💡 9. Sınıf Matematik: Algoritma temelli yaklaşımlarla problem çözebilme, Mantık bağlaçları ve niceleyiciler, İstatistiksel araştırma süreci, Veriden olasılığa Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için bir algoritma oluşturabiliriz:

• Adım 1: Ekmek fiyatını al. (5 TL)
• Adım 2: Süt fiyatını al. (15 TL)
• Adım 3: Peynir fiyatını al. (40 TL)
• Adım 4: Bu üç fiyatı topla. \( 5 + 15 + 40 \)
• Adım 5: Toplam tutarı hesapla. \( 5 + 15 + 40 = 60 \)

Müşteri toplam 60 TL öder. 💰

Burada "ise" bağlacı ile kurulan bir koşullu önerme (implication) söz konusudur. Koşullu önermenin doğruluk tablosunu hatırlayalım:

• p: Hava güneşli
• q: Dışarı çıkarız
• Önerme: p \( \implies \) q

Bir \( p \implies q \) önermesinin yanlış olduğu tek durum, p'nin doğru olup q'nun yanlış olmasıdır. Diğer tüm durumlarda önerme doğrudur.
Soruda "Bugün hava güneşli ise dışarı çıkarız." önermesinin doğru olduğu belirtilmiş. Eğer "hava güneşli" (p) önermesi doğru ise, önermenin doğru kalabilmesi için "dışarı çıkarız" (q) önermesinin de doğru olması gerekir.
Yani, hava güneşliyse, dışarı çıkmalıyız. ✅

Aritmetik ortalama, veri grubundaki tüm elemanların toplamının, eleman sayısına bölünmesiyle bulunur.

• Adım 1: Veri grubundaki tüm notları toplayın. \( 75 + 80 + 90 + 65 + 70 + 85 + 95 + 70 \)
• Adım 2: Toplamı hesaplayın. \( 730 \)
• Adım 3: Veri grubundaki eleman sayısını belirleyin. (8 öğrenci)
• Adım 4: Toplamı eleman sayısına bölün. \( \frac{730}{8} \)
• Adım 5: Aritmetik ortalamayı bulun. \( \frac{730}{8} = 91.25 \)

Bu öğrencilerin matematik sınavından aldıkları notların aritmetik ortalaması 91.25'tir. 📊

Olasılık hesaplaması için şu formülü kullanırız:
\[ \text{Olasılık} = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} \]

• Adım 1: Torbadaki toplam top sayısını bulun. \( 3 + 5 + 2 = 10 \) top.
• Adım 2: İstenen durum, yani mavi top sayısını belirleyin. 5 mavi top.
• Adım 3: Olasılık formülünü uygulayın. \( \frac{5}{10} \)
• Adım 4: Olasılığı sadeleştirin. \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir. 👍

Bu durum, mantıkta koşullu önermelerin (implication) bir özelliğidir. Koşullu önermede \( p \implies q \) önermesi, eğer p önermesi yanlış ise, q önermesinin doğru veya yanlış olmasından bağımsız olarak her zaman doğrudur.

• p: Otobüs gelir
• q: Yolcular biner
• Önerme: \( p \implies q \)

Soruda "otobüs gelirse yolcular biner" önermesi doğru olarak verilmiş. Eğer otobüs gelmezse (p yanlış ise), \( p \implies q \) önermesi doğru kalmaya devam eder. Bu durumda yolcuların binip binmemesi (q'nun doğru veya yanlış olması) önermenin doğruluğunu etkilemez.
Yani, otobüs gelmezse, yolcular binmeyebilir veya başka bir sebeple binmiş olabilirler. Önermenin doğruluğu açısından bir çelişki oluşmaz. 🤔

Bir zar atıldığında olası sonuçlar \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) kümesidir. Toplam 6 olası durum vardır.

• Asal Sayılar: \( \{2, 3, 5\} \) (3 tane)
• Tek Sayılar: \( \{1, 3, 5\} \) (3 tane)

Şimdi olasılıkları hesaplayalım:

• Asal sayı gelme olasılığı: \( P(\text{Asal}) = \frac{\text{Asal Sayı Adedi}}{\text{Toplam Durum Sayısı}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• Tek sayı gelme olasılığı: \( P(\text{Tek}) = \frac{\text{Tek Sayı Adedi}}{\text{Toplam Durum Sayısı}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Bu iki olasılığın toplamını bulalım:
\[ P(\text{Asal}) + P(\text{Tek}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
Asal sayı gelme olasılığı ile tek sayı gelme olasılığının toplamı 1'dir. 🎉

Bu soruyu çözmek için verilen algoritmayı adım adım uygulayalım:

• Yolcu 1 (300 km):
• Mesafe: 300 km.
• Algoritma kuralı: Mesafe 500 km'den az mı? Evet.
• Bilet Fiyatı: 100 TL.
• Yolcu 2 (700 km):
• Mesafe: 700 km.
• Algoritma kuralı: Mesafe 500 km'den az mı? Hayır. Mesafe 500 km ve üzeri mi? Evet.
• Bilet Fiyatı: 150 TL.
• Toplam Ücret:
• İki yolcunun bilet fiyatlarını toplayın. \( 100 \, \text{TL} + 150 \, \text{TL} \)
• Toplam ücreti hesaplayın. \( 250 \, \text{TL} \)

İki yolcunun ödeyeceği toplam bilet ücreti 250 TL'dir. 💸

Burada "VEYA" bağlacı ile kurulan bir birleşik önerme söz konusudur. "VEYA" bağlacının doğruluk tablosunu hatırlayalım:

• p: Ali okula gider
• q: Ayşe parka gider
• Önerme: p \( \lor \) q

Bir \( p \lor q \) önermesinin yanlış olduğu tek durum, hem p'nin hem de q'nun yanlış olmasıdır. Diğer tüm durumlarda önerme doğrudur.
Soruda "Ali okula gider VEYA Ayşe parka gider." önermesinin doğru olduğu belirtilmiş. Eğer "Ali okula gider" (p) önermesi yanlış ise, önermenin doğru kalabilmesi için "Ayşe parka gider" (q) önermesinin doğru olması gerekir.
Yani, Ali okula gitmiyorsa, Ayşe'nin parka gitmesi gerekir ki önerme doğru olsun. ✍️