💡 9. Sınıf Matematik: Açı Kenar Bağıntıları Çözümlü Örnekler

Bu tür soruları çözerken açı-kenar bağıntısı kuralını hatırla: "Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur." 💡

• 👉 Öncelikle verilen açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
  \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \)
• 👉 Bu açılar hangi köşelere aitti?
  \( m(\hat{B}) = 50^\circ \)
  \( m(\hat{C}) = 60^\circ \)
  \( m(\hat{A}) = 70^\circ \)
• 👉 Şimdi her açının karşısındaki kenarı belirleyelim:
  • \( m(\hat{B}) \) açısının karşısındaki kenar b kenarıdır.
  • \( m(\hat{C}) \) açısının karşısındaki kenar c kenarıdır.
  • \( m(\hat{A}) \) açısının karşısındaki kenar a kenarıdır.
• 👉 Açılar küçükten büyüğe \( m(\hat{B}) < m(\hat{C}) < m(\hat{A}) \) şeklinde sıralandığı için, karşılarındaki kenarlar da aynı şekilde sıralanır:
  \( b < c < a \)

✅ Yani kenar uzunlukları küçükten büyüğe b, c, a şeklindedir.

Bu soruda kenar uzunlukları verilmiş ve açıların sıralanması isteniyor. Yine açı-kenar bağıntısı kuralını kullanacağız: "Büyük kenarın karşısında büyük açı, küçük kenarın karşısında küçük açı bulunur." 📌

• 👉 Öncelikle verilen kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım:
  \( 12 \text{ cm} > 8 \text{ cm} > 7 \text{ cm} \)
• 👉 Bu kenarlar hangi kenarlara aitti?
  \( b = 12 \text{ cm} \)
  \( a = 8 \text{ cm} \)
  \( c = 7 \text{ cm} \)
• 👉 Şimdi her kenarın karşısındaki açıyı belirleyelim:
  • b kenarının karşısındaki açı \( m(\hat{B}) \) açısıdır.
  • a kenarının karşısındaki açı \( m(\hat{A}) \) açısıdır.
  • c kenarının karşısındaki açı \( m(\hat{C}) \) açısıdır.
• 👉 Kenarlar büyükten küçüğe \( b > a > c \) şeklinde sıralandığı için, karşılarındaki açılar da aynı şekilde sıralanır:
  \( m(\hat{B}) > m(\hat{A}) > m(\hat{C}) \)

✅ Yani iç açılar büyükten küçüğe \( m(\hat{B}), m(\hat{A}), m(\hat{C}) \) şeklindedir.

Bu soruda üçgen eşitsizliği kuralını kullanacağız: "Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür." 💡

• 👉 Verilen kenar uzunlukları:
  \( |AB| = 6 \text{ cm} \)
  \( |AC| = 10 \text{ cm} \)
  \( |BC| = x \text{ cm} \)
• 👉 Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
  \( | |AC| - |AB| | < |BC| < |AC| + |AB| \)
• 👉 Değerleri yerine yazalım:
  \( | 10 - 6 | < x < 10 + 6 \)
• 👉 Eşitsizliği çözelim:
  \( 4 < x < 16 \)
• 👉 Bu aralıkta x'in alabileceği tam sayı değerleri 5, 6, 7, ..., 15'tir.

✅ x'in alabileceği tam sayı değerleri 5 ile 15 arasındadır. (5 ve 15 dahil).

Bu soruda hem üçgen eşitsizliği hem de geniş açı kuralını birlikte kullanacağız. Geniş açılı üçgenlerde, geniş açının karşısındaki kenar diğer iki kenarın kareleri toplamından daha büyük olur (ancak 9. sınıf müfredatında Pisagor bağıntısının bu şekilde kullanımı yerine, geniş açının en büyük açı olduğu ve dolayısıyla karşısındaki kenarın en uzun kenar olduğu bilgisiyle yorumlanır). 📌

• 👉 İlk olarak üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
  \( | |AC| - |AB| | < |BC| < |AC| + |AB| \)
  \( | 9 - 7 | < x < 9 + 7 \)
  \( 2 < x < 16 \)
• 👉 İkinci olarak geniş açı kuralını kullanalım: \( m(\hat{A}) > 90^\circ \) olduğu için, A açısı üçgenin en büyük açısıdır. Dolayısıyla A açısının karşısındaki kenar olan x, diğer kenarlardan daha uzun olmalıdır. Eğer A açısı tam \( 90^\circ \) olsaydı, Pisagor bağıntısından \( x^2 = 7^2 + 9^2 \) olurdu. A açısı \( 90^\circ \) den büyük olduğu için \( x^2 > 7^2 + 9^2 \) olmalıdır.
  \( x^2 > 49 + 81 \)
  \( x^2 > 130 \)
• 👉 \( x^2 > 130 \) eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değeri için:
  \( 11^2 = 121 \)
  \( 12^2 = 144 \)
  Yani \( x > \sqrt{130} \approx 11.4 \) olmalıdır. Bu durumda x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 12'dir.
• 👉 Şimdi her iki eşitsizliği birleştirelim:
  \( 2 < x < 16 \) ve \( x > 11.4 \)
  Bu iki eşitsizliğin kesişimi \( 11.4 < x < 16 \) olur.
• 👉 x'in alabileceği tam sayı değerleri 12, 13, 14, 15'tir.

✅ BC kenarının uzunluğu (x) 12, 13, 14, 15 tam sayı değerlerini alabilir.

Bu problemde, dörtgeni oluşturan iki ayrı üçgeni (ABD ve BCD) inceleyerek üçgen eşitsizliği kuralını uygulayacağız. Köşegenin uzunluğu her iki üçgenin de ortak kenarıdır. 🔍

• 👉 Öncelikle ABD üçgeni için üçgen eşitsizliğini yazalım:
  \( | |AB| - |DA| | < |BD| < |AB| + |DA| \)
  \( | 5 - 3 | < x < 5 + 3 \)
  \( 2 < x < 8 \)
• 👉 Şimdi de BCD üçgeni için üçgen eşitsizliğini yazalım:
  \( | |BC| - |CD| | < |BD| < |BC| + |CD| \)
  \( | 8 - 4 | < x < 8 + 4 \)
  \( 4 < x < 12 \)
• 👉 x'in alabileceği değerler her iki eşitsizliği de sağlamalıdır. Bu nedenle her iki aralığın kesişimini almalıyız:
  • \( 2 < x < 8 \)
  • \( 4 < x < 12 \)
• 👉 Kesişim aralığı:
  Alt sınır için en büyük değeri (\( \text{max}(2, 4) = 4 \)) alırız.
  Üst sınır için en küçük değeri (\( \text{min}(8, 12) = 8 \)) alırız.
  Yani \( 4 < x < 8 \)
• 👉 Bu aralıkta x'in alabileceği tam sayı değerleri 5, 6, 7'dir.

✅ BD kenarının uzunluğu (x) 5, 6, 7 tam sayı değerlerini alabilir.

Bu problemde birden fazla üçgen ve açı bilgisi var. Adım adım açıları bularak ve açı-kenar bağıntılarını uygulayarak ilerleyeceğiz. 🧠

• 👉 İlk olarak ABC üçgenindeki eksik açıyı bulalım:
  Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için:
  \( m(\hat{A}) = 180^\circ - (m(\hat{B}) + m(\hat{C})) \)
  \( m(\hat{A}) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) \)
  \( m(\hat{A}) = 180^\circ - 110^\circ \)
  \( m(\hat{A}) = 70^\circ \)
• 👉 Şimdi ABC üçgeninin kenarlarını sıralayalım:
  Açıları: \( m(\hat{B}) = 40^\circ \), \( m(\hat{C}) = 70^\circ \), \( m(\hat{A}) = 70^\circ \).
  \( m(\hat{B}) < m(\hat{C}) = m(\hat{A}) \) olduğundan:
  \( |AC| < |AB| = |BC| \) (Burada AC karşısında B açısı, AB karşısında C açısı, BC karşısında A açısı var. \( m(\hat{C}) = m(\hat{A}) \) olduğundan bu açılar eşit ve karşılarındaki kenarlar da eşittir: \( |AB| = |BC| \)).
  Yani \( |AC| < |AB| \) ve \( |AC| < |BC| \).
• 👉 Şimdi BDC üçgenindeki açıları bulalım:
  \( m(\widehat{DBC}) = 30^\circ \) verilmiş.
  \( m(\hat{C}) = 70^\circ \) (ABC üçgeninden).
  \( m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - (m(\widehat{DBC}) + m(\hat{C})) \)
  \( m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - (30^\circ + 70^\circ) \)
  \( m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - 100^\circ \)
  \( m(\widehat{BDC}) = 80^\circ \)
• 👉 BDC üçgeninin kenarlarını sıralayalım:
  Açıları: \( m(\widehat{DBC}) = 30^\circ \), \( m(\hat{C}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{BDC}) = 80^\circ \).
  \( m(\widehat{DBC}) < m(\hat{C}) < m(\widehat{BDC}) \) olduğundan:
  \( |CD| < |BD| < |BC| \)
• 👉 Son olarak ABD üçgenindeki açıları bulalım:
  \( m(\hat{A}) = 70^\circ \) (ABC üçgeninden).
  \( m(\widehat{ABD}) = m(\hat{B}) - m(\widehat{DBC}) = 40^\circ - 30^\circ = 10^\circ \).
  \( m(\widehat{ADB}) \) açısı, \( m(\widehat{BDC}) \) açısının bütünleridir (doğrusal açı).
  \( m(\widehat{ADB}) = 180^\circ - m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).
• 👉 ABD üçgeninin kenarlarını sıralayalım:
  Açıları: \( m(\hat{A}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{ABD}) = 10^\circ \), \( m(\widehat{ADB}) = 100^\circ \).
  \( m(\widehat{ABD}) < m(\hat{A}) < m(\widehat{ADB}) \) olduğundan:
  \( |AD| < |BD| < |AB| \)
• 👉 Şimdi tüm bulguları birleştirelim:
  • ABC üçgeninden: \( |AC| < |AB| \) ve \( |AC| < |BC| \). Ayrıca \( |AB| = |BC| \).
  • BDC üçgeninden: \( |CD| < |BD| < |BC| \).
  • ABD üçgeninden: \( |AD| < |BD| < |AB| \).
• 👉 İstenen kenarlar AB, BC ve CD.
  Biliyoruz ki \( |AB| = |BC| \).
  BDC üçgeninden \( |CD| < |BC| \).
  Bu durumda \( |CD| \) en küçük kenar olmalıdır.
• 👉 O zaman sıralama CD < AB = BC şeklindedir.

✅ Kenar uzunlukları küçükten büyüğe CD < AB = BC şeklinde sıralanır.

Bu "Yeni Nesil" soruda hem üçgen eşitsizliği hem de açı-kenar bağıntılarının kombinasyonunu kullanacağız. Parkın en dar köşesinin karşısındaki kenarın 120 metre olması önemli bir ipucu. 👷‍♂️

• 👉 Verilen kenar uzunlukları: 120 m, 180 m ve x m.
• 👉 İlk olarak üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
  \( | 180 - 120 | < x < 180 + 120 \)
  \( 60 < x < 300 \)
• 👉 İkinci olarak açı-kenar bağıntısı bilgisini kullanalım: "Parkın en dar köşesinin karşısındaki kenar 120 metredir." Bu ne anlama gelir? En dar köşe, üçgenin en küçük açısıdır. En küçük açının karşısında da en küçük kenar bulunur.
  Dolayısıyla, 120 metre, üçgenin en kısa kenarı olmak zorundadır.
  Bu durumda, x kenarı 120 metreden büyük olmalıdır.
  Yani \( x > 120 \).
• 👉 Şimdi her iki eşitsizliği birleştirelim:
  \( 60 < x < 300 \) ve \( x > 120 \)
  Bu iki eşitsizliğin kesişimi \( 120 < x < 300 \) olur.
• 👉 x'in alabileceği tam sayı değerleri 121, 122, ..., 299'dur.

✅ Yürüyüş yolunun uzunluğu (x) 121 ile 299 arasındaki tam sayı değerlerini alabilir.

Bu bir üçgen eşitsizliği problemidir ve günlük hayattaki mesafe hesaplamalarında karşımıza çıkar. En kısa yol her zaman düz bir çizgidir ve üçgen eşitsizliği bunu matematiksel olarak ifade eder. 🛣️

• 👉 Verilen mesafeler:
  Ahmet-Buse arası (\( |AB| \)) = 500 metre
  Buse-Cem arası (\( |BC| \)) = 700 metre
  Ahmet-Cem arası (\( |AC| \)) = x metre
• 👉 Üçgen eşitsizliği kuralını hatırlayalım: "Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür."
• 👉 Ahmet ile Cem arasındaki mesafe (x) için eşitsizliği yazalım:
  \( | |BC| - |AB| | < |AC| < |BC| + |AB| \)
• 👉 Değerleri yerine yazalım:
  \( | 700 - 500 | < x < 700 + 500 \)
• 👉 Eşitsizliği çözelim:
  \( 200 < x < 1200 \)
• 👉 Ahmet ile Cem arasındaki mesafenin (x) en az kaç tam sayı metre olabileceği sorulduğu için, x'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmalıyız.
  \( x > 200 \) olduğundan, x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 201'dir.

✅ Ahmet ile Cem arasındaki mesafe en az 201 metre olabilir.

Bu problemde hem üçgen eşitsizliği hem de dar açı kuralını birlikte kullanacağız. C köşesindeki açının dar açı olması, kenar uzunlukları üzerinde bir kısıtlama getirecektir. 🚜

• 👉 Verilen kenar uzunlukları: \( |AB| = 15 \text{ m} \), \( |BC| = 20 \text{ m} \), \( |AC| = x \text{ m} \).
• 👉 C köşesindeki açı dar açı: \( m(\hat{C}) < 90^\circ \).
• 👉 İlk olarak üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
  \( | |BC| - |AB| | < |AC| < |BC| + |AB| \)
  \( | 20 - 15 | < x < 20 + 15 \)
  \( 5 < x < 35 \)
• 👉 İkinci olarak dar açı kuralını kullanalım: \( m(\hat{C}) < 90^\circ \) olduğu için, C açısının karşısındaki kenar olan \( |AB| \) kenarı, diğer iki kenarın kareleri toplamından daha küçük olmalıdır. Eğer C açısı tam \( 90^\circ \) olsaydı, Pisagor bağıntısından \( |AB|^2 = |BC|^2 + |AC|^2 \) olurdu. C açısı \( 90^\circ \) den küçük olduğu için \( |AB|^2 < |BC|^2 + |AC|^2 \) olmalıdır.
  \( 15^2 < 20^2 + x^2 \)
  \( 225 < 400 + x^2 \)
  \( 225 - 400 < x^2 \)
  \( -175 < x^2 \)
• 👉 \( -175 < x^2 \) eşitsizliği, bir sayının karesi her zaman negatif olmayan bir değer olduğu için her zaman doğrudur. Yani bu eşitsizlikten x için özel bir alt sınır gelmez (zaten x bir uzunluk olduğu için \( x > 0 \) olmalıdır). Ancak, \( m(\hat{C}) < 90^\circ \) olduğunda, C açısının karşısındaki kenar (15 m) en uzun kenar olmak zorunda değildir. Eğer diğer açılar da dar olsaydı, \( x^2 < 15^2 + 20^2 \) ve \( 20^2 < 15^2 + x^2 \) gibi ek kısıtlamalar da gelirdi. Ancak sadece C açısının dar olduğu bilgisi, bize \( 15^2 < 20^2 + x^2 \) eşitsizliğini verir. Bu da \( x^2 > -175 \) anlamına gelir ki bu her zaman doğrudur.
• 👉 9. sınıf müfredatına göre bu tür soruları çözmek için açı-kenar bağıntısının temelini kullanırız: Eğer bir açı dar ise, o açının karşısındaki kenar en uzun kenar olmak zorunda değildir. Diğer açılar hakkında bilgi verilmediği için, sadece üçgen eşitsizliğini kullanırız ve C açısının dar olması durumunda \( |AB| \) kenarının diğer kenarların kareleri toplamından küçük olması gerektiğini (Pisagor eşitsizliği) dolaylı olarak düşünürüz. Ancak direkt olarak \( x^2 > -175 \) bir kısıt oluşturmaz.
• 👉 C açısının dar olması, \( |AB| \) kenarının, eğer \( |BC| \) ve \( |AC| \) kenarları en uzun olsaydı bile, onların kareleri toplamından küçük olmasını sağlar. Yani, \( 15^2 < 20^2 + x^2 \) bu durumda bir sınırlama getirmez. Asıl sınırlama, üçgenin kenarlarını sıralarken, dar açının karşısındaki kenarın diğer kenarlardan küçük olabileceği gerçeğidir. Ancak bu, diğer açılar hakkında bilgi olmadan \( x \) için doğrudan bir üst veya alt sınır vermez.
• 👉 Eğer soru "C açısı dar ise \( |AB| \) en uzun kenar değildir" şeklinde bir çıkarım yapmamızı isteseydi, bu daha karmaşık olurdu. Ancak burada sadece C açısının dar olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, sadece üçgen eşitsizliğini kullanarak bir aralık buluruz. Başka açılar hakkında bilgi olmadığı için, sadece üçgen eşitsizliği geçerlidir.
• 👉 Tekrar düşünelim: Eğer \( m(\hat{C}) < 90^\circ \) ise, \( |AB|^2 < |BC|^2 + |AC|^2 \). Bu da \( 15^2 < 20^2 + x^2 \Rightarrow 225 < 400 + x^2 \Rightarrow x^2 > -175 \) sonucunu verir. Bu her zaman doğrudur. Bu bilgi tek başına x için yeni bir alt sınır getirmez. Ancak, eğer C açısı en büyük açı olsaydı ve dar olsaydı, o zaman diğer kenarlarla ilişkisi olurdu.
• 👉 9. sınıf müfredatında bu tarz geniş/dar açı kısıtlamaları genellikle Pisagor bağıntısının açılarla ilişkisi üzerinden (yani \( c^2 < a^2+b^2 \) ise dar, \( c^2 > a^2+b^2 \) ise geniş) anlatılır. Bu durumda, \( m(\hat{C}) < 90^\circ \) olduğu için \( |AB|^2 < |BC|^2 + |AC|^2 \) yani \( 15^2 < 20^2 + x^2 \) olmalıdır. Bu eşitsizlik \( x^2 > -175 \) sonucunu verir.
  Eğer \( m(\hat{B}) < 90^\circ \) olsaydı \( |AC|^2 < |AB|^2 + |BC|^2 \Rightarrow x^2 < 15^2 + 20^2 \Rightarrow x^2 < 225 + 400 \Rightarrow x^2 < 625 \Rightarrow x < 25 \) olurdu.
  Eğer \( m(\hat{A}) < 90^\circ \) olsaydı \( |BC|^2 < |AB|^2 + |AC|^2 \Rightarrow 20^2 < 15^2 + x^2 \Rightarrow 400 < 225 + x^2 \Rightarrow x^2 > 175 \Rightarrow x > \sqrt{175} \approx 13.2 \) olurdu.
• 👉 Soruda sadece C açısının dar olduğu belirtildiği için, \( |AB|^2 < |BC|^2 + |AC|^2 \) kuralını kullanırız. Bu da \( 15^2 < 20^2 + x^2 \) demektir.
  \( 225 < 400 + x^2 \)
  \( -175 < x^2 \). Bu eşitsizlik, bir kenar uzunluğu olduğu için \( x > 0 \) olduğu sürece her zaman doğrudur ve x'e yeni bir kısıtlama getirmez.
• 👉 Bu durumda, sadece üçgen eşitsizliği geçerlidir. Sorunun amacı, dar açının her zaman ek bir alt veya üst sınır getirmeyebileceğini göstermektir, özellikle de o açının karşısındaki kenar zaten diğerlerinden küçükse veya diğer açılar hakkında bilgi yoksa.
• 👉 Bu nedenle, x'in alabileceği değerler sadece üçgen eşitsizliğinden gelir: \( 5 < x < 35 \).
• 👉 x'in alabileceği tam sayı değerleri 6, 7, ..., 34'tür.

✅ AC kenarının uzunluğu (x) 6 ile 34 arasındaki tam sayı değerlerini alabilir.