🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Üçgenler Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde A köşesinden karşı kenara çizilen yükseklik, kenarortay ve açıortay kavramlarını kısaca açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Bu kavramlar üçgenlerin temel yardımcı elemanlarıdır:
- 💡 Yükseklik: Bir köşeden karşı kenara (veya uzantısına) indirilen dik doğru parçasıdır. Yüksekliğin uzunluğu, üçgenin alanını bulmada kullanılır. Genellikle 'h' ile gösterilir.
👉 Örneğin, A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik, BC kenarına diktir. - 💡 Kenarortay: Bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Kenarı iki eşit parçaya böler. Genellikle 'V' ile gösterilir.
👉 Örneğin, A köşesinden BC kenarına çizilen kenarortay, BC kenarını iki eşit parçaya ayırır. - 💡 Açıortay: Bir köşedeki açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasıdır. Genellikle 'n' ile gösterilir.
👉 Örneğin, A köşesindeki açıyı ikiye bölen açıortay, A açısını \( \alpha \) ve \( \alpha \) olarak iki eşit açıya ayırır.
Örnek 2:
Kenar uzunlukları tam sayı olan bir üçgenin iki kenar uzunluğu 7 cm ve 12 cm'dir. Buna göre, üçüncü kenarın uzunluğu olan \(x\) kaç farklı tam sayı değeri alabilir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Üçgen Eşitsizliği kuralını kullanmalıyız:
- 📌 Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır.
- 👉 Verilen kenar uzunlukları 7 cm ve 12 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu \(x\) olsun.
- Matematiksel olarak ifade edersek:
\[ |12 - 7| < x < 12 + 7 \]
\[ 5 < x < 19 \] - Bu eşitsizliğe göre \(x\), 5'ten büyük ve 19'dan küçük tam sayı değerleri alabilir.
- Yani \(x\) değerleri: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 olabilir.
- Bu değerleri sayarsak: \(18 - 6 + 1 = 13\) farklı tam sayı değeri vardır.
Örnek 3:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu 6 cm, hipotenüsünün uzunluğu ise 10 cm'dir. Bu üçgenin diğer dik kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu bir dik üçgen problemi olduğu için Pisagor Bağıntısı'nı kullanacağız:
- 📌 Pisagor Bağıntısı: Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
- 👉 Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olmak üzere formül: \(a^2 + b^2 = c^2\).
- Soruda verilenler:
- Bir dik kenar (\(a\)) = 6 cm
- Hipotenüs (\(c\)) = 10 cm
- Diğer dik kenar (\(b\)) = ?
- Formülü uygulayalım:
\[ 6^2 + b^2 = 10^2 \]
\[ 36 + b^2 = 100 \] - \(b^2\) değerini bulmak için 36'yı karşıya atalım:
\[ b^2 = 100 - 36 \]
\[ b^2 = 64 \] - Hangi sayının karesi 64'tür? \(8^2 = 64\).
- Yani \(b = 8\) cm'dir.
Örnek 4:
Aşağıdaki eleman çiftlerinden hangisi ile biricik bir üçgen çizilemez? Nedenini açıklayınız.
A) Üç kenar uzunluğu
B) İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı
C) Bir kenar uzunluğu ve bu kenarın uç noktalarındaki iki açı
D) Üç açı ölçüsü ✍️
A) Üç kenar uzunluğu
B) İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı
C) Bir kenar uzunluğu ve bu kenarın uç noktalarındaki iki açı
D) Üç açı ölçüsü ✍️
Çözüm:
Bu soru, üçgen çizim şartlarını anlamamızı gerektirir:
- A) Üç kenar uzunluğu: Eğer üçgen eşitsizliği şartını sağlıyorsa, bu üç kenarla biricik bir üçgen çizilebilir. (Örneğin, 3, 4, 5 cm kenarlı bir üçgen).
- B) İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı: Bu elemanlarla (Kenar-Açı-Kenar kuralı) biricik bir üçgen çizilebilir.
- C) Bir kenar uzunluğu ve bu kenarın uç noktalarındaki iki açı: Üçüncü açıyı da bulabildiğimiz için (Açı-Kenar-Açı kuralı) bu elemanlarla biricik bir üçgen çizilebilir.
- D) Üç açı ölçüsü: Bu elemanlarla biricik bir üçgen çizilemez. Çünkü aynı açı ölçülerine sahip farklı büyüklüklerde (benzer) üçgenler çizilebilir. Örneğin, tüm açıları \(60^\circ\) olan bir üçgen hem küçük bir eşkenar üçgen hem de büyük bir eşkenar üçgen olabilir.
Örnek 5:
Bir inşaat işçisi, yerden 8 metre yüksekliğindeki bir pencereye ulaşmak için merdiven kullanacaktır. Merdivenin ayağı, binanın duvarından 6 metre uzaklığa yerleştirilmiştir. Buna göre, işçinin kullandığı merdivenin uzunluğu kaç metredir? 👷♂️🪜
Çözüm:
Bu senaryo, bir dik üçgen oluşturur ve Pisagor Bağıntısı ile çözülebilir:
- 📌 Duvar, yer ile dik açı (\(90^\circ\)) yapar. Bu durumda:
- Binanın yüksekliği (pencerenin yüksekliği) bir dik kenar (\(a\)) = 8 metre.
- Merdivenin duvardan uzaklığı diğer dik kenar (\(b\)) = 6 metre.
- Merdivenin uzunluğu ise hipotenüs (\(c\)) olacaktır.
- Pisagor Bağıntısı: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine yazalım:
\[ 8^2 + 6^2 = c^2 \]
\[ 64 + 36 = c^2 \]
\[ 100 = c^2 \] - \(c\) değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ c = \sqrt{100} \]
\[ c = 10 \]
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde AB kenarının uzunluğu 10 cm, AC kenarının uzunluğu 15 cm'dir. BC kenarının uzunluğu \(x\) cm olduğuna göre, \(x\) bir tam sayı olmak üzere, \(x\) 'in alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu soru, Üçgen Eşitsizliği ve tam sayı değerleri kavramlarını birleştiriyor:
- 📌 Üçgen Eşitsizliği kuralına göre: Bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.
- Verilen kenarlar 10 cm ve 15 cm'dir. Üçüncü kenar \(x\)'tir.
- Eşitsizliği yazalım:
\[ |15 - 10| < x < 15 + 10 \]
\[ 5 < x < 25 \] - Bu eşitsizliğe göre \(x\)'in alabileceği tam sayı değerleri 5'ten büyük ve 25'ten küçük olmalıdır.
- \(x\)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri: 5'ten büyük ilk tam sayı olan 6'dır.
- \(x\)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri: 25'ten küçük son tam sayı olan 24'tür.
- Soruda bizden bu en büyük ve en küçük değerlerin toplamı isteniyor.
- Toplam = \(6 + 24 = 30\).
Örnek 7:
Bir parkta, çocuklar için yapılmış bir kaydırak bulunmaktadır. Kaydırağın yerden yüksekliği 3 metre ve kaydırağın zemine oturduğu nokta ile kaydırağın başlangıç noktasının zemindeki izdüşümü arasındaki uzaklık 4 metredir. Kaydırağın uzunluğu kaç metredir? (Kaydırağın zemine dik olduğunu varsayınız.) 🏞️🎢
Çözüm:
Bu durum da bize bir dik üçgen modeli sunar ve Pisagor Bağıntısı ile çözülür:
- 📌 Burada:
- Kaydırağın yerden yüksekliği (\(h\)) bir dik kenar = 3 metre.
- Zemindeki izdüşüm uzaklığı (\(d\)) diğer dik kenar = 4 metre.
- Kaydırağın uzunluğu (\(k\)) ise hipotenüs olacaktır.
- Pisagor Bağıntısı: \(h^2 + d^2 = k^2\)
- Değerleri yerine yazalım:
\[ 3^2 + 4^2 = k^2 \]
\[ 9 + 16 = k^2 \]
\[ 25 = k^2 \] - \(k\) değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ k = \sqrt{25} \]
\[ k = 5 \]
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına ait yükseklik 8 cm'dir. BC kenarının uzunluğu ise 12 cm'dir. Bu ABC üçgeninin alanını bulunuz. 📏📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenin alan formülünü kullanmalıyız:
- 📌 Üçgenin Alan Formülü: Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
- Formül: Alan = \( \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} \)
- Soruda verilenler:
- Taban (BC kenarı) = 12 cm
- Bu tabana ait yükseklik = 8 cm
- Formülü uygulayalım:
\[ \text{Alan} = \frac{12 \times 8}{2} \]
\[ \text{Alan} = \frac{96}{2} \]
\[ \text{Alan} = 48 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-ucgenler/sorular