🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmada ispat Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Algoritmada ispat Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki tek sayının toplamının her zaman bir çift sayı olduğunu doğrudan ispat yöntemiyle gösteriniz. 💡
Çözüm:
İspat adımlarını mantıksal bir sıra ile takip edelim:
- Adım 1: Birinci tek sayımızı \( a = 2 \times n + 1 \) olarak tanımlayalım (Burada \( n \) bir tam sayıdır).
- Adım 2: İkinci tek sayımızı \( b = 2 \times m + 1 \) olarak tanımlayalım (Burada \( m \) bir tam sayıdır).
- Adım 3: Bu iki sayıyı toplayalım:
\( a + b = (2 \times n + 1) + (2 \times m + 1) \) - Adım 4: İfadeyi düzenleyelim:
\( a + b = 2 \times n + 2 \times m + 2 \) - Adım 5: İfadeyi 2 ortak parantezine alalım:
\( a + b = 2 \times (n + m + 1) \) - Sonuç: Elde edilen sonuç 2 ile tam bölünebildiği için toplam her zaman bir çift sayıdır. ✅
Örnek 2:
"Her \( n \) doğal sayısı için \( n^2 + n + 41 \) bir asal sayıdır." önermesinin yanlış olduğunu "Aksine Örnek Verme" yöntemiyle ispatlayınız. 🔍
Çözüm:
Bir önermenin yanlış olduğunu ispatlamak için, önermeyi sağlamayan tek bir örnek bulmak yeterlidir:
- Adım 1: Önermede \( n \) yerine farklı doğal sayılar vererek deneyelim.
- Adım 2: Eğer \( n = 41 \) seçersek:
\( 41^2 + 41 + 41 \) ifadesini elde ederiz. - Adım 3: Bu ifadeyi 41 parantezine alarak inceleyelim:
\( 41 \times (41 + 1 + 1) \) - Adım 4: İşlemi yapalım:
\( 41 \times 43 \) - Sonuç: Bulduğumuz sayı 41 ve 43 sayılarının çarpımıdır. Bir asal sayı sadece 1'e ve kendisine bölünmelidir. Bu sayı ise 41 ve 43'e de bölündüğü için asal değildir. Dolayısıyla önerme yanlıştır. ❌
Örnek 3:
Bir ATM cihazının para çekme işlemi sırasında izlediği algoritmik mantığı adım adım yazınız. 🏧
Çözüm:
Algoritma, bir problemi çözmek için izlenen mantıksal yol haritasıdır:
- Adım 1: Başla.
- Adım 2: Kullanıcıdan çekmek istediği tutarı (\( x \)) girmesini iste.
- Adım 3: Kullanıcının banka hesabındaki bakiyeyi (\( y \)) kontrol et.
- Adım 4: Eğer \( x \leq y \) ise parayı ver ve bakiyeyi güncelle (\( y = y - x \)).
- Adım 5: Eğer \( x > y \) ise "Yetersiz Bakiye" uyarısı ver.
- Adım 6: İşlemi sonlandır ve kartı iade et. 🏁
Örnek 4:
\( n \) bir tam sayı olmak üzere, "\( n^2 \) çift sayı ise \( n \) de çift sayıdır" önermesini olmayana ergi (çelişki) yöntemiyle ispatlamaya başlayınız. 🧠
Çözüm:
Olmayana ergi yönteminde, hükmün tersinin doğru olduğunu varsayıp bir çelişkiye ulaşmaya çalışırız:
- Varsayım: \( n \) sayısının çift olmadığını, yani bir tek sayı olduğunu kabul edelim.
- Adım 1: \( n \) tek sayı ise \( n = 2 \times k + 1 \) şeklinde yazılabilir.
- Adım 2: Sayının karesini alalım:
\( n^2 = (2 \times k + 1)^2 \) - Adım 3: Kare alma işlemini yapalım:
\( n^2 = 4 \times k^2 + 4 \times k + 1 \) - Adım 4: Düzenleyelim:
\( n^2 = 2 \times (2 \times k^2 + 2 \times k) + 1 \) - Sonuç: Bu sonuç \( n^2 \) sayısının tek olduğunu gösterir. Ancak sorunun başında \( n^2 \) sayısının çift olduğu verilmişti.
- Çelişki: Varsayımımız bizi çelişkiye götürdüğü için \( n \) sayısı mutlaka çift olmalıdır. ✅
Örnek 5:
Bir bilgisayar programı, girilen bir \( x \) tam sayısı için şu adımları izliyor:
1. Sayıyı oku.
2. Sayı çift ise 2'ye böl, tek ise 3 ile çarpıp 1 ekle.
3. Sonuç 1 olana kadar 2. adımı tekrarla.
Soru: Giriş olarak \( x = 3 \) sayısı verilirse, algoritma kaç adımda 1 sonucuna ulaşır? 💻
1. Sayıyı oku.
2. Sayı çift ise 2'ye böl, tek ise 3 ile çarpıp 1 ekle.
3. Sonuç 1 olana kadar 2. adımı tekrarla.
Soru: Giriş olarak \( x = 3 \) sayısı verilirse, algoritma kaç adımda 1 sonucuna ulaşır? 💻
Çözüm:
Adımları tek tek uygulayarak ispatlayalım:
- Başlangıç: \( x = 3 \) (Tek sayı)
- 1. Adım: Tek olduğu için \( 3 \times 3 + 1 = 10 \)
- 2. Adım: 10 çift olduğu için \( 10 / 2 = 5 \)
- 3. Adım: 5 tek olduğu için \( 3 \times 5 + 1 = 16 \)
- 4. Adım: 16 çift olduğu için \( 16 / 2 = 8 \)
- 5. Adım: 8 çift olduğu için \( 8 / 2 = 4 \)
- 6. Adım: 4 çift olduğu için \( 4 / 2 = 2 \)
- 7. Adım: 2 çift olduğu için \( 2 / 2 = 1 \)
- Sonuç: Algoritma toplam 7 adımda 1 değerine ulaşmıştır. 🎯
Örnek 6:
\( n \) bir tek sayı ise \( n^2 \) sayısının 4 ile bölümünden kalanın her zaman 1 olduğunu ispatlayınız. 📐
Çözüm:
Doğrudan ispat yöntemini kullanalım:
- Adım 1: \( n \) tek sayı ise \( n = 2 \times k + 1 \) olsun.
- Adım 2: \( n^2 \) ifadesini hesaplayalım:
\( n^2 = (2 \times k + 1)^2 = 4 \times k^2 + 4 \times k + 1 \) - Adım 3: İlk iki terimi 4 parantezine alalım:
\( n^2 = 4 \times (k^2 + k) + 1 \) - Adım 4: Burada \( k^2 + k \) bir tam sayıdır, buna \( m \) diyelim.
- Sonuç: İfade \( n^2 = 4 \times m + 1 \) şekline dönüşür. Bu da \( n^2 \) sayısının 4 ile bölündüğünde 1 kalanını verdiğini ispatlar. ✅
Örnek 7:
Bir online alışveriş sitesi 100 TL ve üzeri alışverişlerde kargo ücreti almamaktadır. Kargo ücreti ise 15 TL'dir. Bir müşterinin ödeyeceği toplam tutarı (\( t \)) hesaplayan algoritmayı kurunuz. 🛒
Çözüm:
Müşterinin sepet tutarı \( s \) olsun:
- Adım 1: Sepet tutarını (\( s \)) oku.
- Adım 2: Eğer \( s \geq 100 \) ise toplam tutar \( t = s \) olur.
- Adım 3: Eğer \( s < 100 \) ise toplam tutar \( t = s + 15 \) olur.
- Adım 4: Toplam tutarı (\( t \)) ekrana yazdır.
- Örnek: 80 TL'lik ürün alan biri için \( 80 < 100 \) olduğu için \( 80 + 15 = 95 \) TL ödeme çıkar. 💳
Örnek 8:
"İki rasyonel sayının toplamı her zaman bir tam sayıdır" iddiasının yanlışlığını ispatlayınız. 🧮
Çözüm:
Bu iddiayı çürütmek için bir karşıt örnek (aksine örnek) sunalım:
- Adım 1: Birinci rasyonel sayımız \( a = 1 / 2 \) olsun.
- Adım 2: İkinci rasyonel sayımız \( b = 1 / 3 \) olsun.
- Adım 3: Bu iki sayıyı toplayalım:
\( 1 / 2 + 1 / 3 = 5 / 6 \) - Adım 4: \( 5 / 6 \) sayısı bir rasyonel sayıdır ancak bir tam sayı değildir.
- Sonuç: Tek bir karşıt örnek, genel iddianın yanlış olduğunu ispatlamak için yeterlidir. ❌
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-algoritmada-ispat/sorular