🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Algoritma Temelli Problem Çözme, Üçgenlerde Benzerlik Ve Temel Geometri Teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Algoritma Temelli Problem Çözme, Üçgenlerde Benzerlik Ve Temel Geometri Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı kız öğrencidir. Sınıfta 12 erkek öğrenci olduğuna göre, bu sınıftaki toplam öğrenci sayısını bir algoritma adımları şeklinde bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözerek toplam öğrenci sayısını bulalım:
- 👉 Adım 1: Bilgileri Anlama
Sınıftaki öğrencilerin %60'ı kızdır. Bu durumda erkek öğrencilerin yüzdesi kolayca bulunabilir. Erkek öğrenci sayısı 12'dir. - 👉 Adım 2: Erkek Öğrenci Yüzdesini Hesaplama
Toplam öğrenci yüzdesi daima %100'dür. Kız öğrencilerin yüzdesi %60 ise, erkek öğrencilerin yüzdesi:
\( 100% - 60% = 40% \) olur. - 👉 Adım 3: Toplam Öğrenci Sayısını Bulma
Sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı (12) toplam öğrenci sayısının %40'ına eşittir. Toplam öğrenci sayısına \( x \) dersek:
\( x \cdot \frac{40}{100} = 12 \) - 👉 Adım 4: Denklemi Çözme
Denklemi basitleştirelim:
\( x \cdot \frac{2}{5} = 12 \)
Her iki tarafı 5 ile çarpıp 2'ye bölelim:
\( x = \frac{12 \cdot 5}{2} \)
\( x = \frac{60}{2} \)
\( x = 30 \) - ✅ Sonuç: Bu sınıfta toplam 30 öğrenci vardır.
Örnek 2:
Yandaki şekilde, ABC üçgeninde DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir. Yani \( DE \parallel BC \).
AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 5 cm olduğuna göre, EC uzunluğunu bulunuz. 📐
AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 5 cm olduğuna göre, EC uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemde Temel Orantı Teoremi'ni (Thales Teoremi) kullanacağız. Paralel doğrular, üçgenin kenarlarını orantılı böler.
- 👉 Adım 1: Bilgileri Not Etme
Verilenler: AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 5 cm.
İstenen: EC = \( x \) cm. - 👉 Adım 2: Temel Orantı Teoremini Uygulama
DE doğru parçası BC doğru parçasına paralel olduğu için, AD'nin DB'ye oranı, AE'nin EC'ye oranına eşittir:
\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] - 👉 Adım 3: Değerleri Yerine Koyma
\[ \frac{4}{6} = \frac{5}{x} \] - 👉 Adım 4: Denklemi Çözme
İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\( 4 \cdot x = 6 \cdot 5 \)
\( 4x = 30 \)
Her iki tarafı 4'e bölelim:
\( x = \frac{30}{4} \)
\( x = \frac{15}{2} \)
\( x = 7.5 \) - ✅ Sonuç: EC uzunluğu 7.5 cm'dir.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde A açısı \( 50^\circ \), B açısı \( 70^\circ \)'dir. Bir DEF üçgeninde D açısı \( 50^\circ \), E açısı \( 70^\circ \)'dir.
AB kenarının uzunluğu 6 cm, BC kenarının uzunluğu 8 cm ve DE kenarının uzunluğu 9 cm olduğuna göre, EF kenarının uzunluğunu bulunuz. 🤔
AB kenarının uzunluğu 6 cm, BC kenarının uzunluğu 8 cm ve DE kenarının uzunluğu 9 cm olduğuna göre, EF kenarının uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu problemde Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Teoremi'ni kullanarak kenar uzunluklarını bulacağız.
- 👉 Adım 1: Üçgenlerin Açılarını Kontrol Etme
ABC üçgeninde: \( m(\angle A) = 50^\circ \), \( m(\angle B) = 70^\circ \). Üçüncü açı: \( m(\angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
DEF üçgeninde: \( m(\angle D) = 50^\circ \), \( m(\angle E) = 70^\circ \). Üçüncü açı: \( m(\angle F) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). - 👉 Adım 2: Benzerlik Tespiti
Görüldüğü gibi, ABC üçgeninin açıları (50°, 70°, 60°) ile DEF üçgeninin açıları (50°, 70°, 60°) aynıdır. Bu durumda ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir (\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)). - 👉 Adım 3: Benzerlik Oranını Yazma
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Aynı açının karşısındaki kenarlar oranlanır:
\[ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \] - 👉 Adım 4: Bilinen Değerleri Yerine Koyma ve Hesaplama
Verilenler: AB = 6 cm, BC = 8 cm, DE = 9 cm.
İstenen: EF = \( x \) cm.
Denklemimizi kuralım:
\[ \frac{6}{9} = \frac{8}{x} \] - 👉 Adım 5: Denklemi Çözme
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 6 \cdot x = 9 \cdot 8 \)
\( 6x = 72 \)
Her iki tarafı 6'ya bölelim:
\( x = \frac{72}{6} \)
\( x = 12 \) - ✅ Sonuç: EF kenarının uzunluğu 12 cm'dir.
Örnek 4:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu 5 cm, diğerinin uzunluğu 12 cm'dir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problemde Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- 👉 Adım 1: Bilgileri Tanımlama
Dik kenarlar: \( a = 5 \) cm, \( b = 12 \) cm.
İstenen: Hipotenüs \( c \). - 👉 Adım 2: Pisagor Teoremini Uygulama
Pisagor Teoremi formülü şöyledir:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \] - 👉 Adım 3: Değerleri Yerine Koyma
\[ 5^2 + 12^2 = c^2 \] - 👉 Adım 4: İşlemleri Yapma
\( 25 + 144 = c^2 \)
\( 169 = c^2 \) - 👉 Adım 5: Hipotenüs Uzunluğunu Bulma
Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( c = \sqrt{169} \)
\( c = 13 \) - ✅ Sonuç: Dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 13 cm'dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çıkan ve BC kenarını D noktasında kesen AD doğru parçası bir iç açıortaydır. Yani AD, A açısının açıortayıdır.
AB = 8 cm, AC = 12 cm ve BD = 4 cm olduğuna göre, DC uzunluğunu bulunuz. 💡
AB = 8 cm, AC = 12 cm ve BD = 4 cm olduğuna göre, DC uzunluğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu problemde İç Açıortay Teoremi'ni kullanacağız. İç açıortay teoremi, bir üçgende bir köşeden çıkan açıortayın karşı kenarı, diğer iki kenarın oranında böldüğünü belirtir.
- 👉 Adım 1: Bilgileri Not Etme
Verilenler: AB = 8 cm, AC = 12 cm, BD = 4 cm.
İstenen: DC = \( x \) cm. - 👉 Adım 2: İç Açıortay Teoremini Uygulama
AD doğru parçası A açısının açıortayı olduğu için, AB'nin BD'ye oranı, AC'nin DC'ye oranına eşittir:
\[ \frac{AB}{BD} = \frac{AC}{DC} \] - 👉 Adım 3: Değerleri Yerine Koyma
\[ \frac{8}{4} = \frac{12}{x} \] - 👉 Adım 4: Denklemi Çözme
Denklemi basitleştirelim:
\( 2 = \frac{12}{x} \)
\( 2x = 12 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( x = \frac{12}{2} \)
\( x = 6 \) - ✅ Sonuç: DC uzunluğu 6 cm'dir.
Örnek 6:
Bir robot, bir kareli zeminde başlangıç noktasından (0,0) hareket ederek belirli kurallara göre ilerlemektedir. Robotun hareket algoritması şöyledir:
- Başlangıç noktası (0,0) olarak ayarlanır.
- Robotun bir sonraki adımı, mevcut konumunun x ve y koordinatlarına 1 ekleyerek bulunur. Örneğin, (x,y) konumundan (x+1, y+1) konumuna gider.
- Ancak, eğer robotun x koordinatı 3'e eşit veya 3'ten büyükse, bir sonraki adımında x koordinatını 1 azaltır, y koordinatını 2 artırır. Yani (x,y) konumundan (x-1, y+2) konumuna gider.
Çözüm:
Robotun adımlarını ve kurallarını takip ederek son konumunu bulalım:
- 👉 Adım 1: Başlangıç Konumu
Robot başlangıçta (0,0) noktasındadır. - 👉 Adım 2: 1. Adım
Mevcut konum (0,0). x koordinatı (0) 3'ten küçük, bu yüzden ilk kural uygulanır.
Yeni konum: \( (0+1, 0+1) = (1,1) \). - 👉 Adım 3: 2. Adım
Mevcut konum (1,1). x koordinatı (1) 3'ten küçük, bu yüzden ilk kural uygulanır.
Yeni konum: \( (1+1, 1+1) = (2,2) \). - 👉 Adım 4: 3. Adım
Mevcut konum (2,2). x koordinatı (2) 3'ten küçük, bu yüzden ilk kural uygulanır.
Yeni konum: \( (2+1, 2+1) = (3,3) \). - 👉 Adım 5: 4. Adım
Mevcut konum (3,3). x koordinatı (3) 3'e eşit, bu yüzden ikinci kural uygulanır.
Yeni konum: \( (3-1, 3+2) = (2,5) \). - ✅ Sonuç: Robot 4 adım sonunda (2,5) noktasına ulaşır.
Örnek 7:
Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki Ali'nin gölge boyu 2.4 metredir. Aynı anda, Ali'den biraz uzakta bulunan bir ağacın gölge boyu ise 12 metredir.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Güneş ışınlarının yere paralel geldiği varsayılacaktır.) 🌳🧍♂️
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Güneş ışınlarının yere paralel geldiği varsayılacaktır.) 🌳🧍♂️
Çözüm:
Bu problemde benzerlik ilkesini kullanarak ağacın boyunu hesaplayabiliriz. Güneş ışınları paralel geldiği için Ali ve ağacın oluşturduğu dik üçgenler benzer olacaktır.
- 👉 Adım 1: Bilgileri Listeleme
Ali'nin boyu: \( H_{Ali} = 1.8 \) m
Ali'nin gölge boyu: \( G_{Ali} = 2.4 \) m
Ağacın gölge boyu: \( G_{Ağaç} = 12 \) m
İstenen: Ağacın boyu \( H_{Ağaç} \). - 👉 Adım 2: Benzer Üçgenleri Tanımlama
Ali'nin boyu ile gölgesi ve ağacın boyu ile gölgesi birer dik üçgen oluşturur. Güneş ışınlarının aynı açıyla gelmesi nedeniyle bu iki dik üçgen benzerdir (A.A. benzerliği). - 👉 Adım 3: Orantıyı Kurma
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Yani, boyların oranı gölge boylarının oranına eşit olacaktır:
\[ \frac{H_{Ali}}{G_{Ali}} = \frac{H_{Ağaç}}{G_{Ağaç}} \] - 👉 Adım 4: Değerleri Yerine Koyma
\[ \frac{1.8}{2.4} = \frac{H_{Ağaç}}{12} \] - 👉 Adım 5: Denklemi Çözme
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 1.8 \cdot 12 = 2.4 \cdot H_{Ağaç} \)
\( 21.6 = 2.4 \cdot H_{Ağaç} \)
Her iki tarafı 2.4'e bölelim:
\( H_{Ağaç} = \frac{21.6}{2.4} \)
\( H_{Ağaç} = 9 \) - ✅ Sonuç: Ağacın boyu 9 metre'dir.
Örnek 8:
Bir itfaiye merdiveni, bir binanın 15 metre yüksekliğindeki penceresine ulaşmak için kullanılıyor. İtfaiye aracının duvardan uzaklığı 8 metredir.
Merdivenin ucu pencereye tam olarak değdiğine göre, merdivenin uzunluğu kaç metredir? (Merdivenin yerle yaptığı açı ve binanın duvarı dik kabul edilecektir.) 🚒🪜
Merdivenin ucu pencereye tam olarak değdiğine göre, merdivenin uzunluğu kaç metredir? (Merdivenin yerle yaptığı açı ve binanın duvarı dik kabul edilecektir.) 🚒🪜
Çözüm:
Bu günlük hayat probleminde, merdiven, bina duvarı ve yer bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar yüksekliği ve itfaiye aracının duvardan uzaklığı ise dik kenarlar olur. Dolayısıyla Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- 👉 Adım 1: Bilgileri Görselleştirme ve Tanımlama
Bina yüksekliği (dik kenar 1): \( a = 15 \) m
Aracın duvara uzaklığı (dik kenar 2): \( b = 8 \) m
İstenen: Merdiven uzunluğu (hipotenüs) \( c \). - 👉 Adım 2: Pisagor Teoremini Hatırlama
Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \] - 👉 Adım 3: Değerleri Formülde Yerine Koyma
\[ 15^2 + 8^2 = c^2 \] - 👉 Adım 4: Hesaplamaları Yapma
\( 225 + 64 = c^2 \)
\( 289 = c^2 \) - 👉 Adım 5: Merdivenin Uzunluğunu Bulma
Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \)'yi bulalım:
\( c = \sqrt{289} \)
\( c = 17 \) - ✅ Sonuç: İtfaiye merdiveninin uzunluğu 17 metre'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-algoritma-temelli-problem-cozme-ucgenlerde-benzerlik-ve-temel-geometri-teoremleri/sorular