✅ 9. Sınıf Matematik: Algoritmada ispat Test Çöz

Bir algoritmanın doğruluğunu doğrudan ispat yöntemiyle göstermek isteyen bir öğrenci, "İki çift sayının toplamı yine bir çift sayıdır." teoremini ispatlayacaktır.

Öğrenci çift sayıları $x = 2n$ ve $y = 2m$ ($n, m \in \mathbb{Z}$) olarak tanımlamıştır.

Buna göre, ispatın son adımında elde edilmesi gereken ve toplamın çift sayı olduğunu gösteren matematiksel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

Bir bilgisayar algoritması, girilen bir $x$ tam sayısı için aşağıdaki adımları uygulamaktadır:

1. Adım: $x$ değerini oku.
2. Adım: Eğer $x$ sayısı 3 ile tam bölünüyor ise $y = x + 3$ yap ve 4. Adım'a git.
3. Adım: Eğer $x$ sayısı 3 ile tam bölünmüyor ise $y = 2x - 1$ yap.
4. Adım: $y$ değerini ekrana yazdır.

Bu algoritmaya $x = 7$ girdisi verildiğinde ekrana yazdırılan $y$ değeri kaçtır?

"Her $n$ doğal sayısı için $2^n + 1$ bir asal sayıdır." iddiasını içeren bir algoritmanın hatalı olduğunu aksine örnek verme yöntemiyle ispatlamak isteyen bir yazılımcı, $n$ yerine aşağıdaki değerlerden hangisini seçmelidir?

Bir algoritma, "Eğer $x^2$ tek sayı ise $x$ tek sayıdır." önermesini ispatlamak için "Eğer $x$ çift sayı ise $x^2$ çift sayıdır." önermesini doğrulamaya çalışmaktadır.

Bu algoritmanın kullandığı ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir?

Öklid Bölme Algoritması, iki pozitif tam sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmak için kullanılır. Bu algoritmada her adımda büyük sayı küçük sayıya bölünür ve kalan sıfır olana kadar işlem kalan sayılarla tekrarlanır.

Buna göre, $\text{EBOB}(168, 60)$ değerini bulmak için Öklid algoritmasının adımları yazıldığında, elde edilen ilk kalan sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir döngü algoritması, 1'den $n$'ye kadar olan ardışık doğal sayıların toplamını hesaplamaktadır. Algoritmanın her adımında $S$ değişkeni toplamı, $i$ değişkeni ise o anki sayacı göstermektedir.

Döngünün her adımının başında $S = \frac{(i-1)i}{2}$ eşitliğinin korunduğu (döngü değişmezi olduğu) bilinmektedir.

Buna göre, $i = 11$ adımının başında $S$ değişkeninin değeri kaç olmalıdır?

Bir algoritma tasarımcısı, $\sqrt{3}$ sayısının rasyonel olmadığını çelişki (olmayana ergi) yöntemiyle ispatlamak için aşağıdaki adımları kurgulamıştır:

1. Adım: $\sqrt{3}$ sayısının rasyonel olduğunu varsayalım. O halde, $a$ ve $b$ aralarında asal tam sayılar ve $b \neq 0$ olmak üzere $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ yazılabilir.
2. Adım: Her iki tarafın karesi alınırsa $3 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 3b^2$ elde edilir.
3. Adım: $a^2$ sayısı 3'ün katı olduğundan, $a$ sayısı da 3'ün katı olmalıdır. $a = 3k$ ($k \in \mathbb{Z}$) olsun.
4. Adım: $a = 3k$ ifadesi 2. Adım'daki denklemde yerine yazılırsa $(3k)^2 = 3b^2 \Rightarrow 9k^2 = 3b^2 \Rightarrow b^2 = 3k^2$ elde edilir.
5. Adım: $b^2$ sayısı 3'ün katı olduğundan, $b$ sayısı da 3'ün katı olmalıdır.
6. Adım: Hem $a$ hem de $b$ sayılarının 3'ün katı olması, başlangıçtaki hangi kabul ile çelişir?

Algoritmanın 6. Adımında bahsedilen çelişki aşağıdakilerden hangisidir?

Bir programlama dilinde yazılan koşullu algoritma şu şekildedir:

Eğer (p' veya q)' ise A işlemini yap, aksi halde B işlemini yap.

Bu algoritmanın daha sade ve hızlı çalışması için De Morgan kuralları kullanılarak koşul ifadesi sadeleştirilmek isteniyor.

Buna göre, A işleminin yapılmasını sağlayan koşul aşağıdakilerden hangisine mantıksal olarak denktir?

Bir algoritma, girilen üç basamaklı bir $abc$ sayısının 9 ile tam bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için şu matematiksel ispat adımlarını kullanmaktadır:

$$ abc = 100a + 10b + c $$
$$ abc = 99a + 9b + (a + b + c) $$
$$ abc = 9(11a + b) + (a + b + c) $$

Bu ispata göre, $abc$ sayısının 9 ile bölümünden kalan, $(a + b + c)$ toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

Eğer algoritma $abc = 748$ sayısını girdi olarak alırsa, ispat adımlarındaki $9(11a + b)$ kısmının değeri kaç olur?

İki pozitif tam sayının en büyük ortak bölenini çıkarma yoluyla bulan antik bir algoritmanın adımları aşağıda verilmiştir:

1. Adım: $x$ ve $y$ pozitif tam sayılarını oku.
2. Adım: Eğer $x > y$ ise $x = x - y$ yap ve 5. Adım'a git.
3. Adım: Eğer $y > x$ ise $y = y - x$ yap ve 5. Adım'a git.
4. Adım: Eğer $x = y$ ise ekrana $x$ değerini yaz ve algoritmayı durdur.
5. Adım: 2. Adım'a dön.

Bu algoritmaya başlangıçta $x = 28$ ve $y = 12$ değerleri girilirse, algoritma durana kadar toplam kaç kez çıkarma işlemi (2. veya 3. adım) gerçekleştirilir?

Bir matematiksel algoritma, her $n$ tam sayısı için $n^2 + n$ ifadesinin daima bir çift sayı ürettiğini doğrulamak istemektedir. Algoritma bu doğrulamayı şu şekilde ikiye ayırarak yapar:

- Durum 1: $n$ bir çift sayı ise $n = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}$) olsun. Bu durumda $n^2 + n = (2k)^2 + 2k = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)$ olur ve bu sayı çift sayıdır.
- Durum 2: $n$ bir tek sayı ise $n = 2k + 1$ ($k \in \mathbb{Z}$) olsun. Bu durumda $n^2 + n = (2k+1)^2 + (2k+1) = 4k^2 + 4k + 1 + 2k + 1 = 4k^2 + 6k + 2 = 2(2k^2 + 3k + 1)$ olur ve bu sayı da çift sayıdır.

Algoritmanın kullandığı bu ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir?

İki basamaklı bir $ab$ doğal sayısı ile çalışan bir algoritma şu adımları izlemektedir:

1. Adım: $ab$ sayısının rakamları toplamını ($a + b$) hesapla.
2. Adım: Eğer $a + b$ toplamı asal sayı ise algoritmayı durdur ve ekrana $ab$ sayısını yaz.
3. Adım: Eğer $a + b$ toplamı asal sayı değilse, $ab$ sayısına 9 ekle ($ab = ab + 9$) ve 1. Adım'a geri dön.

Bu algoritmaya başlangıç değeri olarak $ab = 35$ girilirse, algoritma durduğunda ekrana yazdırılan sayı kaç olur?

Bir torbada başlangıçta $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ kümesinin elemanları olan 10 adet sayı kartı bulunmaktadır. Bir algoritma her adımda torbadan rastgele seçtiği iki $x$ ve $y$ sayı kartını torbadan çıkarmakta ve yerlerine bu sayıların toplamının 1 eksiği olan $x + y - 1$ sayısını yazarak yeni bir kartı torbaya atmaktadır.

Algoritma torbada sadece tek bir kart kalana kadar bu işleme devam etmektedir.

Buna göre, algoritma sonlandığında torbada kalan son kartın üzerinde yazan sayı kesinlikle kaçtır?

Bir sıralama ve karşılaştırma algoritması, birbirinden farklı $a$, $b$ ve $c$ gerçel sayıları arasından en büyük olanını bulmak için aşağıdaki mantıksal önermeleri tanımlamıştır:

- $p: a > b$
- $q: b > c$
- $r: a > c$

Algoritma, bu önermelerin doğruluk değerlerini kullanarak en büyük sayıyı tespit etmektedir.

Buna göre, $b$ sayısının en büyük sayı olduğunu ispatlamak için aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değerinin kesinlikle 1 olması gerekir?