💡 8. Sınıf Matematik: Üçgenin Yardımcı Elemanları Çözümlü Örnekler

• 📌 Açıortay Tanımı: Bir üçgende bir köşeden çıkan ve o köşedeki açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir.
• ✅ Sorumuzda AD doğru parçası, BAC açısını iki eşit parçaya böldüğü için AD, BAC açısının açıortayıdır.
• Verilen bilgiye göre \( m(\widehat{BAD}) = 38^\circ \)dir.
• Açıortay, açıyı iki eşit parçaya böldüğünden, \( m(\widehat{CAD}) \) açısı da \( 38^\circ \) olacaktır.
• Bu durumda BAC açısının tamamı, bu iki açının toplamı kadardır: \[ m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{CAD}) \] \[ m(\widehat{BAC}) = 38^\circ + 38^\circ \] \[ m(\widehat{BAC}) = 76^\circ \]

Sonuç olarak, \( m(\widehat{BAC}) \) açısı \( 76^\circ \)dir. 💡

• 📌 Kenarortay Tanımı: Bir üçgende bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasına kenarortay denir.
• ✅ Sorumuzda MN doğru parçası KL kenarına ait kenarortay olduğundan, N noktası KL kenarının orta noktasıdır.
• Orta nokta, kenarı iki eşit uzunlukta parçaya ayırır. Yani \( KN = NL \)dir.
• Verilen bilgiye göre \( KL = 24 \) cm'dir.
• KN uzunluğunu bulmak için KL uzunluğunu ikiye bölmemiz gerekir: \[ KN = \frac{KL}{2} \] \[ KN = \frac{24}{2} \] \[ KN = 12 \text{ cm} \]

Bu nedenle, KN uzunluğu \( 12 \) cm'dir. MN doğru parçasına kenarortay denir çünkü M köşesinden karşıdaki KL kenarının tam orta noktasına (N noktasına) çizilmiştir. 📏

• 📌 Yükseklik Tanımı: Bir üçgende bir köşeden karşı kenara veya uzantısına indirilen dik doğru parçasına yükseklik denir.
• ✅ Yükseklik tanımı gereği, indirildiği kenara veya uzantısına dik olmak zorundadır.
• Bu durumda PT doğru parçası, RS kenarına indirilen yükseklik olduğu için RS kenarı ile dik açı yapar.
• Dik açı, ölçüsü \( 90^\circ \) olan açıdır.

Dolayısıyla PT doğru parçasının RS kenarı ile yaptığı açı \( 90^\circ \)dir. Bu durum bize, yüksekliğin her zaman karşı kenara veya uzantısına dik olarak indiğini gösterir. 📐

• 📌 Açıortayın Özelliği: Bir açının açıortayı üzerindeki herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.
• ✅ Sorumuzda P noktası açıortay üzerinde yer almaktadır. Bu P noktasından açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşit olacaktır.
• Verilen bilgiye göre, P noktasından kollardan birine indirilen dikmenin uzunluğu \( 10 \) cm'dir.
• Bu özellik sayesinde, diğer kola indirilen dikmenin uzunluğu da aynı olacaktır.

Yani, P noktasından diğer kola indirilen dikmenin uzunluğu da \( 10 \) cm'dir. Bu özellik, açıortay ile ilgili birçok problemde kullanılır. 💡

• 📌 Ağırlık Merkezi Özelliği: Üçgenin ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru \( 2 \) birim, kenardan köşeye doğru \( 1 \) birim olacak şekilde böler. Yani, köşeye yakın olan kısım, kenara yakın olan kısmın iki katıdır.
• ✅ AD kenarortayı üzerinde G noktası ağırlık merkezidir. Bu durumda AG uzunluğu, GD uzunluğunun iki katı olacaktır: \( AG = 2 \times GD \).
• Kenarortayın toplam uzunluğu \( AD = AG + GD \)dir.
• AG yerine \( 2 \times GD \) yazarsak: \( AD = 2 \times GD + GD = 3 \times GD \).
• Soru bize \( AD = 21 \) cm olarak verilmiştir. \[ 21 = 3 \times GD \] \[ GD = \frac{21}{3} \] \[ GD = 7 \text{ cm} \]
• Şimdi AG uzunluğunu bulabiliriz: \[ AG = 2 \times GD \] \[ AG = 2 \times 7 \] \[ AG = 14 \text{ cm} \]

Buna göre, AG uzunluğu \( 14 \) cm'dir. Bu oran, ağırlık merkezi ile ilgili problemlerin çözümünde çok önemlidir. 🚀

• 📌 Yüksekliğin Konumu: Bir üçgende yükseklik, indirildiği kenara dik olmak zorundadır.
• ✅ Dar açılı üçgenlerde tüm yükseklikler üçgenin iç bölgesinde kesişir.
• ✅ Dik açılı üçgenlerde dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir ve diklik merkezi dik açının olduğu köşededir.
• ✅ Geniş açılı üçgenlerde ise geniş açının olduğu köşeden çıkan yükseklik üçgenin içinde kalırken, diğer iki köşeden çıkan yükseklikler (geniş açıyı oluşturan kenarlara ait olanlar) üçgenin dış bölgesinde yer alır.
• Sorumuzda B açısı geniş açı olduğundan, A köşesinden BC kenarına indirilen AH yüksekliği, BC kenarının uzantısına dik olarak iner.

Dolayısıyla, H noktası BC kenarının uzantısı üzerinde, üçgenin dış bölgesinde yer alır. Bu durum, yüksekliğin tanımı gereği dik inmesi gerektiği ve geniş açının olduğu kenardan dışarı taşmak zorunda kalmasından kaynaklanır. 💡

• 📌 Açıortayın Amacı: Bir açıyı iki eşit parçaya ayırmaktır.
• ✅ Fenerin ışığı belirli bir açıyla yayılır. Bu açının tam ortasından geçen lazer ışını, ışık açısını iki eşit parçaya böler.
• Bu durum, tıpkı bir üçgendeki açıyı ikiye bölen doğru parçası gibi davranır.

Bu nedenle, lazer ışını fenerin ışık açısının açıortayını temsil eder. Açıortaylar, ışık tasarımında, ses sistemlerinin kurulumunda veya herhangi bir alanda eşit dağılım sağlamak amacıyla yaygın olarak kullanılır. 💡

• Öncelikle üçgenin üçüncü açısını, yani C açısını bulalım: \[ m(\widehat{C}) = 180^\circ - (m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC})) \] \[ m(\widehat{C}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) \] \[ m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \] \[ m(\widehat{C}) = 60^\circ \]
• AD, A köşesine ait açıortay olduğundan, BAC açısını iki eşit parçaya böler: \[ m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{BAD}) = \frac{m(\widehat{BAC})}{2} \] \[ m(\widehat{CAD}) = \frac{70^\circ}{2} \] \[ m(\widehat{CAD}) = 35^\circ \]
• AH, BC kenarına ait yükseklik olduğundan, \( \triangle AHC \) bir dik üçgendir (\( m(\widehat{AHC}) = 90^\circ \)). Bu dik üçgende C açısını ve H açısını biliyoruz, A köşesindeki kısmı bulabiliriz: \[ m(\widehat{HAC}) = 90^\circ - m(\widehat{C}) \] \[ m(\widehat{HAC}) = 90^\circ - 60^\circ \] \[ m(\widehat{HAC}) = 30^\circ \]
• Şimdi \( m(\widehat{DAH}) \) açısını bulmak için, \( m(\widehat{HAC}) \) açısından \( m(\widehat{CAD}) \) açısını çıkarırız: \[ m(\widehat{DAH}) = m(\widehat{CAD}) - m(\widehat{HAC}) \] \[ m(\widehat{DAH}) = 35^\circ - 30^\circ \] \[ m(\widehat{DAH}) = 5^\circ \]

Buna göre, \( m(\widehat{DAH}) \) açısı \( 5^\circ \)dir. Bu tür sorular, üçgenin iç açıları toplamını, açıortay ve yükseklik tanımlarını bir arada kullanmayı gerektirir. ✅