🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Algoritma ve tales-öklid Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Algoritma ve tales-öklid Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, [DE] doğru parçası [BC] kenarına paraleldir.
D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir.
\( AD = 4 \) birim, \( DB = 2 \) birim ve \( AE = 6 \) birim olduğuna göre, EC = x kaç birimdir? 💡
D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir.
\( AD = 4 \) birim, \( DB = 2 \) birim ve \( AE = 6 \) birim olduğuna göre, EC = x kaç birimdir? 💡
Çözüm:
Thales Teoremi (Temel Benzerlik Teoremi) gereği, bir üçgende bir kenara paralel olan doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara böler.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Paralellikten dolayı şu oranı kurabiliriz: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
- Verilen değerleri yerleştirelim: \[ \frac{4}{2} = \frac{6}{x} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 4 \times x = 2 \times 6 \]
- \[ 4x = 12 \]
- Her iki tarafı 4'e böldüğümüzde: x = 3 birim bulunur. ✅
Örnek 2:
Birbirine paralel olan \( d_1, d_2, d_3 \) doğruları iki farklı kesenle kesişmektedir.
Birinci kesen üzerinde oluşan parçaların uzunlukları 3 ve 5 birimdir.
İkinci kesen üzerinde, 3 birimlik parçaya karşılık gelen uzunluk 9 birim ise, 5 birimlik parçaya karşılık gelen y uzunluğu kaç birimdir? 📏
Birinci kesen üzerinde oluşan parçaların uzunlukları 3 ve 5 birimdir.
İkinci kesen üzerinde, 3 birimlik parçaya karşılık gelen uzunluk 9 birim ise, 5 birimlik parçaya karşılık gelen y uzunluğu kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bu soru Thales'in Kesenler Teoremi ile çözülür. Paralel doğrular, kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Orantıyı kuralım: \[ \frac{3}{5} = \frac{9}{y} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \times y = 5 \times 9 \]
- \[ 3y = 45 \]
- Her iki tarafı 3'e bölelim: y = 15 birim olarak hesaplanır. ✅
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) derecedir. [AD] yüksekliği [BC] hipotenüsüne dik olarak indirilmiştir.
\( BD = 4 \) cm ve \( DC = 9 \) cm olduğuna göre, AD = h yüksekliği kaç cm'dir? 📐
\( BD = 4 \) cm ve \( DC = 9 \) cm olduğuna göre, AD = h yüksekliği kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Bu Öklid Bağıntısı (Yükseklik Bağıntısı) olarak bilinir.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Öklid formülünü yazalım: \[ h^2 = p \times k \]
- Burada \( p = 4 \) ve \( k = 9 \) değerlerini yerine koyalım: \[ h^2 = 4 \times 9 \]
- \[ h^2 = 36 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: h = 6 cm bulunur. ✅
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \)'dir. [AD] dikmesi [BC] üzerine indirilmiştir.
\( BD = 2 \) birim ve \( AB = 2\sqrt{5} \) birim olduğuna göre, BC uzunluğunun tamamı kaç birimdir? 🔍
\( BD = 2 \) birim ve \( AB = 2\sqrt{5} \) birim olduğuna göre, BC uzunluğunun tamamı kaç birimdir? 🔍
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in Yan Kenar Bağıntısı kullanılır. Bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki dik izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Formülü yazalım: \[ AB^2 = BD \times BC \]
- Verilenleri yerleştirelim: \[ (2\sqrt{5})^2 = 2 \times BC \]
- Kare alma işlemini yapalım: \[ 4 \times 5 = 2 \times BC \]
- \[ 20 = 2 \times BC \]
- Her iki tarafı 2'ye bölelim: BC = 10 birim bulunur. ✅
Örnek 5:
Öklid Algoritması kullanarak 120 ve 45 sayılarının EBOB (En Büyük Ortak Bölen) değerini adım adım bulan bir algoritma yazınız. 💻
Çözüm:
Öklid Algoritması, büyük sayıyı küçük sayıya bölüp kalanı bulma işleminin, kalan sıfır olana kadar tekrar edilmesi prensibine dayanır.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Adım 1: 120 sayısını 45'e bölelim.
\( 120 = 45 \times 2 + 30 \) (Kalan: 30) - Adım 2: Şimdi 45'i önceki kalan olan 30'a bölelim.
\( 45 = 30 \times 1 + 15 \) (Kalan: 15) - Adım 3: Şimdi 30'u önceki kalan olan 15'e bölelim.
\( 30 = 15 \times 2 + 0 \) (Kalan: 0) - Sonuç: Kalan 0 olduğunda, bölme işlemini yapan son bölen sayı EBOB'dur.
EBOB(120, 45) = 15 ✅
Örnek 6:
Güneşli bir günde, boyu 1.5 metre olan bir öğrencinin gölge boyu 2 metredir.
Aynı anda, yanındaki okul binasının gölge boyu 12 metre olarak ölçüldüğüne göre, okulun gerçek yüksekliği kaç metredir? 🏫☀️
Aynı anda, yanındaki okul binasının gölge boyu 12 metre olarak ölçüldüğüne göre, okulun gerçek yüksekliği kaç metredir? 🏫☀️
Çözüm:
Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, nesnelerin boyları ile gölge boyları arasında Thales Teoremi uyarınca bir benzerlik oranı vardır.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Orantıyı şu şekilde kurabiliriz: \[ \frac{Ogrenci \ Boyu}{Ogrenci \ Golgesi} = \frac{Bina \ Boyu}{Bina \ Golgesi} \]
- Değerleri yerine yazalım (Bina boyuna x diyelim): \[ \frac{1.5}{2} = \frac{x}{12} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 2 \times x = 1.5 \times 12 \]
- \[ 2x = 18 \]
- Her iki tarafı 2'ye bölelim: x = 9 metre.
Okulun yüksekliği 9 metredir. ✅
Örnek 7:
Bir park tasarımında, dik kesişen iki yürüyüş yolunun birleştiği A köşesinden, karşıdaki doğrusal ana yola en kısa mesafeden bir bağlantı yolu yapılacaktır.
Ana yol üzerindeki bu bağlantı noktası, yolu 8 metre ve 18 metre uzunluğunda iki parçaya ayırmaktadır.
Buna göre, yapılacak olan bağlantı yolunun uzunluğu kaç metredir? 🌳🚶
Ana yol üzerindeki bu bağlantı noktası, yolu 8 metre ve 18 metre uzunluğunda iki parçaya ayırmaktadır.
Buna göre, yapılacak olan bağlantı yolunun uzunluğu kaç metredir? 🌳🚶
Çözüm:
Soruda "en kısa mesafe" ifadesi, A köşesinden ana yola indirilen dikmeyi (yüksekliği) temsil eder. Bu durum bir dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik modelidir.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Yollar dik kesiştiği için tepe açısı \( 90^\circ \)'dir.
- Bağlantı yolu (h), hipotenüsü \( p = 8 \) ve \( k = 18 \) şeklinde ikiye ayırır.
- Öklid Bağıntısı uygulanır: \[ h^2 = p \times k \]
- \[ h^2 = 8 \times 18 \]
- \[ h^2 = 144 \]
- Her iki tarafın karekökü alınır: h = 12 metre. ✅
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \)'dir. [AD] yüksekliği çizilmiştir.
\( BD = 4 \) birim ve \( DC = 9 \) birimdir.
D noktasından [AB] kenarına bir dikme indirilmiş ve bu dikme ayağına E noktası denilmiştir.
Buna göre, DE uzunluğu kaç birimdir? 🧩
\( BD = 4 \) birim ve \( DC = 9 \) birimdir.
D noktasından [AB] kenarına bir dikme indirilmiş ve bu dikme ayağına E noktası denilmiştir.
Buna göre, DE uzunluğu kaç birimdir? 🧩
Çözüm:
Bu soru hem Öklid hem de dik üçgende alan/benzerlik ilişkisi içerir.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Önce ana üçgende Öklid ile AD yüksekliğini bulalım:
\[ AD^2 = 4 \times 9 = 36 \implies AD = 6 \] - Şimdi ABD üçgenine odaklanalım. Bu da bir dik üçgendir ve [DE], bu üçgenin hipotenüsü olan [AB]'ye indirilen yüksekliktir.
- ABD üçgeninde Pisagor teoremi ile AB uzunluğunu bulalım:
\[ AB^2 = AD^2 + BD^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \implies AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] - ABD üçgeninin alanını iki farklı yolla yazarak DE'yi bulalım:
\[ \frac{AD \times BD}{2} = \frac{AB \times DE}{2} \] - \[ 6 \times 4 = 2\sqrt{13} \times DE \]
- \[ 24 = 2\sqrt{13} \times DE \implies 12 = \sqrt{13} \times DE \]
- Buradan DE = \( \frac{12}{\sqrt{13}} \) birim bulunur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-algoritma-ve-tales-oklid/sorular