💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmalarda ve matematiksel ispatlarda mantık bağlaçları ve niceleyiciler Çözümlü Örnekler

Bu soruda temel mantık ifadelerinin doğruluk değerlerini bulmamız isteniyor.

• P İfadesi: "Her tek sayı çifttir." Bu ifade yanlıştır. Tek sayılar 2'ye kalansız bölünemezken, çift sayılar 2'ye kalansız bölünür. Dolayısıyla, P'nin doğruluk değeri Y (Yanlış)'dir.
• Q İfadesi: "Bazı asal sayılar çift sayıdır." Asal sayılar 1'den büyük, kendisi ve 1 dışında pozitif tam böleni olmayan sayılardır. 2, hem asal hem de çift olan tek sayıdır. Bu nedenle, bu ifade doğrudur. Dolayısıyla, Q'nun doğruluk değeri D (Doğru)'dir.
• R İfadesi: "10 sayısı 3'e tam bölünür." 10'u 3'e böldüğümüzde kalan 1 olur. Tam bölünmez. Dolayısıyla, R'nin doğruluk değeri Y (Yanlış)'dir.

Sonuç olarak: P: Y, Q: D, R: Y

Bir "ise" önermesinin karşıt tersi, orijinal önermeye denktir.
Verilen önerme: "Herkes matematik çalışırsa başarılı olur."
Bu önermeyi p \implies q şeklinde ifade edelim:
p: "Herkes matematik çalışır."
q: "Başarılı olur."
Önermemiz: p \implies q

Karşıt tersi, \neg q \implies \neg p şeklindedir.
Bunu kelimelerle ifade edersek:
\neg q: "Başarılı olmaz."
\neg p: "Herkes matematik çalışmaz."

Dolayısıyla, önermenin karşıt tersi: "Başarılı olmayan kimse matematik çalışmamıştır." veya "Eğer başarılı olmazsa, matematik çalışmamıştır." şeklinde ifade edilebilir.

Öncelikle p ve q önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım.

• p önermesi: "İki basamaklı en büyük asal sayı 97'dir." İki basamaklı sayılar 10 ile 99 arasındadır. 97'den büyük asal sayı yoktur. 97'nin kendisi ve 1 dışında böleni yoktur, dolayısıyla asal sayıdır. Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla, p : D
• q önermesi: "100'den küçük 3'ün katı olan 5 tane sayı vardır." 100'den küçük 3'ün katları şunlardır: 3, 6, 9, 12, 15, ..., 99. Bu sayıların adedini bulmak için terim sayısı formülünü kullanabiliriz: \frac{Son Terim - İlk Terim}{Artış Miktarı} + 1. Bu durumda \frac{99 - 3}{3} + 1 = \frac{96}{3} + 1 = 32 + 1 = 33 tane 3'ün katı vardır. İfadedeki 5 sayısı yanlıştır. Dolayısıyla, q : Y

Şimdi p \land q (p VE q) önermesinin doğruluk değerini bulalım. "VE" bağlacında, her iki önerme de doğru ise sonuç doğru olur. Diğer tüm durumlarda sonuç yanlıştır.
p : D
q : Y
p \land q : D \land Y = Y (Yanlış)

Öncelikle p ve q önermelerinin doğruluk değerlerini belirleyelim.
p: "Ali'nin yaşı 10'dur." Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla, p : D
q: "Ali'nin yaşı 12'den küçüktür." Ali'nin yaşı 10 olduğuna göre, 12'den küçüktür. Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla, q : D

Şimdi istenen önermelerin doğruluk değerlerini hesaplayalım:
a) p \implies q (p ise q): D \implies D. "İse" bağlacında, ilk önerme doğru iken ikinci önerme yanlış olursa sonuç yanlış olur. Diğer tüm durumlarda sonuç doğrudur. Burada D \implies D olduğu için sonuç D (Doğru)'dir. 👉 Ali'nin yaşı 10'dur VE 12'den küçüktür.
b) q \implies p (q ise p): D \implies D. Bu da yukarıdaki gibi D \implies D olduğu için sonuç D (Doğru)'dir. 👉 Ali'nin yaşı 12'den küçüktür VE 10'dur.
c) p \iff q (p ancak ve ancak q): D \iff D. "Ancak ve ancak" bağlacında, iki önermenin doğruluk değerleri aynı ise sonuç doğru, farklı ise sonuç yanlıştır. Burada her ikisi de D olduğu için sonuç D (Doğru)'dir. 👉 Ali'nin yaşı 10'dur ve bu durum 12'den küçük olmasıyla denktir.

Öncelikle verilen önermeleri ve niceleyicileri inceleyelim. Evrenimiz pozitif tam sayılar kümesi (\mathbb{Z}^+) yani {1, 2, 3, 4, 5, ...} olacaktır. 💡

1. \forall x \in \mathbb{Z}^+, P(x): "Her pozitif tam sayı için, x sayısı 4'ten büyüktür."
Bu önermenin doğru olması için, pozitif tam sayılardan herhangi birini seçtiğimizde sayının 4'ten büyük olması gerekir. Ancak 1, 2, 3 gibi sayılar 4'ten büyük değildir. Dolayısıyla, bu önerme Y (Yanlış)'dir. ❌

2. \exists x \in \mathbb{Z}^+, Q(x): "Öyle bir pozitif tam sayı vardır ki, x sayısı tektir."
Bu önermenin doğru olması için, pozitif tam sayılar kümesinde tek olan en az bir sayı bulmamız yeterlidir. Örneğin, 1 sayısı tektir ve pozitif tam sayıdır. 3, 5, 7 gibi daha birçok tek sayı da vardır. Dolayısıyla, bu önerme D (Doğru)'dir. ✅

3. \exists x \in \mathbb{Z}^+, P(x) \land Q(x): "Öyle bir pozitif tam sayı vardır ki, hem x sayısı 4'ten büyüktür hem de x sayısı tektir."
Bu önermenin doğru olması için, hem 4'ten büyük hem de tek olan bir pozitif tam sayı bulmalıyız. 5 sayısı hem 4'ten büyüktür hem de tektir. 7, 9, 11 gibi sayılar da bu koşulu sağlar. Dolayısıyla, bu önerme D (Doğru)'dir. ✨

Bu kampanya, mantıktaki "ise" bağlacı (\implies) ile ifade edilebilir. Kampanyanın yapısı şu şekildedir:
p: "100 TL ve üzeri alışveriş yapılır."
q: "%10 indirim uygulanır."
Kampanya: p \implies q

Şimdi müşteri örneğini inceleyelim:
Müşteri 120 TL'lik alışveriş yapmıştır. Bu durumda p önermesi (100 TL ve üzeri alışveriş yapıldı) Doğru (D) olur.
Kampanyaya göre, p doğru ise q da doğru olmalıdır. Yani, %10 indirim uygulanmalıdır.

Müşterinin faydalanacağı indirim miktarını hesaplayalım:
Alışveriş tutarı = 120 TL
İndirim oranı = %10
İndirim miktarı = 120 TL'nin %10'u = \( \frac{10}{100} \times 120 \) TL = 12 TL

Müşteri, 12 TL indirim kazanarak toplamda \( 120 - 12 = 108 \) TL öder. 👉 Bu, "ise" bağlacının mantıksal işleyişine uygun bir durumdur.

Bu soruda, p önermesinin doğruluk değerini bilmediğimiz halde, bazı mantıksal ifadelerin doğruluk değerlerinin her zaman sabit olduğunu ve bazıların ise p'nin durumuna bağlı olduğunu anlamamız gerekiyor. 🧐

Şimdi her bir seçeneği inceleyelim:
A) p \lor \neg p (p VEYA değil p): Bu ifade her zaman Doğru (D)'dur. Buna "totoloji" denir. Çünkü p doğru ise \neg p yanlıştır (D \lor Y = D), p yanlış ise \neg p doğrudur (Y \lor D = D). Her durumda sonuç D'dir. ✅

B) p \land \neg p (p VE değil p): Bu ifade her zaman Yanlış (Y)'dır. Buna "çelişki" denir. Çünkü p doğru ise \neg p yanlıştır (D \land Y = Y), p yanlış ise \neg p doğrudur (Y \land D = Y). Her durumda sonuç Y'dir. ❌

C) p \implies p (p ise p): Bu ifade her zaman Doğru (D)'dur. Çünkü "ise" bağlacında ilk önerme doğru iken ikinci önerme yanlış olursa sonuç yanlış olur. Burada ilk ve ikinci önerme aynı olduğu için bu durum oluşamaz. D \implies D = D, Y \implies Y = D. Her durumda sonuç D'dir. ✨

D) p \iff p (p ancak ve ancak p): Bu ifade her zaman Doğru (D)'dur. Çünkü "ancak ve ancak" bağlacında önermelerin doğruluk değerleri aynı ise sonuç doğru, farklı ise yanlış olur. Burada önermeler aynı olduğu için doğruluk değerleri her zaman aynıdır. D \iff D = D, Y \iff Y = D. Her durumda sonuç D'dir. 👍

E) \neg (\neg p) (değil (değil p)): Bu ifade, p'ye denktir. Yani \neg (\neg p) \equiv p'dir. Eğer p doğru ise \neg (\neg p) doğrudur. Eğer p yanlış ise \neg (\neg p) yanlıştır. Dolayısıyla, bu ifadenin doğruluk değeri p'nin doğruluk değerine bağlıdır ve kesin olarak bilinemez. ❓

Sonuç olarak, doğruluk değeri kesin olarak bilinemeyen önerme E seçeneğidir.

Bu durumu mantıkta "ise" bağlacı ile ifade edebiliriz.
p: "Öğrenci matematik sınavından 80 puan alır."
q: "Ailesi ona yeni bir bilgisayar alır."

Bu durumun mantıksal ifadesi: p \implies q (Eğer öğrenci 80 puan alırsa, ailesi ona yeni bir bilgisayar alır.)

Şimdi öğrencinin 70 puan alması durumunu inceleyelim:
Eğer öğrenci 70 puan alırsa, p önermesi Yanlış (Y) olur (çünkü 80 puan almamıştır).

Mantıkta p \implies q önermesinde, p yanlış olduğunda, önermenin tamamının doğruluk değeri ne olursa olsun (yani q doğru da olsa yanlış da olsa) önerme Doğru (D) kabul edilir.

Bu ne anlama gelir? 🤔
Bu, "Eğer öğrenci 80 puan almazsa, ailesi ona bilgisayar almayacak" anlamına gelmez. Ailesi, 70 puan almasına rağmen başka bir sebeple (örneğin genel başarısı iyi olduğu için) yine de bilgisayar alabilir (bu durumda q doğru olur) veya almayabilir (bu durumda q yanlış olur). Her iki durumda da, "Eğer 80 alırsa bilgisayar alırlar" şeklindeki ana önerme hala mantıksal olarak geçerliliğini korur. 💡

Bir ifadenin önerme olabilmesi için doğru ya da yanlış olduğunun kesin olarak bilinebilmesi gerekir. 📌

Şimdi verilen ifadeleri inceleyelim:
I. "Kapıdan çık." Bu bir emir cümlesidir. Doğru veya yanlış olamaz. Bu nedenle bir önerme değildir. ❌

II. "Bugün hava çok güzel." Bu bir dilek veya duygu ifadesidir. "Güzel" kelimesi kişiden kişiye değiştiği için bu cümlenin doğruluğu veya yanlışlığı kesin olarak bilinemez. Bu nedenle bir önerme değildir. ❌

III. "En büyük çift sayı kaçtır?" Bu bir soru cümlesidir. Doğru veya yanlış olamaz, bir cevap gerektirir. Bu nedenle bir önerme değildir. ❌

IV. "Her tam sayı pozitiftir." Bu ifadeye bakalım. Tam sayılar kümesi {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} şeklindedir. Bu kümedeki -1, -2, 0 gibi sayılar pozitif değildir. Dolayısıyla bu ifade Yanlış (Y)'tır. Cümlenin doğruluğu veya yanlışlığı kesin olarak bilindiği için bu bir önermedir. ✅