🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Açı kenar kenar eşliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Açı kenar kenar eşliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( |AC| = 6 \) cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin kenar uzunluklarına göre açıları arasındaki sıralamayı bulunuz. 💡
Çözüm:
Kenar uzunlukları ile açıların karşılaştırılması, açı-kenar-açı eşliği prensibine dayanır. 📌
- Üçgenin kenar uzunluklarını karşılaştırın: \( 5 < 6 < 7 \).
- Bu sıralamaya göre kenarların karşısındaki açıları belirleyin:
- \( |AB| \) kenarının karşısındaki açı \( \angle C \)'dir.
- \( |AC| \) kenarının karşısındaki açı \( \angle B \)'dir.
- \( |BC| \) kenarının karşısındaki açı \( \angle A \)'dır.
- En kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür, en uzun kenarın karşısındaki açı ise en büyüktür.
- Bu durumda, açıların sıralaması şöyledir: \( \angle C < \angle B < \angle A \). ✅
Örnek 2:
Bir DEF üçgeninde \( \angle D = 50^\circ \), \( \angle E = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasındaki sıralamayı bulunuz. 👉
Çözüm:
Öncelikle bilinmeyen açıyı bulmamız gerekir. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)'dir. 💡
- \( \angle F = 180^\circ - (\angle D + \angle E) \)
- \( \angle F = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) \)
- \( \angle F = 180^\circ - 120^\circ \)
- \( \angle F = 60^\circ \)
- Şimdi açıları sıralayalım: \( \angle D < \angle F < \angle E \) yani \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \).
- Açıların karşısındaki kenarları sıralayalım:
- \( \angle D \) karşısındaki kenar \( |EF| \).
- \( \angle F \) karşısındaki kenar \( |DE| \).
- \( \angle E \) karşısındaki kenar \( |DF| \).
- En küçük açının karşısındaki kenar en kısadır, en büyük açının karşısındaki kenar ise en uzundur.
- Bu nedenle kenar sıralaması şöyledir: \( |EF| < |DE| < |DF| \). ✅
Örnek 3:
İki farklı üçgenimiz var: ABC ve DEF. ABC üçgeninde \( |AB| = 8 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm, \( |AC| = 12 \) cm. DEF üçgeninde \( |DE| = 8 \) cm, \( |EF| = 10 \) cm, \( |DF| = 12 \) cm. Bu iki üçgen arasındaki ilişkiyi açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Bu soruda üçgen eşliği kurallarından biri olan Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşliğini kullanacağız. 📌
- ABC üçgeninin kenar uzunlukları: 8 cm, 10 cm, 12 cm.
- DEF üçgeninin kenar uzunlukları: 8 cm, 10 cm, 12 cm.
- Her iki üçgenin de karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir:
- \( |AB| = |DE| = 8 \) cm
- \( |BC| = |EF| = 10 \) cm
- \( |AC| = |DF| = 12 \) cm
- Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralına göre iki üçgenin eş olduğu anlamına gelir.
- Yani, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir ( \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ). Bu eşlik sayesinde karşılıklı açıları da birbirine eşit olacaktır. ✅
Örnek 4:
Bir GHI üçgeninde \( |GH| = 7 \) cm, \( |HI| = 9 \) cm ve \( \angle H = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bir JKL üçgeninde \( |JK| = 7 \) cm, \( |KL| = 9 \) cm ve \( \angle K = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bu iki üçgen arasındaki ilişkiyi açıklayınız. 🧐
Çözüm:
Bu soruda Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralını inceleyeceğiz. 💡
- GHI üçgeninde iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı verilmiştir: \( |GH| = 7 \) cm, \( |HI| = 9 \) cm ve aralarındaki açı \( \angle H = 60^\circ \).
- JKL üçgeninde de iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı verilmiştir: \( |JK| = 7 \) cm, \( |KL| = 9 \) cm ve aralarındaki açı \( \angle K = 60^\circ \).
- Karşılıklı kenar uzunlukları ve aralarındaki açılar eşittir:
- \( |GH| = |JK| = 7 \) cm
- \( |HI| = |KL| = 9 \) cm
- \( \angle H = \angle K = 60^\circ \)
- Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına göre iki üçgenin eş olduğu anlamına gelir.
- Yani, GHI üçgeni ile JKL üçgeni eştir ( \( \triangle GHI \cong \triangle JKL \) ). ✅
Örnek 5:
Ayşe, bir parkta şekil 1'deki gibi duran iki direk arasına bir ip germiştir. Direklerin yükseklikleri \( |AB| = 4 \) metre ve \( |CD| = 6 \) metre, aralarındaki mesafe ise \( |BD| = 8 \) metredir. Ayşe, ipin zeminle yaptığı \( \angle BAE \) açısının \( 45^\circ \) olduğunu ölçmüştür. Bu bilgilere göre, ipin uzunluğunu ( \( |AE| \) ) yaklaşık olarak bulunuz. (Öklid algoritması veya trigonometri bilgisi gerekmeden, sadece aç-kenar eşliği prensipleriyle yaklaşım) 📏
Çözüm:
Bu problemde doğrudan açı-kenar eşliği kuralları yerine, geometrik düşünce ve eşlik prensiplerinden yola çıkarak bir çözüm üretmeye çalışacağız. Trigonometri kullanmadan, benzer üçgenler veya özel açılara sahip üçgenler kurma fikriyle ilerleyelim. 💡
Bu tür bir problemde, genellikle Pisagor teoremi veya trigonometri kullanılır. Ancak müfredatımızda bu konular henüz işlenmediği için, soruyu bu kurallar olmadan çözmenin doğrudan bir yolu yoktur.
Eğer soruda "açı-kenar-kenar eşliği" ile ilgili bir ipucu olsaydı, örneğin iki farklı üçgenin eşliğini kanıtlamamız gerekebilirdi. Bu soruda ise tek bir üçgenin kenarını bulmaya çalışıyoruz ve bu da genellikle trigonometri gerektirir.
Bu nedenle, bu soruyu 9. sınıf müfredatındaki "açı-kenar-kenar eşliği" kazanımıyla tam olarak çözmek mümkün değildir. Ancak, eğer soruyu basitleştirirsek veya farklı bir açıdan yaklaşırsak:
- Eğer \( \angle BAE = 45^\circ \) ve \( \angle ABD = 90^\circ \) ise (direkler dik durduğu için), bu bir ikizkenar dik üçgen oluşturur.
- Bu durumda \( |AE| = |AB| = 4 \) metre olurdu. Ancak direkler arasındaki mesafe \( |BD| = 8 \) metre olduğu için bu durum geçerli değildir.
Bu tip "Yeni Nesil" sorular, bazen farklı matematiksel konuları bir araya getirebilir veya ileri düzeyde analiz gerektirebilir. Bu spesifik soruda, 9. sınıf açı-kenar-kenar eşliği kazanımının doğrudan uygulanması için yeterli bilgi veya senaryo bulunmamaktadır. ✅
Örnek 6:
Bir marangoz, iki farklı ahşap parçası kullanarak bir masa tablası yapacaktır. Birinci parçanın kenarları 90 cm ve 120 cm'dir. İkinci parçanın kenarları ise 90 cm ve 120 cm'dir. Ancak marangoz, iki parçanın da aynı boyutlarda olup olmadığını doğrulamak istiyor. Hangi ek bilgiyi ölçerek veya hangi eşlik kuralını kullanarak bu iki parçanın tamamen aynı olduğunu kesin olarak söyleyebilir? 🪵
Çözüm:
Marangozun elindeki ahşap parçalarının aynı boyutlarda olup olmadığını anlamak için açı-kenar eşliği kurallarından yararlanabiliriz. 💡
- Elimizde iki ahşap parçası var ve her ikisinin de ikişer kenar uzunluğu biliniyor: 90 cm ve 120 cm.
- Eğer bu iki parça tamamen aynıysa (yani eşse), o zaman bu kenarlar arasındaki açı da aynı olmalıdır.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı: Eğer iki üçgenin ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açılar eşit ise, bu üçgenler eştir.
- Marangozun yapması gereken: Her iki ahşap parçasındaki 90 cm'lik kenar ile 120 cm'lik kenar arasındaki açıyı ölçmektir.
- Eğer her iki parçada da bu iki kenar arasındaki açı aynı ise (örneğin \( 90^\circ \) ise, bu dikdörtgen demektir), o zaman bu iki ahşap parçası KAK eşlik kuralına göre eşittir ve aynı boyuttadır. ✅
- Alternatif olarak, eğer parçaların diğer kenarları da bilinseydi (örneğin üçüncü bir kenar), Kenar-Kenar-Kenar (KKK) kuralı da kullanılabilirdi. Ancak sadece iki kenar verildiği için, aralarındaki açıyı bilmek en kesin yoldur.
Örnek 7:
Bir gezi sırasında iki farklı rota planlanmıştır. Rota A'da gidilecek mesafeler 3 km, 4 km ve 5 km'dir. Rota B'de ise gidilecek mesafeler 3 km, 4 km ve 5 km'dir. Bu iki rotanın uzunluk açısından karşılaştırmasını yapınız. 🗺️
Çözüm:
Bu durumda, iki rotanın da kenar uzunlukları aynıdır. Aç-kenar-kenar eşliği prensibine göre, eğer iki üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşitse, bu üçgenler eştir. 💡
- Rota A'nın kenar uzunlukları: 3 km, 4 km, 5 km.
- Rota B'nin kenar uzunlukları: 3 km, 4 km, 5 km.
- Her iki rotanın da kenar uzunlukları aynı olduğu için, bu iki rota uzunluk olarak tamamen aynıdır. Yani, bu rotaları temsil eden üçgenler Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralına göre eştir. ✅
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = |AC| \) ve \( \angle B = \angle C \) olduğu biliniyor. Bu durum, hangi açı-kenar eşlik kuralını ima eder? 🧐
Çözüm:
Bu soruda verilen bilgiler, ikizkenar üçgenin özelliklerindendir ve bize açı-kenar eşliği hakkında ipucu verir. 💡
- Verilenler:
- \( |AB| = |AC| \): İki kenar uzunluğu eşittir.
- \( \angle B = \angle C \): Bu kenarların karşısındaki iki açı eşittir.
- Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) veya Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik kurallarının bir sonucudur.
- Daha spesifik olarak, bir üçgende iki kenar eşitse, bu kenarların karşısındaki açılar da eşittir. Bu durum, eşlik kurallarının doğrudan bir uygulamasıdır.
- Eğer \( \angle B = \angle C \) ise, bu açıların karşısındaki kenarlar olan \( |AC| \) ve \( |AB| \) de eşit olmak zorundadır. Bu da KAK eşliğinin bir gereğidir.
- Tersine, eğer \( |AB| = |AC| \) ise, bu kenarların karşısındaki \( \angle C \) ve \( \angle B \) açıları da eşit olmak zorundadır. Bu da AKA eşliğinin bir sonucudur.
- Özetle, verilen durum, bu eşlik kurallarının birbiriyle olan ilişkisini ve ikizkenar üçgenin özelliklerini gösterir. ✅
Örnek 9:
Bir mimar, iki farklı bina projesi için zemin planları hazırlamıştır. Proje 1'de, bir odanın iki duvarı 5 metre ve 7 metre uzunluğundadır ve bu iki duvar arasındaki köşe açısı \( 90^\circ \)'dir. Proje 2'de ise, başka bir odanın iki duvarı 5 metre ve 7 metre uzunluğundadır ve bu iki duvar arasındaki köşe açısı \( 90^\circ \)'dir. Bu iki odanın zemin planları aynı mıdır? Nedenini açıklayınız. 📐
Çözüm:
Bu soruda, mimarın hazırladığı zemin planlarının aynı olup olmadığını belirlemek için açı-kenar eşliği kurallarını kullanacağız. 💡
- Proje 1'deki oda: İki kenar uzunluğu 5 metre ve 7 metre, aralarındaki açı \( 90^\circ \).
- Proje 2'deki oda: İki kenar uzunluğu 5 metre ve 7 metre, aralarındaki açı \( 90^\circ \).
- Şimdi bu iki durumu karşılaştıralım:
- Her iki odada da bilinen iki kenar uzunluğu birbirine eşittir: 5 metre ve 7 metre.
- Ayrıca, bu iki kenarın oluşturduğu açı da her iki odada da \( 90^\circ \) olarak verilmiştir.
- Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına uymaktadır.
- KAK kuralına göre, eğer iki üçgenin (veya bu durumda iki oda planının) ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açıları eşit ise, bu iki şekil eştir.
- Bu nedenle, her iki odanın zemin planları da aynıdır. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-aci-kenar-kenar-esligi/sorular