💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmalar ve Matematiksel İspatlarda Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler Çözümlü Örnekler

Bu soruda önermelerin doğruluğunu kontrol etmemiz gerekiyor.

• Önerme A: \( 2 + 3 = 5 \) olduğu için \( 2 + 3 = 6 \) önermesi yanlıştır.
• Önerme B: \( \pi \) sayısı yaklaşık olarak \( 3.14159... \) olduğundan, \( \pi > 3 \) önermesi doğrudur. ✅
• Önerme C: \( 10 \) çift bir sayı olduğu için \( 10 \) tek sayıdır önermesi yanlıştır.
• Önerme D: \( 5 \times 0 = 0 \) olduğu için \( 5 \times 0 = 5 \) önermesi yanlıştır.

Bu nedenle doğru önerme B seçeneğidir. 👉

Koşullu önermelerde \( p \implies q \) yapısı kullanılır. Bu önermenin yanlış olması için tek bir durum vardır: p doğru iken q yanlış olmalıdır.

• Burada p: "Bugün hava güneşli" önermesidir.
• q: "Yarın yağmur yağar" önermesidir.

Önermenin yanlış olması için:

• Bugün hava güneşli olmalı (p doğru)
• Yarın yağmur yağmamalı (q yanlış)

Bu durum gerçekleşirse koşullu önerme yanlış olur. 💡

"Her" niceleyicisi ile kurulan bir önermenin değili, "Bazı" niceleyicisi ile kurulur.

• Orijinal önerme: \( \forall x, \text{Öğrenci}(x) \implies \text{Çalışkan}(x) \)
• Bu önermenin değili: \( \exists x, \text{Öğrenci}(x) \land \neg \text{Çalışkan}(x) \)

Bu da şu anlama gelir: "Çalışkan olmayan en az bir öğrenci vardır." veya "Bazı öğrenciler çalışkan değildir." Dolayısıyla, bu ifadenin değili olmayan seçenek, orijinal önermenin doğru olduğunu savunan bir ifade olmalıdır. ✅

Öncelikle p ve q önermelerinin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• p önermesi: İki tek sayının toplamı her zaman çifttir. Örneğin, \( 3 + 5 = 8 \) (çift). Bu nedenle p önermesi doğrudur (Doğruluk değeri 1).
• q önermesi: Her çift sayı 2'ye tam bölünür. Örneğin, \( 4 \div 2 = 2 \), \( 10 \div 2 = 5 \). Bu nedenle q önermesi doğrudur (Doğruluk değeri 1).

Şimdi q' önermesini bulalım. q önermesi doğru olduğu için, q' (q'nun değili) önermesi yanlıştır (Doğruluk değeri 0). Son olarak \( p \land q' \) önermesini hesaplayalım:

• \( p \land q' \equiv 1 \land 0 \)
• "Ve" ( \( \land \) ) bağlacında, her iki önerme de doğru ise sonuç doğru olur. Aksi halde sonuç yanlıştır.
• Bu durumda \( 1 \land 0 \) işleminin sonucu 0 (yanlış)'dır.

Sonuç olarak \( p \land q' \) önermesi yanlıştır. 👉

Algoritmadaki 3. adımda "Büyük" yazısının çıkması için \( x \) sayısının 10'dan büyük olması gerekir. Bu durumu matematiksel olarak ifade edebiliriz.

• Algoritmanın amacı, girilen \( x \) sayısını 10 ile karşılaştırmaktır.
• "Büyük" çıktısı, \( x \) sayısının 10'dan büyük olduğunu belirtir.

Bu durumu mantıksal olarak ifade etmek için büyüktür (>) sembolünü kullanırız.

• Yani, ekrana "Büyük" yazısı çıkıyorsa, bu durum \( x > 10 \) şeklinde gösterilir. ✅

Bu, bir koşullu ifadenin (eğer-ise) gerçekleştiğini gösterir. 💡

Bu kampanya koşulunu mantıksal bağlaçlar kullanarak adım adım oluşturalım:

• Kampanyanın gerçekleşmesi için iki şartın aynı anda sağlanması gerekiyor. Bu, "ve" ( \( \land \) ) bağlacını kullanmamız gerektiğini gösterir.
• Birinci şart: Sepetteki ürün sayısı 5'ten fazla. Bunu \( \text{ürün_sayısı} > 5 \) olarak ifade edebiliriz.
• İkinci şart: Toplam tutar 100 TL'den fazla. Bunu \( \text{toplam_tutar} > 100 \) olarak ifade edebiliriz.

Her iki şartın da doğru olması gerektiği için bu iki ifadeyi "ve" bağlacı ile birleştiririz:

• Koşul: \( (\text{ürün_sayısı} > 5) \land (\text{toplam_tutar} > 100) \)

Eğer bu koşul sağlanırsa, indirim kazanılır. Bu, bir koşullu önermenin (ise) bir parçasıdır. 💡

Bu önermeyi en sade hale getirmek için mantık kurallarını ve dağılma özelliğini kullanabiliriz.

• Verilen önerme: \( (p \lor q) \land (p' \lor q) \)
• Bu ifadede \( q \) terimi her iki parantezde de ortak. Dağılma özelliğini kullanarak \( q \) terimini dışarı alabiliriz:
• \( (p \land p') \lor q \)

Şimdi \( p \land p' \) ifadesini inceleyelim:

• \( p \) bir önerme ise, \( p' \) onun değili olur.
• Bir önerme ve onun değili aynı anda doğru olamaz. Bu nedenle \( p \land p' \) her zaman yanlıştır (Doğruluk değeri 0).

Yerine koyarsak:

• \( 0 \lor q \)

"Veya" ( \( \lor \) ) bağlacında, önermelerden en az biri doğru ise sonuç doğrudur. Eğer \( q \) doğru ise sonuç doğru olur. Eğer \( q \) yanlış ise sonuç \( 0 \lor 0 = 0 \) olur. Yani, sonuç her zaman \( q \)'nun doğruluk değerine bağlıdır.

• Bu nedenle, \( 0 \lor q \) ifadesinin en sade hali \( q \)'dur. ✅

Öğretmenin sorduğu önerme: "Her tam sayı çift sayıdır." Bu önermenin "Her" ( \( \forall \) ) niceleyicisi ile kurulduğunu görüyoruz. "Her" ile kurulan bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için, o özelliğe uymayan en az bir tane eleman bulmak yeterlidir. Bu duruma karşı örnek bulma denir.

• Önermenin yanlışlığını göstermek için, tam sayı olan ama çift sayı olmayan bir sayı bulmalıyız.
• Tam sayılar kümesi: \( \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \} \)
• Çift sayılar kümesi: \( \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ... \} \)
• Tek sayılar kümesi: \( \{..., -3, -1, 1, 3, 5, ... \} \)

Gördüğümüz gibi, tam sayılar kümesinde çift olmayan sayılar da vardır (tek sayılar).

• Örneğin, 3 bir tam sayıdır ancak çift sayı değildir.
• Yine, -5 de bir tam sayıdır ancak çift sayı değildir.

Bu nedenle, "Her tam sayı çift sayıdır." önermesi yanlıştır. Yanlışlığını göstermek için tek bir tek tam sayı (örneğin 3 veya -5) göstermek yeterlidir. ✅