🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Açı Kenar Açı Eşliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Açı Kenar Açı Eşliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki üçgenin eş olabilmesi için gereken koşullar nelerdir? Açı Kenar Açı (AKA) eşliği bu koşullardan biri midir? 🤔
Çözüm:
- İki üçgenin eş olabilmesi için karşılıklı kenar ve açıları eş olmalıdır.
- Açı Kenar Açı (AKA) Eşliği, iki üçgenin eş olmasını sağlayan önemli koşullardan biridir.
- Bu eşlik türünde, bir üçgenin iki açısı ve bu iki açı arasındaki kenarın uzunluğu, diğer üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu iki açı arasındaki kenarın uzunluğuna eşitse, bu iki üçgen eştir.
- Yani, eğer bir üçgenin iki açısı ve aradaki kenarı, diğer üçgenin iki açısı ve aradaki kenarına eşitse, bu üçgenler AKA kuralına göre eştir. ✅
Örnek 2:
ABC ve KLM üçgenlerinde \( \angle A = \angle K \), \( \angle B = \angle L \) ve \( |AB| = |KL| \) ise bu iki üçgen eş midir? Neden? 👉
Çözüm:
- Evet, ABC ve KLM üçgenleri eştir.
- Bunun sebebi Açı Kenar Açı (AKA) Eşliği kuralıdır.
- ABC üçgeninde A ve B açıları ile bu iki açı arasındaki AB kenarı verilmiştir.
- KLM üçgeninde ise K ve L açıları ile bu iki açı arasındaki KL kenarı verilmiştir.
- Soruda verilen bilgilere göre:
- \( \angle A = \angle K \) (Açı)
- \( \angle B = \angle L \) (Açı)
- \( |AB| = |KL| \) (Kenar - Açıların arasındaki kenar)
- Bu durum tam olarak AKA eşlik kuralını sağlar. Bu nedenle \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \) olur. ✍️
Örnek 3:
Bir ABCD dörtgeninde \( \angle DAB = \angle BCD \) ve \( \angle ABC = \angle CDA \) verilmiştir. Eğer \( |AB| = |CD| \) ise, bu dörtgen hakkında ne söylenebilir? 🧐
Çözüm:
- Bu dörtgen bir paralelkenardır.
- Şimdi bunu AKA eşliği ile gösterelim:
- ABCD dörtgenini köşegenlerinden biri olan AC ile ikiye ayıralım. Böylece \( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADC \) üçgenlerini elde ederiz.
- Verilenler:
- \( \angle DAB = \angle BCD \)
- \( \angle ABC = \angle CDA \)
- \( |AB| = |CD| \)
- AC köşegeni her iki üçgen için de ortak kenardır.
- \( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADC \) üçgenlerinde:
- \( \angle BAC \) ve \( \angle DCA \) açıları iç ters açılardır ve \( |AB| = |CD| \) olduğundan \( \angle ABC = \angle CDA \) olamaz. Bu bilgi soruda yanlış verilmiş olabilir. Soruyu düzeltelim: Eğer \( \angle BAC = \angle DCA \) ve \( \angle BCA = \angle DAC \) ise, bu durum da AKA'yı sağlamaz.
- Soruyu yeniden ele alalım: Eğer \( \angle DAB = \angle BCD \) ve \( \angle ABC = \angle CDA \) ise ve \( |AB| = |CD| \) ise, bu dörtgenin köşegenlerinden biri ile ikiye ayırdığımızda elde ettiğimiz üçgenler arasında AKA eşliği kurabilir miyiz?
- Doğru yaklaşım şu olmalıdır: AC köşegenini çizdiğimizde, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADC \) üçgenlerini elde ederiz.
- Soruda verilen \( \angle DAB \) ve \( \angle BCD \) açıları, dörtgenin tamamının açılarıdır.
- Eğer \( \angle BAC = \angle DCA \) ve \( \angle BCA = \angle DAC \) ise ve \( |AC| = |CA| \) ise \( \triangle ABC \cong \triangle CDA \) olur (AKA). Bu durumda \( |AB| = |CD| \) ve \( |BC| = |DA| \) olur. Bu da paralelkenar tanımıdır.
- Ancak sorudaki bilgilerle doğrudan AKA eşliği kurmak yerine, dörtgenin özelliklerinden yola çıkmak daha doğru olur.
- Eğer \( \angle DAB = \angle BCD \) ve \( \angle ABC = \angle CDA \) ise, bu dörtgenin karşılıklı açıları eşittir. Bu durum, dörtgenin paralelkenar olduğunu gösterir. 💡
- Paralelkenarda karşılıklı kenarlar da eşittir, yani \( |AB| = |CD| \) ve \( |BC| = |DA| \).
- Sorudaki \( |AB| = |CD| \) bilgisi zaten paralelkenarın bir özelliğidir.
Örnek 4:
İki farklı üçgen çizelim. Birinci üçgenin A ve B açıları sırasıyla 50 derece ve 60 derecedir. Bu iki açı arasındaki kenarın uzunluğu 7 cm'dir. İkinci üçgenin ise K ve L açıları sırasıyla 50 derece ve 60 derecedir. Bu iki açı arasındaki kenarın uzunluğu da 7 cm'dir. Bu iki üçgen hakkında ne söyleyebiliriz? 📐
Çözüm:
- Bu iki üçgen eştir.
- Bunun nedeni Açı Kenar Açı (AKA) Eşliği kuralıdır.
- Birinci üçgenin iki açısı (50° ve 60°) ve bu açılar arasındaki kenarın uzunluğu (7 cm) verilmiştir.
- İkinci üçgenin de aynı şekilde iki açısı (50° ve 60°) ve bu açılar arasındaki kenarın uzunluğu (7 cm) verilmiştir.
- Dolayısıyla, birinci üçgenin iki açısı ve aradaki kenarı, ikinci üçgenin karşılıklı iki açısı ve aradaki kenarına eşittir.
- Bu durumda, bu iki üçgen AKA eşlik kuralına göre eş üçgenlerdir. 🎉
Örnek 5:
Bir yol ayrımında bulunan Ali ve Veli'nin konumları şekildeki gibi gösterilmiştir. Ali'nin bulunduğu A noktasından yolun doğusuna doğru 100 metre ilerlediğinde B noktasına varıyor. Veli'nin bulunduğu D noktasından ise yolun doğusuna doğru 100 metre ilerlediğinde C noktasına varıyor. Eğer \( \angle BAC = \angle EDC \) ve \( |AB| = |DC| \) ise, Ali'nin A noktasından Veli'nin D noktasından uzaklığı ile Ali'nin B noktasından Veli'nin C noktasından uzaklığı eşit midir? (Yollar birbirine paraleldir ve \( \angle ABC = \angle DCB \) olarak kabul edilmektedir.) 🛤️
Çözüm:
- Evet, Ali'nin A noktasından Veli'nin D noktasından uzaklığı ile Ali'nin B noktasından Veli'nin C noktasından uzaklığı eşittir.
- Soruda verilen bilgilere göre, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DCB \) üçgenlerini inceleyelim.
- Verilenler:
- \( \angle BAC = \angle EDC \) (Bu aslında \( \angle BAC = \angle ECD \) olmalı, çünkü yollar paralel.)
- \( |AB| = |DC| \)
- \( \angle ABC = \angle DCB \) (Bu bilgi de yolların paralelliği ile çelişebilir, soruyu daha net hale getirelim.)
- Soruyu şu şekilde revize edelim:
- Bir ABCD dörtgeni düşünelim. \( |AB| = |CD| \), \( \angle BAC = \angle DCA \) ve \( \angle BCA = \angle DAC \) ise \( \triangle ABC \cong \triangle CDA \) olur (AKA). Bu durumda \( |BC| = |DA| \) olur.
- Sorunun orijinal haline dönelim ve verilen bilgileri kullanarak AKA eşliğini kurmaya çalışalım:
- Ali'nin A noktasından B noktasına ve Veli'nin D noktasından C noktasına olan ilerlemeleri aynı uzunlukta: \( |AB| = |DC| = 100 \) metre.
- \( \angle BAC = \angle EDC \) (Bu açılar aynı yöne baktığı için eşittir.)
- Yolların birbirine paralel olması durumunda, \( \angle ABC \) ve \( \angle BCD \) arasındaki ilişkiyi de dikkate almalıyız.
- Eğer \( \angle ABC = \angle DCB \) ise, bu bir ikizkenar yamuk veya paralelkenar durumu olabilir.
- Soruyu daha basit bir AKA eşliği ile çözebileceğimiz bir hale getirelim:
- İki üçgen düşünelim: \( \triangle ABC \) ve \( \triangle KML \).
- Eğer \( \angle A = \angle K \), \( \angle B = \angle L \) ve \( |AB| = |KL| \) ise, \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \) olur (AKA).
- Bu durumda, eş üçgenlerin karşılıklı kenarları da eşittir. Yani \( |BC| = |LM| \) ve \( |AC| = |KM| \).
- Sorunun orijinal metniyle, AKA eşliğini kurmak için gerekli olan "iki açı ve bu iki açı arasındaki kenar" bilgisi tam olarak sağlanmıyor.
- Ancak, eğer soruda kastedilen şu ise: \( \triangle ABD \) ve \( \triangle DCA \) üçgenlerini ele alalım.
- \( |AB| = |DC| \) (Verilmiş)
- \( \angle BAC = \angle DCA \) (İç ters açılar, eğer AB || DC ise)
- \( |AC| = |CA| \) (Ortak kenar)
- Bu durumda \( \triangle ABC \cong \triangle CDA \) olur (Kenar Açı Kenar - KAK eşliği).
- Eğer soruda "Ali'nin A noktasından Veli'nin D noktasından uzaklığı" \( |AD| \) ve "Ali'nin B noktasından Veli'nin C noktasından uzaklığı" \( |BC| \) ise, AKA eşliği ile bu doğrudan kanıtlanamaz.
- Soruyu basitleştirerek AKA'yı vurgulayalım:
- Birinci üçgen: \( \angle A = 40^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \), \( |AB| = 5 \) cm.
- İkinci üçgen: \( \angle K = 40^\circ \), \( \angle L = 70^\circ \), \( |KL| = 5 \) cm.
- Bu iki üçgen AKA eşliği ile eştir. Dolayısıyla, üçüncü açıları \( \angle C = \angle M = 180 - (40+70) = 70^\circ \) olur ve karşılıklı kenarları \( |BC| = |LM| \) ve \( |AC| = |KM| \) olur. ✅
Örnek 6:
Bir marangoz, iki ahşap parçayı birleştirecek. Birinci parçanın iki kenarı 30 cm ve 40 cm uzunluğunda ve bu iki kenarın arasındaki açı 70 derecedir. İkinci parçanın da iki kenarı 30 cm ve 40 cm uzunluğunda ve bu iki kenarın arasındaki açı 70 derecedir. Marangoz bu iki parçayı birleştirerek aynı şekli elde edebilir mi? Neden? 🪵
Çözüm:
- Evet, marangoz bu iki parçayı birleştirerek aynı şekli elde edebilir.
- Bu durum, geometrideki Açı Kenar Açı (AKA) Eşliği kuralı ile açıklanır.
- Marangozun elindeki birinci ahşap parça, iki kenarı (30 cm ve 40 cm) ve bu kenarlar arasındaki açı (70°) ile tanımlanmıştır.
- İkinci ahşap parça da aynı özelliklere sahiptir: iki kenarı (30 cm ve 40 cm) ve bu kenarlar arasındaki açı (70°).
- Ancak, burada dikkat edilmesi gereken bir nokta var: AKA eşliği, iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın eşliğini ifade eder. Soruda verilen bilgi ise iki kenar ve bu iki kenar arasındaki açının eşliğidir. Bu, Kenar Açı Kenar (KAK) Eşliği'dir. 📌
- Eğer soruyu AKA eşliğine uygun hale getirirsek:
- Birinci parçada 70° ve 50°'lik iki açı ve bu iki açı arasındaki kenar 30 cm olsun.
- İkinci parçada da 70° ve 50°'lik iki açı ve bu iki açı arasındaki kenar 30 cm olsun.
- Bu durumda, bu iki parça AKA eşliği ile eş olurdu.
- Sorudaki orijinal haliyle, KAK eşliği geçerlidir ve bu da iki şeklin eş olduğunu gösterir. 👍
Örnek 7:
ABC ve DEF üçgenlerinde \( \angle A = \angle D \), \( \angle B = \angle E \) ve \( |AC| = |DF| \) olarak verilmiştir. Bu bilgilerle \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenlerinin eş olduğu söylenebilir mi? Neden? ❓
Çözüm:
- Hayır, bu bilgilerle \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenlerinin eş olduğu kesin olarak söylenemez.
- Bunun nedeni, verilen eşlik koşulunun Açı Kenar Açı (AKA) Eşliği'nin tam olarak sağlanmamasıdır.
- AKA eşliği için gerekenler:
- İki üçgenin karşılıklı iki açısı eş olmalı. (Burada \( \angle A = \angle D \) ve \( \angle B = \angle E \) verilmiş, bu kısım tamam.)
- Bu iki açı arasındaki kenar da karşılıklı kenara eş olmalı. (Burada verilen kenar \( |AC| \) ve \( |DF| \) ise, bu kenarlar A ve C açıları ile D ve F açıları arasındaki kenarlardır. Eğer \( \angle B \) ve \( \angle E \) arasındaki kenarlar \( |AB| \) ve \( |DE| \) olsaydı, AKA eşliği sağlanırdı.)
- Soruda verilen \( |AC| = |DF| \) kenarı, A ve C açıları ile D ve F açıları arasındadır.
- Eğer \( \angle A = \angle D \) ve \( \angle C = \angle F \) olsaydı ve \( |AC| = |DF| \) olsaydı, bu KAK eşliği olurdu.
- Eğer \( \angle A = \angle D \) ve \( \angle B = \angle E \) ve bu açılar arasındaki kenarlar \( |AB| = |DE| \) olsaydı, bu AKA eşliği olurdu.
- Şu anki durumda, elimizde iki açı ve bu açılardan birine komşu olmayan bir kenar eşliği var. Bu durum, Açı Açı Kenar (AAK) Eşliği'ne benzemektedir.
- AAK eşliği de üçgenlerin eşliğini garantiler. Eğer \( \angle A = \angle D \), \( \angle B = \angle E \) ve \( |BC| = |EF| \) olsaydı, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olurdu.
- Soruda verilen \( |AC| = |DF| \) bilgisi, AKA eşliğini sağlamadığı için tek başına yeterli değildir. Üçüncü açıları da eş olacağından \( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \) ve \( \angle F = 180^\circ - (\angle D + \angle E) \) olacağından \( \angle C = \angle F \) olur.
- Bu durumda elimizde \( \angle A = \angle D \), \( \angle C = \angle F \) ve \( |AC| = |DF| \) bilgileri var. Bu, Kenar Açı Kenar (KAK) Eşliği'nin bir varyasyonudur.
- Hayır, bu bilgilerle AKA eşliği sağlanmaz. Ancak, AAK eşliği ile eş olduğu söylenebilir. 💡
Örnek 8:
ABC üçgeninde \( \angle A = 55^\circ \), \( \angle B = 65^\circ \) ve \( |AB| = 10 \) cm'dir. DEF üçgeninde \( \angle D = 55^\circ \), \( \angle E = 65^\circ \) ve \( |DE| = 10 \) cm'dir. Bu iki üçgen eş midir? Eş ise hangi eşlik kuralıyla? 💯
Çözüm:
- Evet, bu iki üçgen eştir.
- Eşlik kuralı Açı Kenar Açı (AKA) Eşliği'dir.
- ABC üçgeninde:
- Birinci açı: \( \angle A = 55^\circ \)
- İkinci açı: \( \angle B = 65^\circ \)
- Bu iki açı arasındaki kenar: \( |AB| = 10 \) cm
- DEF üçgeninde:
- Birinci açı: \( \angle D = 55^\circ \)
- İkinci açı: \( \angle E = 65^\circ \)
- Bu iki açı arasındaki kenar: \( |DE| = 10 \) cm
- Görüldüğü gibi, birinci üçgenin iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı, ikinci üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarına eşittir.
- Bu durum, AKA eşlik kuralını tam olarak sağlar.
- Bu nedenle \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur. ✅
Örnek 9:
Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafeyi ölçmek istiyoruz. Haritada, A şehrinden B şehrine giden bir yolun uzunluğu 5 cm olarak gösterilmiş. Bu yolun başlangıç noktası olan A'daki açısı 40 derece, bitiş noktası olan B'deki açısı ise 70 derecedir. Başka bir haritada ise C şehrinden D şehrine giden bir yolun uzunluğu 5 cm olarak gösterilmiş. Bu yolun başlangıç noktası olan C'deki açısı 40 derece, bitiş noktası olan D'deki açısı ise 70 derecedir. Bu iki yol harita üzerinde aynı mı temsil edilmektedir? 🗺️
Çözüm:
- Evet, bu iki yol harita üzerinde aynı şekilde temsil edilmektedir.
- Bu durum, Açı Kenar Açı (AKA) Eşliği ile açıklanır.
- Haritadaki birinci yol (A'dan B'ye):
- Birinci açı: \( \angle A = 40^\circ \)
- İkinci açı: \( \angle B = 70^\circ \)
- Bu iki açı arasındaki yolun uzunluğu (kenar): \( |AB| = 5 \) cm
- Haritadaki ikinci yol (C'den D'ye):
- Birinci açı: \( \angle C = 40^\circ \)
- İkinci açı: \( \angle D = 70^\circ \)
- Bu iki açı arasındaki yolun uzunluğu (kenar): \( |CD| = 5 \) cm
- Her iki yol için de, iki açı ve bu iki açı arasındaki kenar uzunluğu aynıdır.
- Bu nedenle, bu iki yol harita üzerinde eş olarak temsil edilmektedir. Bu, gerçek dünyada da bu yolların benzer geometrik özelliklere sahip olduğunu gösterir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-aci-kenar-aci-esligi/sorular