🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Kenarortay Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Kenarortay Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni verilmiştir.
Kenarortayın ne anlama geldiğini açıklayarak, bu üçgende BC kenarına ait kenarortayın nasıl çizileceğini metinsel olarak betimleyiniz. 📐
Kenarortayın ne anlama geldiğini açıklayarak, bu üçgende BC kenarına ait kenarortayın nasıl çizileceğini metinsel olarak betimleyiniz. 📐
Çözüm:
Bir üçgende, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Kenarortay, geçtiği kenarı iki eşit parçaya ayırır.
ABC üçgeninde BC kenarına ait kenarortayı çizmek için şu adımları izleriz:
ABC üçgeninde BC kenarına ait kenarortayı çizmek için şu adımları izleriz:
- 📌 İlk olarak, BC kenarının orta noktasını buluruz. Bunu yapmak için BC kenarının uzunluğunu ölçer ve tam ortasını işaretleriz. Bu noktaya örneğin D diyelim.
- 👉 Daha sonra, üçgenin A köşesinden bulduğumuz D noktasına bir doğru parçası çizeriz.
- ✅ İşte bu AD doğru parçası, ABC üçgeninin BC kenarına ait kenarortayıdır.
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninde, K köşesinden çıkan ve LM kenarının orta noktasına ulaşan doğru parçası verilmiştir. Bu doğru parçasına ne ad verilir? 🤔
Çözüm:
- 💡 Soruda verilen bilgiye göre, K köşesinden çıkan doğru parçası LM kenarının orta noktasına gitmektedir.
- 📌 Bir üçgende, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.
- ✅ Bu durumda, K köşesinden çıkan ve LM kenarının orta noktasına ulaşan bu doğru parçasına LM kenarına ait kenarortay denir.
Örnek 3:
Bir DEF üçgeninde, DE kenarına ait kenarortay F köşesinden çıkıp DE kenarını G noktasında kesmektedir. Eğer DG uzunluğu \( 5 \) cm ise, GE uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- 📌 Kenarortayın tanımına göre, kenarortay bir kenarı iki eşit parçaya ayırır.
- 👉 F köşesinden çıkan kenarortay, DE kenarını G noktasında kesiyorsa, G noktası DE kenarının orta noktasıdır.
- 💡 Orta nokta, kenarı iki eşit uzunlukta parçaya böldüğü için DG uzunluğu ile GE uzunluğu birbirine eşittir.
- ✅ Soruda DG uzunluğu \( 5 \) cm olarak verildiğine göre, GE uzunluğu da \( 5 \) cm'dir. Yani, \( \text{DG} = \text{GE} = 5 \) cm.
Örnek 4:
Bir PRS üçgeninde, PR kenarına ait kenarortay S köşesinden çıkıp PR kenarını T noktasında kesmektedir. Eğer PT uzunluğu \( (2x - 3) \) cm ve TR uzunluğu \( (x + 2) \) cm ise, x değeri kaçtır? 🔢
Çözüm:
- 📌 Kenarortayın tanımına göre, S köşesinden çıkan kenarortay PR kenarını T noktasında kesiyorsa, T noktası PR kenarının orta noktasıdır.
- 💡 Orta nokta, kenarı iki eşit uzunlukta parçaya böldüğü için PT uzunluğu ile TR uzunluğu birbirine eşittir.
- 👉 Bu durumda, şu denklemi kurabiliriz:
\[ 2x - 3 = x + 2 \] - Denklemi çözmek için x'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplarız:
\[ 2x - x = 2 + 3 \] \[ x = 5 \] - ✅ Yani, x değeri \( 5 \)tir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir. AB kenarı AC kenarına eşittir. BC kenarına ait kenarortay A köşesinden çıkıp BC kenarını D noktasında kesmektedir.
Eğer AB uzunluğu \( 10 \) cm ve BD uzunluğu \( 6 \) cm ise, AD kenarortayının uzunluğu kaç cm'dir? (Pisagor bağıntısını kullanınız.) 📐
Eğer AB uzunluğu \( 10 \) cm ve BD uzunluğu \( 6 \) cm ise, AD kenarortayının uzunluğu kaç cm'dir? (Pisagor bağıntısını kullanınız.) 📐
Çözüm:
- 📌 İkizkenar bir üçgende (AB = AC), tabana (BC) ait kenarortay (AD) aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır.
- 💡 Bu durumda, AD doğru parçası BC kenarına diktir, yani \( \angle ADB = 90^\circ \).
- 👉 Böylece, ABD üçgeni bir dik üçgen olur. Hipotenüsü AB, dik kenarları AD ve BD'dir.
- Pisagor bağıntısını uygulayabiliriz: \( (\text{Dik Kenar})^2 + (\text{Dik Kenar})^2 = (\text{Hipotenüs})^2 \)
\[ \text{AD}^2 + \text{BD}^2 = \text{AB}^2 \] - Verilen değerleri yerine yazalım:
\[ \text{AD}^2 + 6^2 = 10^2 \] \[ \text{AD}^2 + 36 = 100 \] \[ \text{AD}^2 = 100 - 36 \] \[ \text{AD}^2 = 64 \] - AD uzunluğunu bulmak için karekök alırız:
\[ \text{AD} = \sqrt{64} \] \[ \text{AD} = 8 \] - ✅ AD kenarortayının uzunluğu \( 8 \) cm'dir.
Örnek 6:
Bir mobilya tasarımcısı, üçgen şeklinde bir masa tablası tasarlamaktadır. Bu masa tablasının düzgün bir şekilde dengede durabilmesi için tek bir ayakla desteklenmesi gerekmektedir. Tasarımcı, masanın köşelerinden çıkan kenarortayların kesim noktasını destek noktası olarak belirlemiştir.
Eğer masanın A köşesinden çıkan kenarortayın uzunluğu \( 120 \) cm ise, bu kenarortay masanın dengesi için hangi özelliği sağlar? (Sadece 8. sınıf seviyesindeki bilgileri kullanarak açıklayınız.) ⚖️
Eğer masanın A köşesinden çıkan kenarortayın uzunluğu \( 120 \) cm ise, bu kenarortay masanın dengesi için hangi özelliği sağlar? (Sadece 8. sınıf seviyesindeki bilgileri kullanarak açıklayınız.) ⚖️
Çözüm:
- 📌 Bir üçgenin kenarortayları, üçgenin dengede durması için önemli bir rol oynar.
- 💡 Her ne kadar "ağırlık merkezi" kavramı üst sınıflara ait olsa da, 8. sınıf seviyesinde kenarortayların kesim noktasının üçgenin "denge noktası" olduğu sezgisel olarak açıklanabilir.
- 👉 Kenarortayın, üçgenin alanını iki eşit parçaya böldüğünü biliyoruz. Bu, üçgenin bir nevi "ortadan" bölünmesi anlamına gelir.
- ✅ Masanın A köşesinden çıkan kenarortay, masanın karşı kenarını (BC kenarını) iki eşit parçaya ayırarak, masanın o kenar boyunca simetrik bir dengeye sahip olmasına yardımcı olur. Tüm kenarortayların kesiştiği nokta, masanın genel olarak dengede kalmasını sağlayacak ideal destek noktasıdır. Bu nokta, masanın ağırlığının eşit dağıldığı bir merkez görevi görür ve masanın devrilmeden sabit kalmasını sağlar.
Örnek 7:
Bir çiftçi, üçgen şeklinde bir tarlasını iki farklı ürün ekmek için tam ortadan iki eşit alana bölmek istemektedir. Tarlanın köşeleri A, B ve C olarak işaretlenmiştir. Çiftçi, AB kenarına ait kenarortay boyunca bir sınır çekerse, tarlayı istediği gibi iki eşit alana bölmüş olur mu? Neden? 🚜
Çözüm:
- 📌 Evet, çiftçi AB kenarına ait kenarortay boyunca bir sınır çekerse, tarlayı istediği gibi iki eşit alana bölmüş olur.
- 💡 Bir üçgende herhangi bir kenarortay, üçgeni alanları birbirine eşit olan iki küçük üçgene ayırır.
- 👉 Bu durumda, C köşesinden çıkan ve AB kenarının orta noktasına giden kenarortay, ABC üçgenini ikiye böler. Bu iki küçük üçgenin (örneğin CD doğru parçası kenarortay ise ADC ve BDC üçgenleri) tabanları eşit uzunlukta (AD = DB) ve yükseklikleri aynıdır (C köşesinden AB kenarına inen yükseklik).
- ✅ Bu nedenle, kenarortay boyunca çekilen sınır, tarlayı tam olarak iki eşit alana ayıracaktır. Çiftçi bu sayede tarlasının her iki yarısına da eşit miktarda ürün ekebilir.
Örnek 8:
Bir eşkenar ABC üçgeninde, BC kenarına ait kenarortayın uzunluğu \( 6\sqrt{3} \) cm'dir. Bu üçgenin bir kenar uzunluğu kaç cm'dir? 🌳 (Eşkenar üçgende kenarortayın aynı zamanda yükseklik olduğunu ve 30-60-90 özel üçgen ilişkisini kullanınız.)
Çözüm:
- 📌 Eşkenar üçgende, herhangi bir kenara ait kenarortay, aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır.
- 💡 Bu durumda, BC kenarına ait kenarortay, A köşesinden BC'ye inen yüksekliktir ve BC kenarını iki eşit parçaya böler. Bu noktaya D diyelim.
- 👉 Eşkenar üçgenin tüm açıları \( 60^\circ \) olduğu için, AD kenarortayı aynı zamanda A açısını ikiye böler ve \( \angle BAD = \angle CAD = 30^\circ \) olur. Ayrıca \( \angle ADB = 90^\circ \) olduğu için, ABD üçgeni bir 30-60-90 özel dik üçgenidir.
- 30-60-90 üçgeninde kenarlar arasındaki oranlar şöyledir:
- \( 30^\circ \) karşısındaki kenar \( x \) ise,
- \( 60^\circ \) karşısındaki kenar \( x\sqrt{3} \) ve
- \( 90^\circ \) karşısındaki kenar \( 2x \) olur.
- Bizim üçgenimizde:
- \( \angle DAB = 30^\circ \)
- \( \angle ABD = 60^\circ \)
- \( \angle ADB = 90^\circ \)
- Kenarortay (yükseklik) AD, \( 60^\circ \) açısının karşısındaki kenardır ve uzunluğu \( 6\sqrt{3} \) cm olarak verilmiştir.
Yani, \( x\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \). Bu durumda \( x = 6 \) cm'dir. - \( x \) değeri, \( 30^\circ \) karşısındaki BD kenarının uzunluğudur. Yani \( \text{BD} = 6 \) cm.
- Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu \( 2x \) veya AB uzunluğudur. Ayrıca BC kenarı \( 2 \times \text{BD} \) olduğu için, \( \text{BC} = 2 \times 6 = 12 \) cm'dir.
- ✅ Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu \( 12 \) cm'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-ucgenlerde-kenarortay/sorular