🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmalarda Mantık Bağlaçları Ve Niceleyiciler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Algoritmalarda Mantık Bağlaçları Ve Niceleyiciler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini belirleyiniz ve değillerini (olumsuzlarını) yazınız. 💡
a) \(p\): "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır."
b) \(q\): "2 + 3 = 6"
Çözüm:
Bu örnekte, verilen önermelerin doğruluk değerlerini ve değillerini bulacağız. 👇
- a) \(p\): "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır."
- Bu önerme doğru bir önermedir. Bu yüzden doğruluk değeri \(1\)'dir. Yani \(p \equiv 1\). ✅
- Önermenin değili (olumsuzu) \(\neg p\) ile gösterilir ve "Türkiye'nin başkenti Ankara değildir." şeklindedir.
- \(\neg p\) önermesinin doğruluk değeri \(0\)'dır. Yani \(\neg p \equiv 0\).
- b) \(q\): "2 + 3 = 6"
- Bu önerme yanlış bir önermedir. Çünkü \(2+3=5\)'tir. Bu yüzden doğruluk değeri \(0\)'dır. Yani \(q \equiv 0\). ✅
- Önermenin değili (olumsuzu) \(\neg q\) ile gösterilir ve "2 + 3 \(\ne\) 6" veya "2 + 3, 6'ya eşit değildir." şeklindedir.
- \(\neg q\) önermesinin doğruluk değeri \(1\)'dir. Yani \(\neg q \equiv 1\).
Örnek 2:
Aşağıdaki önermeler için \(p \land q\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. 📌
\(p\): "En küçük asal sayı 2'dir."
\(q\): "Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir."
Çözüm:
"Ve" (\(\land\)) bağlacı ile bağlanmış önermelerin doğruluk değerini bulmak için her bir önermenin doğruluk değerini ayrı ayrı inceleyelim. 👇
- Öncelikle \(p\) önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
- \(p\): "En küçük asal sayı 2'dir." Bu önerme doğru bir önermedir.
- Dolayısıyla \(p \equiv 1\)'dir.
- Şimdi \(q\) önermesinin doğruluk değerini belirleyelim:
- \(q\): "Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir." Bu önerme de doğru bir önermedir.
- Dolayısıyla \(q \equiv 1\)'dir.
- Son olarak, \(p \land q\) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım:
- "Ve" bağlacı ile bağlanmış bir bileşik önermenin doğru olabilmesi için, bağlacı oluşturan her iki önermenin de doğru olması gerekir.
- Burada \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 1\) olduğundan, \(p \land q \equiv 1 \land 1 \equiv 1\)'dir. ✅
- Yani, \(p \land q\) bileşik önermesi doğrudur.
Örnek 3:
\(p \equiv 1\), \(q \equiv 0\) ve \(r \equiv 1\) olmak üzere, aşağıdaki bileşik önermenin doğruluk değerini bulunuz. 🤔
\[ (p \lor q) \land (\neg r) \]
\[ (p \lor q) \land (\neg r) \]
Çözüm:
Bu bileşik önermenin doğruluk değerini bulmak için adım adım ilerleyelim. 👉
- İlk olarak parantez içindeki \(p \lor q\) ifadesinin doğruluk değerini bulalım:
- Verilen bilgilere göre \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\)'dır.
- "Veya" (\(\lor\)) bağlacı ile bağlanmış bir bileşik önermenin doğru olabilmesi için önermelerden en az birinin doğru olması yeterlidir.
- \(p \lor q \equiv 1 \lor 0\). Bu durumda \(p \lor q \equiv 1\)'dir. ✅
- Şimdi \(\neg r\) ifadesinin doğruluk değerini bulalım:
- Verilen bilgiye göre \(r \equiv 1\)'dir.
- Bir önermenin değili (olumsuzu) onun doğruluk değerini tersine çevirir.
- \(\neg r \equiv \neg 1 \equiv 0\)'dır. ✅
- Son olarak, bulduğumuz değerleri ana bileşik önermede yerine koyarak sonucu hesaplayalım:
- Bileşik önermemiz \( (p \lor q) \land (\neg r) \) idi.
- Yerine koyarsak: \(1 \land 0\).
- "Ve" (\(\land\)) bağlacı ile bağlanmış bir bileşik önermenin doğru olabilmesi için her iki tarafın da doğru olması gerekir. Burada bir taraf \(0\) olduğu için sonuç \(0\)'dır.
- Yani, \( (p \lor q) \land (\neg r) \equiv 0\)'dır. ✅
- Bileşik önerme yanlıştır.
Örnek 4:
\(p \equiv 0\) ve \(q \equiv 1\) olmak üzere, aşağıdaki koşullu önermenin doğruluk değerini bulunuz. 🧐
\[ (\neg p \to q) \]
\[ (\neg p \to q) \]
Çözüm:
"İse" (\(\to\)) bağlacı içeren bu koşullu önermenin doğruluk değerini belirleyelim. 👇
- Öncelikle \(\neg p\) ifadesinin doğruluk değerini bulalım:
- Verilen bilgiye göre \(p \equiv 0\)'dır.
- \(\neg p \equiv \neg 0 \equiv 1\)'dir. ✅
- Şimdi \(\neg p \to q\) koşullu önermesinin doğruluk değerini bulalım:
- Yerine koyarsak: \(1 \to 1\).
- "İse" bağlacında, birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlış iken sonuç yanlış olur (yani \(1 \to 0 \equiv 0\)). Diğer tüm durumlarda sonuç doğrudur.
- Burada her iki taraf da doğru (\(1 \to 1\)) olduğu için koşullu önerme doğrudur.
- Yani, \( (\neg p \to q) \equiv 1\)'dir. ✅
Örnek 5:
De Morgan kurallarını kullanarak \(\neg(p \land \neg q)\) önermesinin eşdeğerini bulunuz. ✍️
Çözüm:
De Morgan kuralları, önermelerin değillerini alırken "ve" ile "veya" bağlaçlarının yer değiştirmesini sağlar. Bu kuralları uygulayarak verilen ifadenin eşdeğerini bulalım. 👇
- De Morgan kurallarını hatırlayalım:
- \(\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B\)
- \(\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B\)
- Verilen ifade \(\neg(p \land \neg q)\) şeklindedir. Burada \(A = p\) ve \(B = \neg q\) olarak düşünebiliriz.
- Birinci De Morgan kuralını uygulayalım:
- \(\neg(p \land \neg q) \equiv \neg p \lor \neg(\neg q)\)
- Şimdi \(\neg(\neg q)\) ifadesini basitleştirelim:
- Bir önermenin değilinin değili, önermenin kendisine eşittir. Yani \(\neg(\neg q) \equiv q\).
- Bu durumda, \(\neg p \lor \neg(\neg q)\) ifadesi \(\neg p \lor q\) şeklini alır.
- Sonuç olarak, \(\neg(p \land \neg q) \equiv \neg p \lor q\)'dur. ✅
Örnek 6:
Aşağıdaki açık önermenin değilini (olumsuzunu) bulunuz. 🧩
\[ \forall x \in \mathbb{Z}, \quad x^2 \ge 0 \] (Açıklama: \(\mathbb{Z}\) tam sayılar kümesini ifade eder.)
\[ \forall x \in \mathbb{Z}, \quad x^2 \ge 0 \] (Açıklama: \(\mathbb{Z}\) tam sayılar kümesini ifade eder.)
Çözüm:
Niceleyicili önermelerin değilini alırken evrensel niceleyici (\(\forall\)) varlıksal niceleyiciye (\(\exists\)) dönüşürken, varlıksal niceleyici evrensel niceleyiciye dönüşür. Ayrıca önermenin de değili alınır. Hadi adım adım yapalım. 👇
- Verilen önerme: "Her tam sayı için, o sayının karesi sıfırdan büyük veya eşittir."
- Öncelikle niceleyicinin değilini alalım:
- \(\neg(\forall x \in \mathbb{Z})\) ifadesi \(\exists x \in \mathbb{Z}\) şeklinde olur. (Yani "Her" yerine "Bazı" gelir.)
- Şimdi önermenin değilini alalım:
- \(x^2 \ge 0\) önermesinin değili \(x^2 < 0\)'dır.
- Bu ikisini birleştirerek önermenin değilini yazalım:
- \(\neg(\forall x \in \mathbb{Z}, \quad x^2 \ge 0) \equiv \exists x \in \mathbb{Z}, \quad x^2 < 0\) ✅
- Bu, "Bazı tam sayılar vardır ki, o sayıların karesi sıfırdan küçüktür." anlamına gelir.
- Ek bilgi: Bu önerme yanlış bir önermedir, çünkü hiçbir tam sayının karesi negatif olamaz. Ancak bizden sadece değilini bulmamız istendi.
Örnek 7:
Bir algoritma, bir sayının hem 3'e hem de 5'e tam bölünüp bölünmediğini kontrol edecektir. Bu durumu ifade eden önerme \(p(x)\): "\(x\), 3'e tam bölünür." ve \(q(x)\): "\(x\), 5'e tam bölünür." açık önermeleri kullanılarak nasıl yazılır? Ayrıca, "Bir \(x\) tam sayısı ya 3'e tam bölünür ya da 5'e tam bölünmez." ifadesini mantık bağlaçları ile gösteriniz. 💻
Çözüm:
Algoritmalarda koşulların belirlenmesi için mantık bağlaçları sıkça kullanılır. Bu durumu önermelerle ifade edelim. 👇
- Bir sayının hem 3'e hem de 5'e tam bölünmesi:
- "Hem ... hem de ..." ifadesi "ve" (\(\land\)) bağlacını temsil eder.
- Bu durumu ifade eden önerme \(p(x) \land q(x)\) şeklinde yazılır. ✅
- Yani, "(\(x\), 3'e tam bölünür) ve (\(x\), 5'e tam bölünür)."
- "Bir \(x\) tam sayısı ya 3'e tam bölünür ya da 5'e tam bölünmez." ifadesi:
- "Ya ... ya da ..." ifadesi "veya" (\(\lor\)) bağlacını temsil eder.
- "\(x\), 3'e tam bölünür" ifadesi \(p(x)\)'tir.
- "\(x\), 5'e tam bölünmez" ifadesi \(q(x)\)'in değilidir, yani \(\neg q(x)\)'tir.
- Bu iki ifadeyi "veya" bağlacı ile birleştirirsek: \(p(x) \lor \neg q(x)\) şeklinde yazılır. ✅
- Yani, "(\(x\), 3'e tam bölünür) veya ((\(x\), 5'e tam bölünür) değildir)."
Örnek 8:
Bir alışveriş sitesinde, bir ürünün indirimli fiyattan alınabilmesi için iki koşul bulunmaktadır:
1. Müşteri, siteye kayıtlı olmalıdır.
2. Sepet tutarı 100 TL ve üzeri olmalıdır.
1. Müşteri, siteye kayıtlı olmalıdır.
2. Sepet tutarı 100 TL ve üzeri olmalıdır.
Bu iki koşuldan her ikisi de sağlandığında indirim uygulanmaktadır. Eğer müşteri kayıtlı değilse veya sepet tutarı 100 TL'nin altında ise indirim uygulanmaz. Bu durumu mantık bağlaçları kullanarak nasıl ifade edersiniz?
Önermeleri tanımlayalım:
\(k\): "Müşteri siteye kayıtlıdır."
\(s\): "Sepet tutarı 100 TL ve üzeridir."
Çözüm:
Günlük hayatta karşılaştığımız birçok kural ve koşul, mantık bağlaçları kullanılarak matematiksel olarak ifade edilebilir. Bu indirim senaryosunu inceleyelim. 👇
- İndirimin uygulanması koşulu:
- "Her ikisi de sağlandığında" ifadesi "ve" (\(\land\)) bağlacını işaret eder.
- Yani, indirim uygulanması için \(k\) ve \(s\) önermelerinin ikisi de doğru olmalıdır.
- Bu durum \(k \land s\) şeklinde ifade edilir. ✅
- Eğer \(k \land s\) doğru ise (yani \(1\) ise), indirim uygulanır.
- İndirimin uygulanmaması koşulu:
- "Eğer müşteri kayıtlı değilse veya sepet tutarı 100 TL'nin altında ise" ifadesi "veya" (\(\lor\)) bağlacını ve "değil" (\(\neg\)) bağlacını içerir.
- "Müşteri kayıtlı değilse" ifadesi \(k\)'nin değili, yani \(\neg k\)'dir.
- "Sepet tutarı 100 TL'nin altında ise" ifadesi \(s\)'nin değili, yani \(\neg s\)'dir.
- Bu durum \(\neg k \lor \neg s\) şeklinde ifade edilir. ✅
- De Morgan kurallarını hatırlarsak, \(\neg k \lor \neg s \equiv \neg(k \land s)\)'dir. Bu da, "İndirimin uygulanması koşulunun değili" anlamına gelir. Yani, \(k \land s\) doğru değilse, indirim uygulanmaz. Bu da mantıksal olarak tutarlıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-algoritmalarda-mantik-baglaclari-ve-niceleyiciler/sorular