılır.
• 2️⃣ Müşterinin durumuna göre p ve q önermelerinin doğruluk değerlerini belirleyelim:
  • Müşteri 120 TL'lik alışveriş yapmıştır. Bu, "en az 100 TL'lik alışveriş yapmak" şartını sağlar. Bu nedenle \(p \equiv 1\)'dir. ✅
  • Müşterinin sadakat kartı yoktur. Bu, "sadakat kartına sahip olmak" şartını sağlamaz. Bu nedenle \(q \equiv 0\)'dır. ❌
• 3️⃣ Müşterinin indirimli ürün alabilme şartına göre doğruluk değerini hesaplayalım:
  İndirim şartı \(p \land q\) olduğuna göre, müşterinin durumunu yerine yazalım:
  • \(1 \land 0\) ifadesini değerlendirelim. "ve" ( \(\land\) ) bağlacında, bileşik önermenin doğru olabilmesi için her iki basit önermenin de doğru olması gerekir. Burada biri yanlış (0) olduğu için sonuç yanlıştır.
    Yani \(1 \land 0 \equiv 0\).

👉 Sonuç olarak, müşterinin durumu indirim şartını yanlış (0) kılmaktadır. Bu nedenle bu müşteri indirimli ürün alamaz. 😞