💡 9. Sınıf Matematik: Açı Kenar Bağıntıları ve Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler

Üçgenlerde kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açılar arasında doğru bir orantı vardır.

• En uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür.
• En kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür.

Verilen kenar uzunlukları: \( a = 5 \) cm, \( b = 7 \) cm, \( c = 9 \) cm.
Kenar uzunluklarının sıralaması: \( a < b < c \).
Bu sıralamaya göre, kenarların karşısındaki açıların sıralaması da aynı olacaktır.
Dolayısıyla, A açısı \( A \), B açısı \( B \) ve C açısı \( C \) olmak üzere, açıların sıralaması: \( A < B < C \) şeklinde olur. 👉

Üçgen eşitsizliğini kullanarak \( XZ \) kenarının uzunluk aralığını belirleyebiliriz.
\( XZ \) kenarının uzunluğuna \( x \) diyelim.
Üçgen eşitsizliğine göre:

• \( |YZ - XY| < XZ < YZ + XY \)
• \( |12 - 8| < x < 12 + 8 \)
• \( 4 < x < 20 \)

\( x \) tam sayı olacağına göre, alabileceği değerler 5, 6, 7, ..., 19'dur. ✅

Benzerlik için karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olup olmadığını kontrol etmeliyiz.
\( ABC \) üçgeninin kenarları: 6, 8, 10.
\( DEF \) üçgeninin kenarları: 9, 12, 15.
Oranları kontrol edelim:

• \( \frac{DE}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
• \( \frac{EF}{BC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
• \( \frac{DF}{AC} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \)

Tüm karşılıklı kenar oranları eşit \( \frac{3}{2} \) olduğundan, \( ABC \) ve \( DEF \) üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \)'dir. 👉 \( ABC \sim DEF \).

Kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların büyüklüğü doğru orantılıdır.
Verilen kenar uzunlukları: \( PQ = 10 \), \( QR = 14 \), \( PR = 16 \).
Kenar uzunluklarının büyükten küçüğe sıralaması: \( PR > QR > PQ \).
Bu kenarların karşısındaki açılar sırasıyla \( Q \), \( P \) ve \( R \) açılarıdır.
Dolayısıyla, açıların büyükten küçüğe sıralaması: \( Q > P > R \) olur. 📌

Bu problemde benzer üçgenler söz konusudur. Kaydırakların direkleri zemine dik olduğundan, direkler, kayma yüzeyleri ve zemin arasında oluşan üçgenler dik üçgenlerdir.
Birinci kaydırak üçgeni: Dik kenarlar 4 m (yükseklik) ve zemin uzunluğu (pisagor ile bulunur: \( \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \) m), hipotenüs 5 m.
İkinci kaydırak üçgeni: Dik kenarlar 6 m (yükseklik) ve zemin uzunluğu, hipotenüs (kayma yüzeyi uzunluğu, \( x \) diyelim).
İki üçgen benzer olduğundan, karşılıklı kenar oranları eşittir.

• \( \frac{\text{İkinci kaydırak direk yüksekliği}}{\text{Birinci kaydırak direk yüksekliği}} = \frac{\text{İkinci kaydırak kayma yüzeyi}}{\text{Birinci kaydırak kayma yüzeyi}} \)
• \( \frac{6}{4} = \frac{x}{5} \)
• \( \frac{3}{2} = \frac{x}{5} \)
• \( 2x = 3 \times 5 \)
• \( 2x = 15 \)
• \( x = \frac{15}{2} = 7.5 \) metre

İkinci kaydırağın kayma yüzeyinin uzunluğu 7.5 metredir. 🚀

Harita üzerindeki uzaklık ile gerçek uzaklık arasındaki ilişkiyi ölçek belirler.
Ölçek 1:500.000 demek, haritada 1 birimlik uzaklığın gerçekte 500.000 birim olduğu anlamına gelir.
Harita üzerindeki uzaklık = 8 cm.
Gerçek uzaklığı bulmak için harita üzerindeki uzaklığı ölçekteki ikinci sayıyla çarparız.
Gerçek uzaklık = \( 8 \text{ cm} \times 500.000 \)
Gerçek uzaklık = \( 4.000.000 \) cm.
Bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
1 kilometre = 100.000 cm.

• \( \frac{4.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} = 40 \) km

Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 40 kilometredir. 🚗

Öncelikle üçgenin dik üçgen olup olmadığını kontrol edelim. Kenar uzunlukları 6, 8, 10'dur.
Pisagor teoremini kontrol edelim: \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). \( 10^2 = 100 \).
\( 6^2 + 8^2 = 10^2 \) olduğundan, bu bir dik üçgendir ve en uzun kenar olan 10 cm hipotenüstür.
Dik üçgenlerde çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır ve yarıçapı hipotenüsün yarısına eşittir.
Hipotenüs uzunluğu = 10 cm.
Çevrel çemberin yarıçapı \( R \) ise:

• \( R = \frac{\text{Hipotenüs}}{2} \)
• \( R = \frac{10 \text{ cm}}{2} \)
• \( R = 5 \) cm

Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı 5 cm'dir. 🌟

Fotoğrafın kenar oranlarının korunması, fotoğrafın büyütülürken veya küçültülürken benzerlik özelliğini taşıdığı anlamına gelir.
Orijinal fotoğrafın kenar oranları: \( \frac{\text{Kısa Kenar}}{\text{Uzun Kenar}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \).
Yeni fotoğrafın kısa kenarı 25 cm olarak verilmiş. Uzun kenarına \( y \) diyelim.
Yeni fotoğrafın kenar oranları da aynı olmalıdır: \( \frac{25}{y} \).
Bu iki oranı eşitleyerek \( y \) değerini bulabiliriz:

• \( \frac{10}{15} = \frac{25}{y} \)
• \( \frac{2}{3} = \frac{25}{y} \)
• \( 2 \times y = 3 \times 25 \)
• \( 2y = 75 \)
• \( y = \frac{75}{2} \)
• \( y = 37.5 \) cm

Yeni fotoğrafın uzun kenarı 37.5 cm olur. ✨