💡 8. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Kenar Açı Bağıntısı Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Kenar Açı Bağıntısı Çözümlü Örnekler
- 👉 Öncelikle C açısının ölçüsünü bulalım:
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan,
\[ A + B + C = 180^\circ \] \[ 70^\circ + 50^\circ + C = 180^\circ \] \[ 120^\circ + C = 180^\circ \] \[ C = 180^\circ - 120^\circ \] \[ C = 60^\circ \] - 👉 Şimdi üçgenin açılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
\( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \)
Yani, \( B < C < A \)
- 👉 Kenar-Açı bağıntısına göre, küçük açı karşısında küçük kenar, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
A açısının karşısındaki kenar a,
B açısının karşısındaki kenar b,
C açısının karşısındaki kenar c ile gösterilir.
B açısı en küçük olduğu için karşısındaki kenar b en küçüktür.
C açısı ortanca olduğu için karşısındaki kenar c ortancadır.
A açısı en büyük olduğu için karşısındaki kenar a en büyüktür.
- ✅ Sonuç olarak, kenar uzunluklarının küçükten büyüğe sıralanışı: \[ b < c < a \]
- 👉 Üçgenin açılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım:
\( 75^\circ > 60^\circ > 45^\circ \)
Yani, \( L > M > K \)
- 👉 Kenar-Açı bağıntısına göre, büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
K açısının karşısındaki kenar k,
L açısının karşısındaki kenar l,
M açısının karşısındaki kenar m ile gösterilir.
L açısı en büyük olduğu için karşısındaki kenar l en büyüktür.
M açısı ortanca olduğu için karşısındaki kenar m ortancadır.
K açısı en küçük olduğu için karşısındaki kenar k en küçüktür.
- ✅ Sonuç olarak, kenar uzunluklarının büyükten küçüğe sıralanışı: \[ l > m > k \]
- 👉 A açısının ölçüsünü bulalım:
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan,
\[ A + B + C = 180^\circ \] \[ A + 65^\circ + 45^\circ = 180^\circ \] \[ A + 110^\circ = 180^\circ \] \[ A = 180^\circ - 110^\circ \] \[ A = 70^\circ \] - 👉 Şimdi üçgenin açılarını karşılaştıralım:
Açıların ölçüleri sırasıyla \( A = 70^\circ \), \( B = 65^\circ \), \( C = 45^\circ \).
En büyük açı \( A = 70^\circ \)'dir.
- 👉 Kenar-Açı bağıntısına göre, en büyük açı karşısında en uzun kenar bulunur.
A açısının karşısındaki kenar BC kenarıdır.
B açısının karşısındaki kenar AC kenarıdır.
C açısının karşısındaki kenar AB kenarıdır.
- ✅ En büyük açı A olduğu için, bu açının karşısındaki BC kenarı üçgenin en uzun kenarıdır.
- 👉 ABC Üçgeni için:
- \( \angle B \) açısını bulalım: \[ \angle B = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]
- Açıları sıralayalım: \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \). Yani \( \angle BAC < \angle BCA < \angle B \).
- Karşılarındaki kenarları sıralayalım: \( BC < AB < AC \).
- 👉 ADC Üçgeni için:
- \( \angle D \) açısını bulalım: \[ \angle D = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]
- Açıları sıralayalım: \( 40^\circ < 70^\circ = 70^\circ \). Yani \( \angle ACD < \angle DAC = \angle D \).
- Karşılarındaki kenarları sıralayalım: \( AD < CD = AC \). (Burada CD = AC çünkü karşılarındaki açılar eşit.)
- 👉 Şimdi iki üçgendeki kenar sıralamalarını birleştirelim:
- ABC üçgeninden en kısa kenar BC.
- ADC üçgeninden en kısa kenar AD.
- Ortak kenar AC her iki üçgenin de sıralamasında yer alıyor.
ABC üçgeninde \( BC < AB < AC \).
ADC üçgeninde \( AD < CD = AC \).
- AC'nin her iki üçgende de en uzun kenar olmadığını görüyoruz (ABC'de en uzun değil, ADC'de CD ile eşit ve en uzun değil).
- En kısa kenarı bulmak için BC ve AD'yi karşılaştırmalıyız.
ABC üçgeninde en küçük açı \( \angle BAC = 50^\circ \) ve karşısında BC var.
ADC üçgeninde en küçük açı \( \angle ACD = 40^\circ \) ve karşısında AD var.
Genel olarak, en küçük açının karşısındaki kenar en kısa olacaktır.
Tüm açılar arasında en küçük açı \( 40^\circ \) (\( \angle ACD \))'dir.
- ✅ Bu durumda, en küçük açının karşısındaki AD kenarı dörtgenin en kısa kenarıdır.
- 👉 Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] \[ 2x + (x + 20^\circ) + (3x - 10^\circ) = 180^\circ \] \[ 6x + 10^\circ = 180^\circ \] \[ 6x = 170^\circ \] \[ x = \frac{170^\circ}{6} \] \[ x = \frac{85^\circ}{3} \approx 28.33^\circ \]
- 👉 Şimdi her bir açının ölçüsünü hesaplayalım:
- \( \angle A = 2x = 2 \times \frac{85^\circ}{3} = \frac{170^\circ}{3} \approx 56.67^\circ \)
- \( \angle B = x + 20^\circ = \frac{85^\circ}{3} + 20^\circ = \frac{85^\circ}{3} + \frac{60^\circ}{3} = \frac{145^\circ}{3} \approx 48.33^\circ \)
- \( \angle C = 3x - 10^\circ = 3 \times \frac{85^\circ}{3} - 10^\circ = 85^\circ - 10^\circ = 75^\circ \)
- 👉 Açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
\( \frac{145^\circ}{3} < \frac{170^\circ}{3} < 75^\circ \)
Yani, \( \angle B < \angle A < \angle C \)
- 👉 Kenar-Açı bağıntısına göre, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
B açısının karşısındaki kenar b,
A açısının karşısındaki kenar a,
C açısının karşısındaki kenar c ile gösterilir.
- ✅ Sonuç olarak, kenar uzunluklarının küçükten büyüğe sıralanışı: \[ b < a < c \]
- 👉 Üçgen Eşitsizliği Kuralı:
Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
AC kenarının uzunluğu x olsun. AB = 120 km, BC = 150 km.
\[ |150 - 120| < x < 150 + 120 \] \[ 30 < x < 270 \] - 👉 Kenar-Açı Bağıntısı ve Verilen Bilgi:
Verilen bilgi \( \angle C < 60^\circ \).
Eğer \( \angle C = 60^\circ \) olsaydı, karşısındaki AB kenarı ile BC kenarının karşısındaki A açısı ve AC kenarının karşısındaki B açısı arasında belirli bir ilişki olurdu. Ancak bu bilgi doğrudan bir kenar uzunluğu eşitsizliği vermez. 8. sınıf seviyesinde, açının 90 dereceden büyük veya küçük olması durumunda kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi Pythagorean eşitsizlikleri ile kurarız ki bu 9. sınıf konusudur. Bu nedenle, soruyu 8. sınıf müfredatına uygun hale getirmek için açının en büyük veya en küçük olup olmadığına odaklanmalıyız.
Soruyu yeniden yorumlayalım: Eğer \( \angle C \) en büyük açı olsaydı, o zaman AB kenarı en uzun kenar olurdu. Ama \( \angle C < 60^\circ \) demek, \( \angle C \) kesinlikle en büyük açı değildir (çünkü diğer açılar \( \angle A + \angle B > 120^\circ \) olabilir ve dolayısıyla \( \angle A \) veya \( \angle B \) \( 60^\circ \)'den büyük olabilir). Bu bilgiyle direkt bir üst sınır belirlemek zor.
LGS müfredatına uygun olarak: Eğer bir açının karşısındaki kenar uzunluğu ile diğer kenarlar arasında bir ilişki kurulacaksa, bu genellikle açının 90 dereceden büyük veya küçük olması durumunda (dik üçgen eşitsizlikleri) ya da açının diğer açılardan büyük/küçük olması durumunda yapılır. Verilen \( \angle C < 60^\circ \) bilgisi, AC kenarının uzunluğu için doğrudan bir üst veya alt sınır belirlemez, sadece diğer açılar hakkında bir çıkarım yapmamızı sağlar. Ancak bu tür bir soruda, genellikle açının "en büyük" veya "en küçük" olduğu bilgisi verilir.
Bu sorunun 8. sınıf müfredatına uygun hale gelmesi için, "C açısı üçgenin en küçük açısıdır" veya "C açısı üçgenin en büyük açısıdır" gibi bir ifade olmalıydı. Verilen \( \angle C < 60^\circ \) ifadesi, AC kenarı için kesin bir üst sınır vermez. Eğer AC'nin tam sayı değerleri isteniyorsa, bu genellikle bir kenarın diğerlerinden büyük/küçük olma durumuna bağlıdır.
Düzeltilmiş Yaklaşım (8. Sınıf müfredatına uygun olarak): Eğer \( \angle C < 60^\circ \) ise, bu durum AC kenarının uzunluğu için doğrudan bir üst veya alt sınır belirlemez. Bu tür sorular genellikle, "en büyük açı \( \angle B \)'dir" gibi ifadelerle gelir. Eğer böyle bir bilgi yoksa, sadece üçgen eşitsizliği kuralını kullanabiliriz.
Ancak, yeni nesil sorularda bu tip bir ifade ile karşılaşabilirsiniz ve mantık yürütmeniz beklenir: Eğer \( \angle C = 60^\circ \) olsaydı, bu bir eşkenar üçgen olmazdı ama yine de kenarlar arasında bir ilişki kurulabilirdi. Eğer \( \angle C \) açısı küçüldükçe, karşısındaki AB kenarı da küçülür. Ancak bu, AC kenarının direkt olarak ne olacağı hakkında bilgi vermez.
Soruyu Kenar Açı Bağıntısına uygun hale getirmek için: Eğer \( \angle C \) < \( \angle A \) ve \( \angle C \) < \( \angle B \) gibi bir bilgi verilseydi, o zaman AB kenarı AC ve BC'den kısa olurdu. Ancak burada sadece \( \angle C < 60^\circ \) denmiş.
En güvenli 8. Sınıf cevabı: Sadece üçgen eşitsizliğini kullanırız, çünkü \( \angle C < 60^\circ \) bilgisi 8. sınıf müfredatında AC kenarı için kesin bir üst veya alt sınır belirlemede yeterli değildir (kosinüs teoremi gerektirir). Ancak, "Yeni Nesil" sorularda bazen bu tür ifadelerle dolaylı yoldan çıkarım yapılması beklenir. Örneğin, "eğer \( \angle C \) en küçük açı olsaydı" gibi.
Bu haliyle sorunun çözümü sadece üçgen eşitsizliğine dayanır. Eğer \( \angle C \) açısının büyüklüğüne bağlı olarak bir kenar uzunluğu aralığı isteniyorsa, bu 8. sınıf müfredatını aşar. Bu nedenle, sadece üçgen eşitsizliği aralığını vereceğiz.
- ✅ AC kenarının alabileceği tam sayı değerleri:
Üçgen eşitsizliğine göre \( 30 < x < 270 \) aralığındaki tam sayılardır.
AC kenarının alabileceği tam sayı değerleri \( 31, 32, ..., 269 \) şeklindedir.
Not: \( \angle C < 60^\circ \) bilgisi, 8. sınıf müfredatında AC kenarının aralığını daraltmak için yeterli bir bilgi değildir. Eğer bu bilgiyle bir aralık daraltması isteniyorsa, bu 9. sınıf ve üstü matematik konularına girer (kosinüs teoremi gibi). Bu nedenle, sadece üçgen eşitsizliğini kullanarak aralığı belirttik.
- 👉 Öncelikle A açısının ölçüsünü bulalım:
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan,
\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] \[ \angle A + 80^\circ + 40^\circ = 180^\circ \] \[ \angle A + 120^\circ = 180^\circ \] \[ \angle A = 60^\circ \] - 👉 Şimdi üçgenin açılarını ve karşılarındaki kenarları sıralayalım:
Açılar: \( \angle C = 40^\circ \), \( \angle A = 60^\circ \), \( \angle B = 80^\circ \).
Kenarlar (küçükten büyüğe): c (AB) < a (BC) < b (AC).
Yani, AB < BC < AC.
- 👉 Kameranın görüş açısı, kameranın bulunduğu köşedeki açıdır. Bu durumda kamera A köşesinde olduğu için, A açısı \( 60^\circ \) olarak BC duvarını görmektedir. Ancak soruda "kameranın görüş açısı (BC duvarına olan açısı) en küçük veya en büyük olan duvar hangisidir?" deniyor. Bu ifade, kameranın diğer duvarları (AB ve AC) hangi açılarla gördüğünü değil, kameranın bulunduğu A noktasından bakıldığında diğer duvarların kamera açısı içindeki konumuyla ilgilidir. Daha doğru bir ifadeyle, "kameranın karşısındaki duvarın uzunluğu ile bu duvarı gören açının büyüklüğü arasındaki ilişki" kastedilmektedir.
- 👉 Kenar-Açı bağıntısı der ki: Büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
Bu durumda:
- A açısı \( (60^\circ) \) karşısında BC kenarı bulunur.
- B açısı \( (80^\circ) \) karşısında AC kenarı bulunur.
- C açısı \( (40^\circ) \) karşısında AB kenarı bulunur.
Kamera A noktasında durduğu için, AB ve AC duvarları kameranın görüş alanını oluşturan kenarlardır. Kamera, karşısındaki BC duvarını A açısıyla görür. Kameranın "görüş açısı" ifadesi, genellikle kameranın bulunduğu köşedeki açıyı ifade eder. Bu durumda A açısıdır.
Sorunun "kameranın görüş açısı (BC duvarına olan açısı) en küçük veya en büyük olan duvar hangisidir?" kısmı biraz yanıltıcı olabilir. Bu ifadeyi, kameranın bulunduğu A noktasından diğer kenarları hangi açıyla gördüğü olarak değil, her bir kenarın karşısındaki açı olarak yorumlamalıyız.
Yani, BC kenarı A açısı ile, AC kenarı B açısı ile, AB kenarı C açısı ile ilişkilidir.
En uzun kenar AC'dir. Bu kenarın karşısındaki açı \( \angle B = 80^\circ \)'dir.
En kısa kenar AB'dir. Bu kenarın karşısındaki açı \( \angle C = 40^\circ \)'dir.
- ✅ Bu durumda, kameranın bulunduğu A köşesinden bakıldığında:
- En uzun duvar AC'dir ve bu duvarı gören açı \( \angle B = 80^\circ \) ile ilişkilidir.
- En kısa duvar AB'dir ve bu duvarı gören açı \( \angle C = 40^\circ \) ile ilişkilidir.
Kenar-Açı bağıntısına göre, en uzun duvar (AC) en büyük açının (B açısı) karşısında bulunur. En kısa duvar (AB) ise en küçük açının (C açısı) karşısında bulunur. Kamera, hangi duvarın hangi açıyla görüldüğünü değil, üçgenin içindeki kenar-açı ilişkisini belirler.
Dolayısıyla, kamera en uzun duvarı (AC) en büyük açı olan \( 80^\circ \) ile (B açısı) görür. En kısa duvarı (AB) ise en küçük açı olan \( 40^\circ \) ile (C açısı) görür. Bu, "büyük açı karşısında büyük kenar bulunur" ilkesinin bir uygulamasıdır. Kamera, en uzun duvarı gören açının en büyük olduğunu gösterir.
- 👉 Üçgen Eşitsizliği Kuralı:
AB kenarının uzunluğu x olsun. BC = 100 m, AC = 80 m.
\[ |100 - 80| < x < 100 + 80 \] \[ 20 < x < 180 \] - 👉 Kenar-Açı Bağıntısı Kuralı:
Soruda B açısının en büyük açı olduğu belirtilmiştir. Kenar-Açı bağıntısına göre, en büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur.
B açısının karşısındaki kenar AC kenarıdır. AC = 80 metredir.
Eğer B açısı en büyük açı ise, o zaman AC kenarı üçgenin en uzun kenarı olmalıdır.
Bu durumda, diğer kenarlar olan AB (x) ve BC (100) kenarları AC'den daha kısa olmalıdır.
Yani, \( x < AC \) ve \( 100 < AC \) olmalıdır.
Ancak, verilen bilgiye göre \( \angle B \) en büyük açı ise, o zaman \( AC \) kenarı en uzun kenar olmalıdır. Bu durumda \( x < AC \) ve \( BC < AC \) olmalıdır.
Yani, \( x < 80 \) ve \( 100 < 80 \). Bu bir çelişkidir! \( 100 \) metrelik BC kenarı, \( 80 \) metrelik AC kenarından daha uzundur. Bu durum, \( \angle B \)'nin en büyük açı olduğu bilgisiyle çelişir.
Düzeltme: Eğer \( \angle B \) en büyük açı ise, karşısındaki kenar olan AC en uzun kenar olmalıdır. Ancak \( BC = 100 \) ve \( AC = 80 \) olduğundan, \( BC > AC \)'dir. Bu durum, \( \angle B \) en büyük açı olamaz demektir, çünkü \( \angle B \)'nin karşısındaki AC kenarı, \( \angle A \)'nın karşısındaki BC kenarından daha kısadır. Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur kuralına göre, \( \angle A \) açısı \( \angle B \) açısından daha büyük olmalıdır (çünkü \( BC > AC \)).
Bu durumda, soruda bir çelişki bulunmaktadır. \( \angle B \) en büyük açıysa, AC kenarı en uzun olmalıdır. Ama \( BC = 100 \) ve \( AC = 80 \), yani \( BC > AC \). Bu da \( \angle A > \angle B \) olması gerektiğini gösterir.
Soruyu 8. sınıf müfredatına uygun ve çelişkisiz hale getirelim: "Eğer A noktasındaki açı (\( \angle A \)) en büyük açı ise, A noktasından B noktasına olan yürüyüş yolunun (AB kenarı) uzunluğu tam sayı olarak en fazla kaç metre olabilir?" Bu durumda: \( \angle A \) en büyük açı ise, karşısındaki BC kenarı en uzun kenar olmalıdır. Yani, \( BC > AB \) ve \( BC > AC \).
Verilenler: \( BC = 100 \), \( AC = 80 \). \( AB = x \).
Kenar-Açı bağıntısına göre (\( \angle A \) en büyükse):
- \( BC \) en uzun kenar olmalı: \( 100 > x \) ve \( 100 > 80 \). (Bu doğru)
Şimdi hem üçgen eşitsizliğini hem de bu yeni durumu birleştirelim:
- Üçgen Eşitsizliği: \( 20 < x < 180 \)
- Kenar-Açı bağıntısı (\( \angle A \) en büyükse): \( x < 100 \)
Her iki koşulu sağlayan aralık: \( 20 < x < 100 \).
- ✅ A noktasından B noktasına olan yürüyüş yolunun (AB kenarı) alabileceği tam sayı olarak en fazla değer:
\( x < 100 \) olduğundan, AB kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri \( 99 \) metredir.
Önemli Not: Orijinal soru metnindeki "B noktasındaki açı (\( \angle B \)) en büyük açı ise" ifadesi, verilen kenar uzunlukları ile çeliştiği için (çünkü \( BC > AC \) iken \( \angle B \) en büyük olamaz, \( \angle A \) en büyük olmalıdır), soruyu 8. sınıf müfredatına uygun ve çözülebilir kılmak adına "A noktasındaki açı (\( \angle A \)) en büyük açı ise" şeklinde düzeltilmiştir. Bu tür çelişkili sorular LGS'de karşınıza çıkmaz.
- 👉 Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan: \[ \angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ \] \[ (2x + 10^\circ) + (3x - 20^\circ) + (x + 30^\circ) = 180^\circ \] \[ 6x + 20^\circ = 180^\circ \] \[ 6x = 160^\circ \] \[ x = \frac{160^\circ}{6} \] \[ x = \frac{80^\circ}{3} \approx 26.67^\circ \]
- 👉 Şimdi her bir açının ölçüsünü hesaplayalım:
- \( \angle D = 2x + 10^\circ = 2 \times \frac{80^\circ}{3} + 10^\circ = \frac{160^\circ}{3} + \frac{30^\circ}{3} = \frac{190^\circ}{3} \approx 63.33^\circ \)
- \( \angle E = 3x - 20^\circ = 3 \times \frac{80^\circ}{3} - 20^\circ = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ \)
- \( \angle F = x + 30^\circ = \frac{80^\circ}{3} + 30^\circ = \frac{80^\circ}{3} + \frac{90^\circ}{3} = \frac{170^\circ}{3} \approx 56.67^\circ \)
- 👉 Açıları büyükten küçüğe doğru sıralayalım:
\( \frac{190^\circ}{3} > 60^\circ > \frac{170^\circ}{3} \)
Yani, \( \angle D > \angle E > \angle F \)
- 👉 Kenar-Açı bağıntısına göre, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
D açısının karşısındaki kenar d,
E açısının karşısındaki kenar e,
F açısının karşısındaki kenar f ile gösterilir.
- ✅ Sonuç olarak, kenar uzunluklarının büyükten küçüğe sıralanışı: \[ d > e > f \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-ucgenlerde-kenar-aci-bagintisi/sorular