🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Açı Ve Kenarlarla İlgili Özellikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Açı Ve Kenarlarla İlgili Özellikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 50^\circ \), B açısının ölçüsü \( 60^\circ \) olduğuna göre, C açısının ölçüsü kaç derecedir? Ayrıca, bu üçgenin dış açılarından C açısının dış açısının ölçüsü nedir? 🤔
Çözüm:
Bu soru, üçgenin iç açıları toplamı ve bir dış açının ölçüsü özelliklerini kullanır.
- 👉 Adım 1: İç Açılar Toplamı
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir. Bu temel bir kuraldır. Yani, \( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) olmalıdır. Verilen değerleri yerine yazalım: \( 50^\circ + 60^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \). - 👉 Adım 2: C Açısının Ölçüsünü Bulma
Denklemi çözelim:
\( 110^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \)
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - 110^\circ \)
\( m(\widehat{C}) = 70^\circ \). ✅ - 👉 Adım 3: C Açısının Dış Açısının Ölçüsünü Bulma
Bir açının dış açısı ile iç açısının toplamı \( 180^\circ \)dir (Doğrusal çift oluştururlar).
C açısının dış açısı \( = 180^\circ - m(\widehat{C}) \).
C açısının dış açısı \( = 180^\circ - 70^\circ \).
C açısının dış açısı \( = 110^\circ \). ✅ - 💡 Ek Bilgi: Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. C açısının dış açısı, A ve B açılarının toplamına eşit olmalıdır: \( 50^\circ + 60^\circ = 110^\circ \). Gördüğünüz gibi, sonuçlar tutarlı!
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninde açılar arasındaki ilişki \( m(\widehat{K}) > m(\widehat{L}) > m(\widehat{M}) \) şeklindedir. Buna göre, üçgenin kenar uzunlukları arasında nasıl bir sıralama vardır? Kenarların isimlerini (karşılarındaki köşelerin küçük harfleriyle) kullanarak belirtiniz. 📐
Çözüm:
Bu soru, üçgende açı-kenar ilişkisi prensibini kullanır: "Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur."
- 👉 Adım 1: Açılar ve Karşılarındaki Kenarlar
Bir KLM üçgeninde K açısının karşısındaki kenar \( k \), L açısının karşısındaki kenar \( l \), M açısının karşısındaki kenar ise \( m \) ile gösterilir. - 👉 Adım 2: Sıralama Prensibini Uygulama
Verilen açı sıralaması \( m(\widehat{K}) > m(\widehat{L}) > m(\widehat{M}) \) şeklindedir. - 👉 Adım 3: Kenar Uzunluklarını Sıralama
Bu prensibe göre, en büyük açının karşısındaki kenar en uzun, en küçük açının karşısındaki kenar ise en kısa olacaktır.
Dolayısıyla, kenar uzunlukları arasındaki sıralama:
\( k > l > m \) şeklindedir. ✅ - 📌 Unutmayın: Bu ilişki, bir üçgenin kenarlarını ve açılarını karşılaştırırken çok önemlidir.
Örnek 3:
Kenar uzunlukları 7 cm ve 12 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu (x) hangi aralıkta olmalıdır? Üçüncü kenarın alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soru, üçgen eşitsizliği (üçgen oluşturma şartı) prensibini kullanır. Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
- 👉 Adım 1: Üçgen Eşitsizliğini Kurma
Kenar uzunlukları \( a, b, c \) olan bir üçgende, örneğin \( c \) kenarı için eşitsizlik şu şekildedir:
\( |a - b| < c < a + b \).
Verilen kenarlar 7 cm ve 12 cm, üçüncü kenar ise \( x \) olsun. - 👉 Adım 2: Eşitsizliği Uygulama
\( |12 - 7| < x < 12 + 7 \)
\( |5| < x < 19 \)
\( 5 < x < 19 \). - 👉 Adım 3: Tam Sayı Değerlerini Bulma
\( x \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri, 5'ten büyük ve 19'dan küçük olan sayılardır.
Bu değerler: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18'dir. ✅ - 💡 Önemli Not: Eğer \( x \) bu aralıkta olmazsa, verilen kenarlarla bir üçgen oluşturmak mümkün olmaz.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde AB kenarının uzunluğu AC kenarının uzunluğuna eşittir (yani \( |AB| = |AC| \)). A açısının ölçüsü \( 40^\circ \) olduğuna göre, B ve C açılarının ölçüleri kaçar derecedir? Ayrıca, bu üçgenin kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız. ⛰️
Çözüm:
Bu soru, ikizkenar üçgen özelliklerini ve açı-kenar ilişkisini birleştirir.
- 👉 Adım 1: İkizkenar Üçgen Özelliği
Eğer bir üçgende iki kenar uzunluğu birbirine eşitse, bu kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir. Bu üçgene ikizkenar üçgen denir.
Verilen \( |AB| = |AC| \) olduğu için, bu kenarların karşısındaki açılar olan C ve B açıları eşit olmalıdır: \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) \). - 👉 Adım 2: Açılar Toplamı Kuralını Uygulama
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)dir:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \).
\( 40^\circ + m(\widehat{B}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ \) (çünkü \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{B}) \)).
\( 40^\circ + 2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ \). - 👉 Adım 3: B ve C Açılarının Ölçülerini Bulma
\( 2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ - 40^\circ \)
\( 2 \cdot m(\widehat{B}) = 140^\circ \)
\( m(\widehat{B}) = 70^\circ \).
Dolayısıyla, \( m(\widehat{C}) = 70^\circ \)dir. ✅ - 👉 Adım 4: Kenar Uzunluklarını Sıralama
Açı-kenar ilişkisine göre, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
Açıları sıralayalım: \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{C}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{A}) = 40^\circ \).
Yani, \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) \).
Bu durumda, B açısının karşısındaki kenar AC, C açısının karşısındaki kenar AB ve A açısının karşısındaki kenar BC'dir.
Kenar sıralaması: \( |AC| = |AB| > |BC| \) şeklindedir. ✅
Örnek 5:
Aşağıda verilen iki üçgenin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkileri kullanarak, en uzun kenarı bulunuz.
1. Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \)dir.
2. Bir BCD üçgeninde \( m(\widehat{CDB}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{DBC}) = 45^\circ \)dir.
Bu iki üçgenin ortak kenarı BC'dir. 🧐
1. Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \)dir.
2. Bir BCD üçgeninde \( m(\widehat{CDB}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{DBC}) = 45^\circ \)dir.
Bu iki üçgenin ortak kenarı BC'dir. 🧐
Çözüm:
Bu soru, birden fazla üçgende açı-kenar ilişkisini ve iç açılar toplamını kullanmamızı gerektirir.
- 👉 Adım 1: ABC Üçgenindeki Açılar ve Kenarlar
\( m(\widehat{A}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \).
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Açı sıralaması: \( m(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) \) (yani \( 70^\circ > 60^\circ > 50^\circ \)).
Kenar sıralaması: \( |BC| > |AB| > |AC| \). (Burada en uzun kenar BC'dir.) - 👉 Adım 2: BCD Üçgenindeki Açılar ve Kenarlar
\( m(\widehat{CDB}) = 80^\circ \), \( m(\widehat{DBC}) = 45^\circ \).
\( m(\widehat{BCD}) = 180^\circ - (80^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \).
Açı sıralaması: \( m(\widehat{CDB}) > m(\widehat{BCD}) > m(\widehat{DBC}) \) (yani \( 80^\circ > 55^\circ > 45^\circ \)).
Kenar sıralaması: \( |BC| > |BD| > |CD| \). (Burada da en uzun kenar BC'dir.) - 👉 Adım 3: En Uzun Kenarı Belirleme
Her iki üçgen için de kendi içlerindeki en uzun kenar BC olarak çıktı. Ancak bizden genel olarak en uzun kenar isteniyor.
ABC üçgeninde en uzun kenar BC'dir çünkü \( m(\widehat{A}) = 70^\circ \) ve bu açı, ABC üçgenindeki en büyük açıdır, karşısında BC kenarı vardır.
BCD üçgeninde en uzun kenar BC'dir çünkü \( m(\widehat{CDB}) = 80^\circ \) ve bu açı, BCD üçgenindeki en büyük açıdır, karşısında BC kenarı vardır.
Bu durumda, her iki üçgenin en uzun kenarı ortak olan BC kenarıdır. ✅ - 💡 İpucu: Eğer farklı üçgenlerdeki en uzun kenarlar farklı olsaydı, o zaman bu kenarları ortak bir kenar üzerinden karşılaştırmamız gerekirdi. Burada şanslıyız ki, her iki üçgenin de en uzun kenarı BC çıktı!
Örnek 6:
Bir mühendis, bir araziye üçgen şeklinde bir park tasarlamaktadır. Parkın kenarlarından ikisinin uzunlukları 10 metre ve 18 metre olarak belirlenmiştir. Üçüncü kenarın uzunluğu (x) için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlış bir değerdir?
A) 8 metre
B) 12 metre
C) 20 metre
D) 28 metre
E) 30 metre 🚧
A) 8 metre
B) 12 metre
C) 20 metre
D) 28 metre
E) 30 metre 🚧
Çözüm:
Bu soru, üçgen eşitsizliği prensibinin "yanlış olanı bulma" şeklinde uygulanmış halidir.
- 👉 Adım 1: Üçgen Eşitsizliğini Kurma
Bir üçgenin kenar uzunlukları \( a, b, c \) ise, herhangi bir kenar için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
\( |a - b| < c < a + b \).
Verilen kenarlar 10 metre ve 18 metre, üçüncü kenar \( x \) metre. - 👉 Adım 2: Eşitsizliği Uygulama
\( |18 - 10| < x < 18 + 10 \)
\( |8| < x < 28 \)
\( 8 < x < 28 \). - 👉 Adım 3: Seçenekleri Değerlendirme
Bu eşitsizliğe göre, \( x \) değeri 8'den büyük ve 28'den küçük olmalıdır.
- A) 8 metre: \( x \) değeri 8'den büyük olmalıydı. 8 metre, eşitsizliği sağlamaz (\( 8 < 8 \) yanlıştır).
- B) 12 metre: \( 8 < 12 < 28 \). Bu değer eşitsizliği sağlar.
- C) 20 metre: \( 8 < 20 < 28 \). Bu değer eşitsizliği sağlar.
- D) 28 metre: \( x \) değeri 28'den küçük olmalıydı. 28 metre, eşitsizliği sağlamaz (\( 28 < 28 \) yanlıştır).
- E) 30 metre: \( x \) değeri 28'den küçük olmalıydı. 30 metre, eşitsizliği sağlamaz (\( 30 < 28 \) yanlıştır).
- 👉 Adım 4: Kesinlikle Yanlış Olanı Bulma
Soruda "kesinlikle yanlış" olan soruluyor. 8, 28 ve 30 metre eşitsizliği sağlamaz. Ancak genellikle bu tür sorularda en belirgin ihlal sorulur veya sadece bir seçenek yanlış olur. Burada 8 metre, 28 metre veya 30 metre bir üçgen oluşturamaz.
Ancak şıklara baktığımızda, 8 metre, 28 metre ve 30 metre olmak üzere üç yanlış seçenek var gibi görünüyor.
Sorunun tipik amacı, " \(x\) hangi aralıkta olmalı?" sorusunun cevabını test etmektir. \(x\) değeri 8'den büyük ve 28'den küçük olmalıdır.
Eğer bir üçgenin kenarları 10, 18 ve 8 olursa, \(10+8=18\) olacağından üçgen oluşmaz (doğrusal olurlar).
Eğer bir üçgenin kenarları 10, 18 ve 28 olursa, \(10+18=28\) olacağından üçgen oluşmaz (doğrusal olurlar).
Eğer bir üçgenin kenarları 10, 18 ve 30 olursa, \(10+18=28 < 30\) olacağından üçgen oluşmaz.
Bu durumda, A, D ve E seçenekleri bir üçgen oluşturmak için uygun değildir. Ancak, sorunun cevabı genellikle tek bir şık olur. Burada şıkları biraz daha netleştirelim. Örneğin, "8 metre" seçeneği, \( x > 8 \) kuralını ihlal eder. "28 metre" seçeneği, \( x < 28 \) kuralını ihlal eder. "30 metre" seçeneği, \( x < 28 \) kuralını daha belirgin bir şekilde ihlal eder.
Genellikle bu tür sorularda, aralığın dışındaki bir değer istenir. Şıklarda verilen değerlerden 30 metre, \( x < 28 \) kuralını en belirgin şekilde ihlal eden ve dolayısıyla kesinlikle yanlış olan bir değerdir. 8 ve 28 metre ise tam sınır değerlerdir ve üçgen oluşturmazlar (doğrusal olurlar). Dolayısıyla, en uzak ve kesinlikle yanlış olan değer 30 metredir. ✅
Örnek 7:
Bir müteahhit, iki bina arasına bir köprü inşa etmek istiyor. Binalardan birinin konumu A, diğerinin konumu B olarak belirlenmiştir. Köprünün yapılacağı güzergah C noktasından geçecektir. A ile C arası 50 metre, B ile C arası 70 metredir. Köprünün toplam uzunluğu (A'dan C'ye, C'den B'ye) en az ve en fazla kaç metre olabilir? Bu durumun üçgenlerle nasıl bir ilişkisi vardır? 🌉
Çözüm:
Bu senaryo, aslında üçgen eşitsizliği prensibinin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. Köprü güzergahı A, C ve B noktalarını birleştirdiğinde bir üçgen oluşturur.
- 👉 Adım 1: Üçgen Oluşumu
A, B ve C noktaları bir üçgenin köşeleri gibi düşünülebilir. A ile C arası kenar uzunluğu \( |AC| = 50 \) metre, B ile C arası kenar uzunluğu \( |BC| = 70 \) metredir. Köprünün toplam uzunluğu \( |AC| + |BC| \) olarak verilmiş, bu aslında soruyu biraz yanıltıcı yapıyor. Köprünün toplam uzunluğu değil, A ve B arasındaki doğrudan uzaklık (yani \( |AB| \) kenarı) soruluyor olmalı. Eğer "köprünün toplam uzunluğu" ile A'dan C'ye ve C'den B'ye olan güzergahın toplamı kastediliyorsa, bu zaten \( 50 + 70 = 120 \) metredir.
Soruyu "A ve B binaları arasındaki mesafe (yani \( |AB| \) kenarının uzunluğu) en az ve en fazla kaç metre olabilir?" şeklinde yorumlayalım, çünkü bu, üçgen eşitsizliğinin doğru uygulamasıdır. - 👉 Adım 2: Üçgen Eşitsizliğini Uygulama
\( |AC| = 50 \) metre ve \( |BC| = 70 \) metre olduğuna göre, üçüncü kenar olan \( |AB| \) için üçgen eşitsizliği şöyledir:
\( |70 - 50| < |AB| < 70 + 50 \)
\( 20 < |AB| < 120 \). - 👉 Adım 3: En Az ve En Fazla Mesafe
Bu durumda, A ve B binaları arasındaki mesafe \( |AB| \), 20 metreden büyük ve 120 metreden küçük olmalıdır.
- En az mesafe: Teorik olarak 20 metreden hemen sonraki bir değerdir (örneğin 20.001 metre). Eğer A, C ve B noktaları doğrusal olsaydı ve C, A ile B arasında olsaydı, mesafe \( 70-50 = 20 \) metre olurdu. Ancak bu durumda bir üçgen oluşmaz. Dolayısıyla, en az tam sayı değeri 21 metredir.
- En fazla mesafe: Teorik olarak 120 metreden hemen önceki bir değerdir (örneğin 119.999 metre). Eğer A, B ve C noktaları doğrusal olsaydı ve B, A ile C arasında olsaydı, mesafe \( 50+70 = 120 \) metre olurdu. Ancak bu durumda da bir üçgen oluşmaz. Dolayısıyla, en fazla tam sayı değeri 119 metredir.
- 👉 Adım 4: Günlük Hayat İlişkisi
Bu durum, bir yerden başka bir yere giderken en kısa yolun her zaman düz bir çizgi olduğunu gösterir. Eğer C noktası A ve B arasında düz bir çizgi üzerinde olsaydı, \( |AB| \) mesafesi \( |AC| + |CB| \) toplamına eşit olurdu. Ancak bu durumda bir "üçgen" değil, "doğrusal bir yol" oluşurdu. Üçgen eşitsizliği bize, üçüncü bir nokta (C) üzerinden dolanarak gidilen yolun ( \( |AC| + |CB| \) ) hiçbir zaman doğrudan iki nokta arasındaki mesafeden ( \( |AB| \) ) daha kısa olamayacağını, hatta en kısa olamayacağını (doğrusal olmadıkça) söyler. Köprü inşaatında, iki nokta arasına direkt bir köprü yapmak, genelde en kısa ve en ekonomik çözümdür, ancak coğrafi engeller nedeniyle dolaylı bir yol (üçgen oluşturacak şekilde) izlenebilir. ✅
Örnek 8:
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri \( x \), \( 2x \) ve \( 3x \) olduğuna göre, bu üçgenin en küçük iç açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soru, üçgenin iç açılarının toplamı kuralını kullanır.
- 👉 Adım 1: İç Açılar Toplamı Kuralı
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir.
Yani, \( x + 2x + 3x = 180^\circ \) olmalıdır. - 👉 Adım 2: Denklemi Çözme
Açıların toplamını sadeleştirelim:
\( 6x = 180^\circ \).
\( x \) değerini bulmak için her iki tarafı 6'ya bölelim:
\( x = \frac{180^\circ}{6} \)
\( x = 30^\circ \). - 👉 Adım 3: En Küçük İç Açıyı Bulma
Açılarımız \( x \), \( 2x \) ve \( 3x \) idi.
Yerine yazarsak:
Birinci açı: \( x = 30^\circ \).
İkinci açı: \( 2x = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \).
Üçüncü açı: \( 3x = 3 \times 30^\circ = 90^\circ \).
Bu açılar arasında en küçük olanı \( 30^\circ \)dir. ✅ - 📌 Not: Bu üçgen bir dik üçgendir, çünkü bir açısı \( 90^\circ \)dir.
Örnek 9:
Bir eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğu 15 cm'dir. Bu üçgenin iç açıları kaçar derecedir? Ayrıca, eğer bu eşkenar üçgenin bir kenarı \( 3x - 6 \) cm olsaydı ve diğer bir kenarı 9 cm olsaydı, \( x \) değeri kaç olurdu? 💚
Çözüm:
Bu soru, eşkenar üçgen özelliklerini ve cebirsel ifade çözmeyi birleştirir.
- 👉 Adım 1: Eşkenar Üçgenin İç Açıları
Eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları eşit olan bir üçgendir. Bu özelliğinden dolayı, tüm iç açıları da birbirine eşittir.
Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, her bir iç açı:
\( \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \).
Yani, eşkenar üçgenin her bir iç açısı \( 60^\circ \)dir. ✅ - 👉 Adım 2: Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişkiyi Kullanma
Eşkenar üçgende tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olduğu için, verilen kenar uzunlukları da eşit olmalıdır.
Bir kenar \( 3x - 6 \) cm, diğer bir kenar 9 cm ise, bu iki ifade birbirine eşit olmalıdır:
\( 3x - 6 = 9 \). - 👉 Adım 3: \( x \) Değerini Bulma
Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
\( 3x = 9 + 6 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = \frac{15}{3} \)
\( x = 5 \). ✅ - 💡 Kontrol: Eğer \( x = 5 \) ise, kenar uzunluğu \( 3(5) - 6 = 15 - 6 = 9 \) cm olur. Bu da diğer kenar uzunluğu olan 9 cm ile eşleşir. Yani doğru bulduk!
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-aci-ve-kenarlarla-i-lgili-ozellikler/sorular