📄 9. Sınıf Fizik: Tales Teoremi Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Tales Teoremi'ne göre, paralel doğrular farklı iki kesen üzerinde orantılı doğru parçaları ayırır. Bu durumda, d1 || d2 || d3 olduğundan ve d4 ile d5 kesen doğruları olduğundan, aşağıdaki orantı geçerlidir:



\( \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|} \)



Verilen değerleri yerine koyalım:



\( \frac{5}{10} = \frac{7}{|EF|} \)



Bu denklemi |EF| için çözersek:



\( \frac{1}{2} = \frac{7}{|EF|} \)



İçler dışlar çarpımı yaparak:



\( |EF| \times 1 = 7 \times 2 \)



\( |EF| = 14 \) birim



Sonuç olarak, |EF| uzunluğu 14 birimdir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu problemde, mühendisin boyu ve gölgesi ile binanın gölgesi ve yüksekliği arasında benzerlikten yola çıkarak Tales teoremini uygulayabiliriz. Güneş ışınlarının paralel olduğunu varsayarsak, mühendisin boyu ile gölgesi arasındaki oran, binanın yüksekliği ile gölgesi arasındaki orana eşit olacaktır.



Şu şekilde bir oran kurabiliriz:



\( \frac{Mühendisin Boyu}{Mühendisin Gölgesi} = \frac{Binanın Yüksekliği}{Binanın Gölgesi} \)



Verilen değerleri yerine koyalım:



\( \frac{1.8 \text{ m}}{2.4 \text{ m}} = \frac{Binanın Yüksekliği}{12 \text{ m}} \)



Şimdi binanın yüksekliğini bulmak için denklemi çözelim:



\( Binanın Yüksekliği = \frac{1.8 \times 12}{2.4} \)



Önce kesirleri sadeleştirelim:



\( \frac{1.8}{2.4} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \)



Şimdi hesaplamayı yapalım:



\( Binanın Yüksekliği = \frac{3}{4} \times 12 \)



\( Binanın Yüksekliği = 3 \times \frac{12}{4} \)



\( Binanın Yüksekliği = 3 \times 3 \)



\( Binanın Yüksekliği = 9 \text{ m} \)



Sonuç olarak, binanın gerçek yüksekliği 9 metredir.

💡 Çözüm Adımları:

Tales teoremi, aslında benzer üçgenlerin bir özel durumu olarak görülebilir. Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı orantılı olarak böler. Bu durum, oluşan küçük üçgenin ana üçgenle benzer olmasını sağlar.



Çoktan Seçmeli Soru Örneği:



Soru: Bir ABC üçgeninde, DE doğrusu BC kenarına paraleldir (D, AB üzerinde, E, AC üzerindedir). Bu durum, aşağıdaki benzerlik ifadelerinden hangisini doğrular?



A) \( \triangle ABC \sim \triangle DEC \)

B) \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)

C) \( \triangle ADE \sim \triangle BCE \)

D) \( \triangle ADC \sim \triangle AEB \)

E) \( \triangle ABC \sim \triangle AED \)



Doğru Cevap: B



Açıklama: DE doğrusu BC'ye paralel olduğunda, \( \angle ADE = \angle ABC \) ve \( \angle AED = \angle ACB \) olur (yöndeş açılar). Ayrıca \( \angle DAE = \angle BAC \) ortak açıdır. Bu nedenle, AAA benzerlik kuralına göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur. Tales teoremi de bu benzerlikten faydalanarak kenar uzunluklarının oranlı olduğunu söyler: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \).



Klasik Soru Örneği:



Soru: Bir ABC üçgeninde, |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |AE| = 3 cm'dir. DE doğrusu BC kenarına paralel olduğuna göre, |EC| uzunluğunu bulunuz. Tales teoremini ve benzer üçgenler ilişkisini kullanarak çözünüz.



Çözüm:

DE || BC olduğundan, Tales Teoremi gereği:



\( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \)



Verilen değerleri yerine koyalım:



\( \frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|} \)



Sadeleştirme yaparsak:



\( \frac{2}{3} = \frac{3}{|EC|} \)



İçler dışlar çarpımı yaparsak:



\( 2 \times |EC| = 3 \times 3 \)



\( 2 \times |EC| = 9 \)



\( |EC| = \frac{9}{2} \)



\( |EC| = 4.5 \) cm



Bu problemde, DE'nin BC'ye paralel olması, \( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) üçgenlerinin benzer olmasını sağlar. Benzerlik oranından da \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \) ilişkisi elde edilir. |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 cm ve |AC| = |AE| + |EC| = 3 + |EC|'dir. Bu oranları kullanarak da aynı sonuca ulaşılabilir:



\( \frac{4}{10} = \frac{3}{3 + |EC|} \)



\( 4(3 + |EC|) = 10 \times 3 \)



\( 12 + 4|EC| = 30 \)



\( 4|EC| = 18 \)



\( |EC| = \frac{18}{4} = 4.5 \) cm.