🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Açıortay Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Açıortay Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde A köşesine ait açıortay, B köşesine ait açıortay ve C köşesine ait açıortay çizilmiştir. Bu üç açıortayın kesiştiği noktaya ne ad verilir? 💡
Çözüm:
- Bir üçgende üç kenara ait açıortaylar daima tek bir noktada kesişir.
- Bu kesişme noktası, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
- Bu özel noktaya "Açıortayların Kesim Noktası" veya "İç Teğet Çember Merkezi" denir.
Örnek 2:
Bir açının açıortayı, bu açıyı nasıl ikiye ayırır? Açıklayınız. 🤔
Çözüm:
- Bir açının açıortayı, başlangıç noktası (köşe noktası) ve açının kolları tarafından oluşturulan açıyı, birbirine eş iki açıya ayırır.
- Yani, eğer bir \( \alpha \) açısının açıortayı çizilirse, bu açıortay \( \alpha \)'yı \( \frac{\alpha}{2} \) ve \( \frac{\alpha}{2} \) olmak üzere iki eşit parçaya böler.
- Bu, açıortayın temel tanımıdır.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{B}) = 60^\circ \) ve \( m(\hat{C}) = 40^\circ \) olarak verilmiştir. B köşesine ait açıortayın çizilmesiyle oluşan açılardan birinin ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- Öncelikle üçgenin verilmeyen A açısının ölçüsünü bulalım. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)dir.
- \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( m(\hat{A}) + 60^\circ + 40^\circ = 180^\circ \)
- \( m(\hat{A}) + 100^\circ = 180^\circ \)
- \( m(\hat{A}) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \)
- Şimdi B köşesine ait açıortay çizildiğinde, bu açıortay \( \hat{B} \) açısını iki eşit parçaya bölecektir.
- Buna göre, \( \hat{B} \) açısının ölçüsü \( 60^\circ \) olduğundan, açıortayın ayırdığı açılardan her biri \( \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \) olur.
Örnek 4:
Bir \( \hat{A} \) açısının ölçüsü \( 70^\circ \)dir. Bu açının açıortayı çizildiğinde, açıortayın açının kenarlarıyla yaptığı açılardan birinin ölçüsü kaç derece olur? 📏
Çözüm:
- Açıortayın tanımına göre, bir açının açıortayı o açıyı iki eşit parçaya böler.
- Verilen \( \hat{A} \) açısının ölçüsü \( 70^\circ \)dir.
- Açıortay bu açıyı ikiye böleceği için, her bir parçanın ölçüsü \( \frac{70^\circ}{2} \) olacaktır.
- Hesaplama: \( \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \)
Örnek 5:
Bir parkta bulunan üç arkadaş, A, B ve C noktalarında durmaktadır. A noktasındaki arkadaş, B ve C noktalarına doğru doğrusal yollarla yürümeye başlıyor. A noktasındaki arkadaşın yürüdüğü yol, \( \hat{BAC} \) açısının açıortayı üzerindedir. Eğer \( m(\hat{ABC}) = 80^\circ \) ve \( m(\hat{ACB}) = 50^\circ \) ise, A noktasındaki arkadaşın yürüdüğü yolun \( \hat{ABC} \) açısıyla yaptığı açının ölçüsü kaç derecedir? 🌳
Çözüm:
- Öncelikle, \( \triangle ABC \) üçgeninin verilmeyen \( \hat{BAC} \) açısının ölçüsünü bulalım.
- \( m(\hat{BAC}) + m(\hat{ABC}) + m(\hat{ACB}) = 180^\circ \)
- \( m(\hat{BAC}) + 80^\circ + 50^\circ = 180^\circ \)
- \( m(\hat{BAC}) + 130^\circ = 180^\circ \)
- \( m(\hat{BAC}) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)
- A noktasındaki arkadaşın yürüdüğü yol, \( \hat{BAC} \) açısının açıortayıdır.
- Açıortay, \( \hat{BAC} \) açısını iki eşit parçaya böler. Bu nedenle, açıortayın \( \hat{BAC} \) açısıyla yaptığı her bir açının ölçüsü \( \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ \) olur.
- Soruda, bu açıortayın \( \hat{ABC} \) açısıyla yaptığı açının ölçüsü sorulmaktadır. Bu, aslında \( \triangle AB D \) üçgenindeki bir açıya denk gelir (D, açıortayın BC kenarını kestiği nokta olsun).
- \( \triangle ABD \) üçgeninde \( \hat{BAD} = 25^\circ \) ve \( \hat{ABD} = 80^\circ \) olarak verilmiştir.
- \( \triangle ABD \) üçgeninin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)dir. Açıortayın \( \hat{ABC} \) açısıyla yaptığı açı, \( \triangle ABD \) üçgeninin \( \hat{ADB} \) açısıdır.
- \( m(\hat{ADB}) = 180^\circ - (m(\hat{BAD}) + m(\hat{ABD})) \)
- \( m(\hat{ADB}) = 180^\circ - (25^\circ + 80^\circ) \)
- \( m(\hat{ADB}) = 180^\circ - 105^\circ \)
- \( m(\hat{ADB}) = 75^\circ \)
Örnek 6:
Bir terzi, kumaşın bir köşesinden başlayarak, iki kenarı eşit uzunlukta kesecek şekilde bir çizgi çizmek istiyor. Bu çizgi, kumaşın köşe açısını nasıl etkiler ve ne ad verilir? ✂️
Çözüm:
- Terzinin çizdiği çizgi, kumaşın köşe açısını iki eşit parçaya böler.
- Bu tür bir çizgiye "Açıortay" denir.
- Açıortay, açının köşesinden çıkarak açının kollarını eşit açılara ayırır.
- Böylece terzi, kumaşı tam ortadan ikiye bölerek simetrik parçalar elde edebilir.
Örnek 7:
Bir \( \hat{X} \) açısının ölçüsü \( 120^\circ \)dir. Bu açının açıortayı, açının kendisini kaç derece olarak ikiye böler? 📏
Çözüm:
- Açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya ayırma özelliğine sahiptir.
- Verilen \( \hat{X} \) açısının ölçüsü \( 120^\circ \)dir.
- Açıortay bu açıyı \( \frac{120^\circ}{2} \) şeklinde bölecektir.
- Hesaplama: \( \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \)
Örnek 8:
Bir ikizkenar üçgende tepe açısının açıortayı çizildiğinde, bu açıortayın diğer kenarlarla ilişkisi nasıldır? 📐
Çözüm:
- Bir ikizkenar üçgende, tepe açısına ait açıortay aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir.
- Yani, tepe açısının açıortayı, karşı kenarı iki eşit parçaya böler ve bu kenara diktir.
- Bu, ikizkenar üçgenlerin önemli bir özelliğidir.
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çizilen açıortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. \( AB = 6 \) cm, \( AC = 9 \) cm ve \( BC = 10 \) cm olarak verilmiştir. Buna göre, BD ve DC uzunlukları toplamı kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Bu soruda Açıortay Teoremi'ni kullanacağız. Açıortay Teoremi'ne göre, bir üçgende bir açıya ait açıortayın, karşı kenarı böldüğü parçaların uzunluklarının oranı, bu parçalara bitişik olan kenarların uzunluklarının oranına eşittir.
- Yani, \( \triangle ABC \) üçgeninde AD açıortayı için:
- \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım:
- \( \frac{BD}{DC} = \frac{6}{9} \)
- Bu oranı sadeleştirebiliriz: \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
- Yani, \( \frac{BD}{DC} = \frac{2}{3} \) olur. Bu da \( BD = 2k \) ve \( DC = 3k \) şeklinde ifade edilebilir (burada k bir sabittir).
- Bize verilen \( BC \) kenarının uzunluğu 10 cm'dir ve \( BC = BD + DC \) olmalıdır.
- \( BD + DC = 10 \)
- \( 2k + 3k = 10 \)
- \( 5k = 10 \)
- \( k = \frac{10}{5} = 2 \)
- Şimdi BD ve DC uzunluklarını bulabiliriz:
- \( BD = 2k = 2 \times 2 = 4 \) cm
- \( DC = 3k = 3 \times 2 = 6 \) cm
- Soruda BD ve DC uzunlukları toplamı sorulmaktadır.
- \( BD + DC = 4 + 6 = 10 \) cm
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-aciortay/sorular