💡 9. Sınıf Matematik: 2. Dönem 1. Yazılı Tekrar Çözümlü Örnekler

Mutlak değerli bir ifade bir sayıya eşitse, mutlak değerin içindeki ifade o sayının pozitifine veya negatifine eşit olabilir.

• 👉 Birinci Durum: Mutlak değerin içindeki ifade pozitif değere eşittir.

\[ 2x - 5 = 7 \]

• Her iki tarafa 5 ekleyelim:

\[ 2x = 7 + 5 \]

\[ 2x = 12 \]

• Her iki tarafı 2'ye bölelim:

\[ x = \frac{12}{2} \]

\[ x = 6 \]

• 👉 İkinci Durum: Mutlak değerin içindeki ifade negatif değere eşittir.

\[ 2x - 5 = -7 \]

• Her iki tarafa 5 ekleyelim:

\[ 2x = -7 + 5 \]

\[ 2x = -2 \]

• Her iki tarafı 2'ye bölelim:

\[ x = \frac{-2}{2} \]

\[ x = -1 \]

• ✅ Denklemin çözüm kümesi, bulunan bu iki değerden oluşur.

Çözüm Kümesi \( = \{ -1, 6 \} \)

İfadeyi adım adım değerlendirelim:

• 👉 Öncelikle her bir üslü ifadenin değerini hesaplayalım:
• \( 3^2 \) demek, 3'ü kendisiyle 2 kez çarpmak demektir: \( 3 \times 3 = 9 \)
• \( 2^3 \) demek, 2'yi kendisiyle 3 kez çarpmak demektir: \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
• \( 5^1 \) demek, 5'in kendisi demektir: \( 5 \)
• 👉 Şimdi bu değerleri orijinal ifadeye yerleştirelim ve toplama-çıkarma işlemlerini yapalım:

\[ 9 + 8 - 5 \]

• Soldan sağa doğru işlem önceliğine dikkat ederek hesaplayalım:

\[ 17 - 5 \]

\[ 12 \]

• ✅ İfadenin değeri 12'dir.

Köklü ifadeleri toplayıp çıkarabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Bu yüzden her bir köklü ifadeyi en sade haline getirelim:

• 👉 \( \sqrt{72} \) ifadesini sadeleştirelim:
• 72'nin en büyük tam kare çarpanı 36'dır ( \( 36 \times 2 = 72 \) ).

\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]

• 👉 \( \sqrt{18} \) ifadesini sadeleştirelim:
• 18'in en büyük tam kare çarpanı 9'dur ( \( 9 \times 2 = 18 \) ).

\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]

• 👉 \( \sqrt{8} \) ifadesini sadeleştirelim:
• 8'in en büyük tam kare çarpanı 4'tür ( \( 4 \times 2 = 8 \) ).

\[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]

• 👉 Şimdi sadeleşmiş ifadeleri yerine yazarak işlemi tamamlayalım:

\[ 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \]

Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:

\[ (6 + 3 - 2)\sqrt{2} \]

\[ (9 - 2)\sqrt{2} \]

\[ 7\sqrt{2} \]

• ✅ İfadenin en sade biçimi \( 7\sqrt{2} \)'dir.

Bu problemi çözmek için bilinmeyenlere değişken atayarak bir denklem kuralım:

• 👉 Satılan poğaça sayısına \( x \) diyelim.
• 👉 Soruda verilen bilgiye göre, satılan simitlerin sayısı poğaçaların sayısının 3 katıdır. O halde, satılan simit sayısı \( 3x \) olur.
• 👉 Toplam satılan simit ve poğaça sayısı 120 olarak verilmiştir. Bu durumda bir denklem oluşturabiliriz:

\[ x + 3x = 120 \]

• Denklemi çözelim:

\[ 4x = 120 \]

• Her iki tarafı 4'e bölelim:

\[ x = \frac{120}{4} \]

\[ x = 30 \]

• Bu durumda, poğaça sayısı 30'dur.
• 👉 Bize kaç adet simit satıldığı soruluyor. Simit sayısı \( 3x \) idi:

Simit sayısı \( = 3 \times 30 = 90 \)

• ✅ Pastanede o gün 90 adet simit satılmıştır.

Hız, zaman ve yol arasındaki temel ilişkiyi hatırlayalım: Yol = Hız \( \times \) Zaman.

• 👉 Soruda verilen değerleri bu formüle yerleştirelim:
• Yol = \( (2x + 100) \) km
• Hız = \( (3x - 10) \) km/saat
• Zaman = 4 saat
• Denklemi kuralım:

\[ (2x + 100) = (3x - 10) \times 4 \]

• Denklemi çözmek için dağılma özelliğini uygulayalım:

\[ 2x + 100 = 12x - 40 \]

• \( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
• \( 2x \) terimini sağa atalım:

\[ 100 = 12x - 2x - 40 \]

\[ 100 = 10x - 40 \]

• \( -40 \) terimini sola atalım:

\[ 100 + 40 = 10x \]

\[ 140 = 10x \]

• Her iki tarafı 10'a bölelim:

\[ x = \frac{140}{10} \]

\[ x = 14 \]

• 👉 Bize trenin hızı soruluyor. Trenin hızı \( (3x - 10) \) km/saat idi. \( x = 14 \) değerini yerine koyalım:

Hız \( = 3 \times 14 - 10 \)

Hız \( = 42 - 10 \)

Hız \( = 32 \) km/saat

• ✅ Trenin hızı saatte 32 km'dir.

Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir. Bu kuralı kullanarak bir denklem oluşturalım:

• 👉 Verilen açı ölçülerini toplayalım ve \( 180^\circ \)ye eşitleyelim:

\[ A + B + C = 180^\circ \]

\[ 70^\circ + (2x + 10)^\circ + (3x - 30)^\circ = 180^\circ \]

• Denklemi düzenleyelim:

\[ 70 + 2x + 10 + 3x - 30 = 180 \]

• \( x \)'li terimleri kendi arasında, sabit terimleri kendi arasında toplayalım:

\[ (2x + 3x) + (70 + 10 - 30) = 180 \]

\[ 5x + (80 - 30) = 180 \]

\[ 5x + 50 = 180 \]

• Sabit terimi denklemin diğer tarafına atalım:

\[ 5x = 180 - 50 \]

\[ 5x = 130 \]

• Her iki tarafı 5'e bölelim:

\[ x = \frac{130}{5} \]

\[ x = 26 \]

• 👉 Bize C açısının ölçüsü soruluyor. C açısı \( (3x - 30)^\circ \) idi. \( x = 26 \) değerini yerine koyalım:

C açısı \( = (3 \times 26 - 30)^\circ \)

C açısı \( = (78 - 30)^\circ \)

C açısı \( = 48^\circ \)

• ✅ C açısının ölçüsü \( 48^\circ \)'dir.

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir.

• 👉 Verilen kenar uzunlukları a = 5 cm ve b = 8 cm'dir. c kenarı için üçgen eşitsizliğini yazalım:

\[ |a - b| < c < a + b \]

\[ |5 - 8| < c < 5 + 8 \]

• Mutlak değer ve toplama işlemlerini yapalım:

\[ |-3| < c < 13 \]

\[ 3 < c < 13 \]

• 👉 Bu eşitsizliğe göre, c kenarı 3'ten büyük ve 13'ten küçük tam sayı değerleri alabilir.

c'nin alabileceği tam sayı değerleri: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

• 👉 Bu tam sayı değerlerinin toplamını bulalım:

Toplam \( = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 \)

Toplam \( = 82 \)

• ✅ c kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 82'dir.

Pisagor Bağıntısı, dik açılı üçgenlerde dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.

• 👉 Dik kenarların uzunlukları a = 6 cm ve b = 8 cm olsun. Hipotenüs uzunluğu c olsun. Pisagor Bağıntısı'nı uygulayalım:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

\[ 6^2 + 8^2 = c^2 \]

• Kareleri hesaplayalım:

\[ 36 + 64 = c^2 \]

• Toplama işlemini yapalım:

\[ 100 = c^2 \]

• Her iki tarafın karekökünü alarak c değerini bulalım:

\[ c = \sqrt{100} \]

\[ c = 10 \]

• ✅ Üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir.