💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmalarda Ve Matematiksel İspatlarda Mantık Bağlaçları Ve Nicelikleri Çözümlü Örnekler

Bu örnekte, verilen ifadelerin önerme olup olmadığını ve önerme olanların doğruluk değerlerini inceleyeceğiz. 💡

• a) "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır."
  👉 Bu ifade kesin bir yargı bildirdiği için bir önermedir. Türkiye'nin başkenti gerçekten Ankara olduğu için bu önermenin doğruluk değeri Doğru (D ya da 1)'dir. ✅
• b) "Bugün hava çok güzel!"
  👉 Bu ifade kişiden kişiye değişebilen, öznel bir yargı belirttiği için bir önerme değildir. Hava bazılarına göre güzel, bazılarına göre kötü olabilir.
• c) "2 + 3 = 5"
  👉 Bu ifade de kesin bir yargı bildirdiği için bir önermedir. Matematiksel olarak \(2 + 3\) her zaman \(5\) olduğu için bu önermenin doğruluk değeri Doğru (D ya da 1)'dir. ✅
• d) "Sınıfa gel!"
  👉 Bu ifade bir emir cümlesi olduğu için bir önerme değildir. Doğru ya da yanlış olduğu söylenemez.
• e) "En küçük asal sayı 1'dir."
  👉 Bu ifade kesin bir yargı bildirdiği için bir önermedir. Ancak, en küçük asal sayı \(2\) olduğu için bu önerme Yanlış (Y ya da 0)'dır. ✅

Öncelikle verilen \(p\) ve \(q\) önermelerinin doğruluk değerlerini belirleyelim. 💡

• \(p: \text{"3 tek sayıdır."}\) 👉 \(3\) gerçekten tek bir sayıdır. Bu yüzden \(p \equiv 1\) (Doğru).
• \(q: \text{"5 asal sayıdır."}\) 👉 \(5\) gerçekten asal bir sayıdır (yalnızca \(1\) ve \(5\) ile kalansız bölünür). Bu yüzden \(q \equiv 1\) (Doğru).

Şimdi bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulalım:

• a) \( p \land q \)
  👉 "Ve" bağlacı ile bağlı bir önermenin doğru olabilmesi için her iki önermenin de doğru olması gerekir.
  \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 1\) olduğu için, \(p \land q \equiv 1 \land 1 \equiv 1\) (Doğru). ✅
• b) \( p \lor q \)
  👉 "Veya" bağlacı ile bağlı bir önermenin doğru olabilmesi için en az bir önermenin doğru olması yeterlidir.
  \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 1\) olduğu için, \(p \lor q \equiv 1 \lor 1 \equiv 1\) (Doğru). ✅
• c) \( \neg p \land q \)
  👉 İlk olarak \( \neg p \) önermesinin doğruluk değerini bulalım. \(p \equiv 1\) olduğu için \( \neg p \equiv 0\) (Yanlış).
  Şimdi \( \neg p \land q \) bileşik önermesini değerlendirelim: \( \neg p \land q \equiv 0 \land 1 \equiv 0\) (Yanlış). ✅
• d) \( p \lor \neg q \)
  👉 İlk olarak \( \neg q \) önermesinin doğruluk değerini bulalım. \(q \equiv 1\) olduğu için \( \neg q \equiv 0\) (Yanlış).
  Şimdi \( p \lor \neg q \) bileşik önermesini değerlendirelim: \( p \lor \neg q \equiv 1 \lor 0 \equiv 1\) (Doğru). ✅

"İse" bağlacında dikkat etmemiz gereken tek durum, ilk önerme doğru iken ikinci önermenin yanlış olması durumunda bileşik önermenin yanlış olmasıdır (\(1 \implies 0 \equiv 0\)). Diğer tüm durumlarda "ise" bağlacı ile bağlı önerme doğrudur. 💡

• a) \(p \equiv 1\), \(q \equiv 1\)
  👉 \( p \implies q \equiv 1 \implies 1 \equiv 1\) (Doğru). Yağmur yağıyorsa hava kapalıdır, bu mantıklı ve doğrudur. ✅
• b) \(p \equiv 1\), \(q \equiv 0\)
  👉 \( p \implies q \equiv 1 \implies 0 \equiv 0\) (Yanlış). Güneş doğmuşken havanın karanlık olması mümkün değildir. Bu durum "ise" bağlacını yanlış yapar. ✅
• c) \(p \equiv 0\), \(q \equiv 1\)
  👉 \( p \implies q \equiv 0 \implies 1 \equiv 1\) (Doğru). Ayşe çalışmamış olsa bile (ilk önerme yanlış), sınıfı geçmiş olabilir (ikinci önerme doğru). Mantıkta yanlış bir öncülden doğru bir sonuç çıkarılabilir ve bu durum bileşik önermeyi doğru yapar. Örneğin, "Eğer \(2=3\) ise, \(5\) bir asal sayıdır." önermesi doğrudur, çünkü öncül yanlıştır. ✅

Bu problemi çözmek için her bir ifadenin önerme karşılığını yazıp, her şüphelinin hırsız olma durumunu ayrı ayrı inceleyelim. 💡
Önermeleri tanımlayalım:

• \(A\): "Ali hırsızdır."
• \(B\): "Burak hırsızdır."
• \(C\): "Cem hırsızdır."

Şüphelilerin ifadelerini mantık bağlaçları kullanarak yazalım:

• Ali'nin ifadesi (\(P_A\)): \( B \implies C \)
• Burak'ın ifadesi (\(P_B\)): \( \neg A \land C \)
• Cem'in ifadesi (\(P_C\)): \( \neg C \)

Şimdi "yalnızca bir şüphelinin doğru söylediği" bilgisini kullanarak hırsızı bulalım. Her şüphelinin hırsız olma durumunu varsayalım:

• Durum 1: Ali hırsız olsun. (Yani \(A=1, B=0, C=0\))
• \(P_A\): \( B \implies C \equiv 0 \implies 0 \equiv 1\) (Doğru)
• \(P_B\): \( \neg A \land C \equiv \neg 1 \land 0 \equiv 0 \land 0 \equiv 0\) (Yanlış)
• \(P_C\): \( \neg C \equiv \neg 0 \equiv 1\) (Doğru)
Bu durumda Ali ve Cem doğru söylüyor. Ancak dedektif yalnızca bir kişinin doğru söylediğini biliyor. Bu durum elendi.

• Durum 2: Burak hırsız olsun. (Yani \(A=0, B=1, C=0\))
• \(P_A\): \( B \implies C \equiv 1 \implies 0 \equiv 0\) (Yanlış)
• \(P_B\): \( \neg A \land C \equiv \neg 0 \land 0 \equiv 1 \land 0 \equiv 0\) (Yanlış)
• \(P_C\): \( \neg C \equiv \neg 0 \equiv 1\) (Doğru)
Bu durumda sadece Cem doğru söylüyor. Bu durum dedektifin bilgisiyle uyuşuyor! ✅

• Durum 3: Cem hırsız olsun. (Yani \(A=0, B=0, C=1\))
• \(P_A\): \( B \implies C \equiv 0 \implies 1 \equiv 1\) (Doğru)
• \(P_B\): \( \neg A \land C \equiv \neg 0 \land 1 \equiv 1 \land 1 \equiv 1\) (Doğru)
• \(P_C\): \( \neg C \equiv \neg 1 \equiv 0\) (Yanlış)
Bu durumda Ali ve Burak doğru söylüyor. Bu durum da elendi.

Sonuç olarak, Burak hırsız olduğunda, yalnızca Cem doğru söylemiş olur. Bu da dedektifin bilgisine uyan tek durumdur.
Hırsız Burak'tır. 🕵️‍♂️

Niceleyicilerin değillerini alırken, evrensel niceleyici (\( \forall \)) varlıksal niceleyiciye (\( \exists \)) dönüşürken, varlıksal niceleyici evrensel niceleyiciye dönüşür. Ayrıca önermenin de değili alınır. 💡

• a) \( P(x): \text{"Her tam sayı bir doğal sayıdır."} \) veya sembolik olarak \( \forall x \in \mathbb{Z}, x \in \mathbb{N} \)
  👉 Bu önermenin değili:
  \( \neg P(x): \text{"En az bir tam sayı bir doğal sayı değildir."} \) veya sembolik olarak \( \exists x \in \mathbb{Z}, x \notin \mathbb{N} \) ✅
  (Örneğin, \(-3\) bir tam sayıdır ama doğal sayı değildir.)


• b) \( Q(x): \text{"Bazı gerçek sayıların karesi kendisinden küçüktür."} \) veya sembolik olarak \( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 < x \)
  👉 Bu önermenin değili:
  \( \neg Q(x): \text{"Her gerçek sayının karesi kendisinden büyük veya eşittir."} \) veya sembolik olarak \( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge x \) ✅
  (Örneğin, \(x=0.5\) için \(x^2=0.25\) ve \(0.25 < 0.5\) iken, \(x=2\) için \(x^2=4\) ve \(4 \ge 2\). Değili olan önerme, her \(x\) için \(x^2 \ge x\) olduğunu iddia eder, bu da yanlış bir önermedir. Ancak bizden doğruluk değeri değil, değili istenmiştir.)

"Ancak ve ancak" bağlacı ile bağlı bir önermenin doğru olabilmesi için her iki önermenin de aynı doğruluk değerine sahip olması gerekir (ikisi de doğru veya ikisi de yanlış). 💡

• \(p: \text{"Bir sayı çifttir."}\)
  👉 Bu bir açık önerme olsa da, "bir sayının çift olması" ile "bir sayının 2 ile tam bölünmesi" arasındaki ilişkiyi inceliyoruz. Bir sayının çift olması tanım gereği 2 ile tam bölünmesi demektir. Bu yüzden \(p\) ve \(q\) önermeleri birbirine denktir. Yani her zaman aynı doğruluk değerine sahip olacaklardır.
• \(q: \text{"Bir sayı 2 ile tam bölünür."}\)

Örneğin:

• Eğer sayı \(4\) ise, \(p \equiv 1\) (çift), \(q \equiv 1\) (2 ile bölünür). Bu durumda \(1 \iff 1 \equiv 1\).
• Eğer sayı \(3\) ise, \(p \equiv 0\) (tek), \(q \equiv 0\) (2 ile bölünmez). Bu durumda \(0 \iff 0 \equiv 1\).

Her durumda, \(p\) ve \(q\) önermelerinin doğruluk değerleri aynı olacaktır. Bu nedenle, \( p \iff q \) bileşik önermesinin doğruluk değeri her zaman 1 (Doğru)'dir. ✅

Öncelikle önermelerimizi tanımlayalım ve sembolik olarak ifade edelim. 💡

• \(p\): "Hava güneşlidir."
• \(q\): "Ödevim yoktur."

Öğrencinin planı: "Eğer hava güneşliyse bahçede oynarım VEYA ödevim yoksa film izlerim." Bu ifadeyi daha açık hale getirelim:
"(\(p\) ise bahçede oynarım) VEYA (\(q\) ise film izlerim)"
Ancak günlük dilde bu tür ifadeler genelde "Eğer p ise A yaparım. Eğer q ise B yaparım." şeklinde değil, "Eğer p ise A yaparım VEYA q ise B yaparım." şeklinde anlaşılır.
Burada "bahçede oynamak" ve "film izlemek" eylemleri birer sonuçtur. Öğrenci bu eylemlerden en az birini yapmayı planlıyor. Yani, ana bağlaç "veya"dır.
Daha doğru bir yorumla, öğrencinin planı: "Bahçede oynarım" veya "film izlerim" önermelerinin gerçekleşmesi üzerine kuruludur.
Basitleştirilmiş plan önermesi: \( (p \implies \text{Bahçede oynarım}) \lor (q \implies \text{Film izlerim}) \)
Ancak 9. sınıf seviyesinde günlük hayattaki bu tür ifadeler genelde daha basit yorumlanır. Burada öğrencinin amacı, "Ya bahçede oynamak ya da film izlemek"tir. Bu iki eylemden en az birinin gerçekleşmesi planın "doğru" olduğunu gösterir.
Daha uygun bir yorum: "Hava güneşliyse bahçede oynarım" önermesi \(G\) ve "Ödevim yoksa film izlerim" önermesi \(F\) olsun. Plan \(G \lor F\) şeklindedir.
Öğrencinin planı: \( (\text{hava güneşliyse bahçede oynarım}) \lor (\text{ödevim yoksa film izlerim}) \)
Şimdi durumları inceleyelim:

• a) Hava güneşli (\(p \equiv 1\)), ödevi var (\(q \equiv 0\)).
  👉 "Hava güneşliyse bahçede oynarım" önermesi doğru (\(1\)).
  "Ödevim yoksa film izlerim" önermesi yanlış (\(0\)).
  Planın doğruluk değeri: \(1 \lor 0 \equiv 1\) (Doğru). Öğrenci bahçede oynar. ✅


• b) Hava bulutlu (\(p \equiv 0\)), ödevi yok (\(q \equiv 1\)).
  👉 "Hava güneşliyse bahçede oynarım" önermesi yanlış (\(0\)).
  "Ödevim yoksa film izlerim" önermesi doğru (\(1\)).
  Planın doğruluk değeri: \(0 \lor 1 \equiv 1\) (Doğru). Öğrenci film izler. ✅


• c) Hava bulutlu (\(p \equiv 0\)), ödevi var (\(q \equiv 0\)).
  👉 "Hava güneşliyse bahçede oynarım" önermesi yanlış (\(0\)).
  "Ödevim yoksa film izlerim" önermesi yanlış (\(0\)).
  Planın doğruluk değeri: \(0 \lor 0 \equiv 0\) (Yanlış). Öğrenci ne bahçede oynar ne de film izler. Plan gerçekleşmez. ✅

Bu soruda, verilen iki önermenin mantıksal olarak denk olup olmadığını inceleyeceğiz. "Denk" olmak, her zaman aynı doğruluk değerine sahip olmaları anlamına gelir. 💡
Öncelikle önermeleri sembolik olarak ifade edelim:

• \(p\): "Bir sayı 4'e tam bölünür."
• \(q\): "Bir sayı çifttir."

Şimdi verilen \(P\) ve \(Q\) önermelerini bu sembollerle yazalım:

• \(P\): "Eğer bir sayı 4'e tam bölünüyorsa, o sayı çifttir."
  Bu ifadeyi "ise" bağlacıyla yazabiliriz: \( p \implies q \)


• \(Q\): "Bir sayı çift değilse, o sayı 4'e tam bölünmez."
  "Bir sayı çift değilse" ifadesi \( \neg q \) anlamına gelir.
  "O sayı 4'e tam bölünmez" ifadesi \( \neg p \) anlamına gelir.
  Bu ifadeyi "ise" bağlacıyla yazabiliriz: \( \neg q \implies \neg p \)

Matematiksel mantıkta, \( p \implies q \) önermesinin karşıt tersi \( \neg q \implies \neg p \) önermesidir. Bir önerme ile onun karşıt tersi her zaman birbirine denktir.
Yani, \( (p \implies q) \equiv (\neg q \implies \neg p) \) kuralı geçerlidir. ✅
Doğruluk tablolarını karşılaştırarak da görebiliriz:

\(p\)	\(q\)	\(p \implies q\)	\( \neg q \)	\( \neg p \)	\( \neg q \implies \neg p \)
1	1	1	0	0	1
1	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1
0	0	1	1	1	1

Tablodan da görüldüğü gibi, \( (p \implies q) \) sütunu ile \( (\neg q \implies \neg p) \) sütunu tamamen aynıdır. Bu da onların birbirine denk olduğunu gösterir.
Dolayısıyla, öğretmenin sorusuna verilmesi gereken doğru cevap: "Evet, bu iki önerme mantıksal olarak birbirine denktir." olmalıdır. ✅

Bu soruyu çözmek için De Morgan kurallarını ve diğer mantık denkliklerini kullanacağız. 💡
Verilen ifade: \( \neg (p \land \neg q) \lor q \)

• 1. Adım: De Morgan kuralını \( \neg (p \land \neg q) \) kısmına uygulayalım.
  De Morgan kuralı: \( \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \)
  Bu durumda \(A = p\) ve \(B = \neg q\).
  \( \neg (p \land \neg q) \equiv \neg p \lor \neg (\neg q) \)


• 2. Adım: \( \neg (\neg q) \) ifadesini sadeleştirelim.
  İki kez değili alındığında önerme kendisine döner: \( \neg (\neg q) \equiv q \)
  Böylece ifadenin ilk kısmı \( \neg p \lor q \) haline gelir.


• 3. Adım: Şimdi tüm ifadeyi yeniden yazalım.
  \( (\neg p \lor q) \lor q \)


• 4. Adım: "Veya" bağlacının birleşme özelliği sayesinde parantezleri kaldırabiliriz.
  \( \neg p \lor q \lor q \)


• 5. Adım: "Veya" bağlacının tek kuvvet özelliği sayesinde \( q \lor q \) ifadesi \( q \) olur.
  \( q \lor q \equiv q \)


• 6. Adım: İfade son halini alır.
  \( \neg p \lor q \)

Bileşik önermenin en sade hali \( \neg p \lor q \)'dur. ✅
Ek bilgi: Bu ifade aynı zamanda \( p \implies q \) önermesine denktir. Yani \( \neg p \lor q \equiv p \implies q \).