🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Üçgende Yükseklik Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Üçgende Yükseklik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden karşı kenar olan BC kenarına indirilen yüksekliği nasıl tanımlarsınız? 🤔 Bu yüksekliğin temel özelliğini açıklayın.
Çözüm:
Bir üçgende yükseklik, bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasıdır. İşte tanımı ve özelliği:
- 👉 Tanım: ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik, A noktasından BC kenarına dik olarak çizilen doğru parçasıdır.
- 📌 Gösterim: Bu yüksekliği genellikle \(h_a\) ile gösteririz, yani "a" kenarına ait yükseklik demektir.
- ✅ Temel Özellik: Yükseklik, çizildiği kenarla (veya uzantısıyla) 90 derecelik bir açı yapar. Bu da onun "dik" olmasından gelir.
Örnek 2:
Bir dik açılı KLM üçgeninde K açısı \(90^\circ\) dir. Bu üçgende K köşesinden LM kenarına indirilen yüksekliği ve L köşesinden KM kenarına indirilen yüksekliği metinsel olarak betimleyiniz. 📐
Çözüm:
Dik açılı üçgenlerde yüksekliklerin konumu özeldir. İşte bu durumun betimlemesi:
- 👉 K köşesinden LM kenarına indirilen yükseklik: K köşesinden hipotenüs olan LM kenarına çizilen dik doğru parçası, üçgenin iç bölgesinde yer alır. Bu yükseklik, üçgenin alanı hesaplanırken hipotenüsü taban kabul ettiğimizde kullanılır.
- 👉 L köşesinden KM kenarına indirilen yükseklik: L köşesinden karşı kenar olan KM kenarına indirilen yükseklik, aslında üçgenin KL kenarının kendisidir. Çünkü KL kenarı, KM kenarına zaten diktir (K açısı \(90^\circ\) olduğu için).
- 💡 İpucu: Dik açılı üçgenlerde, dik açının kenarları birbirinin yüksekliği konumundadır!
Örnek 3:
Bir geniş açılı PRS üçgeninde R açısı \(120^\circ\) dir. P köşesinden RS kenarına indirilen yükseklik üçgenin neresinde yer alır? Bu durumu açıklayınız. 🧐
Çözüm:
Geniş açılı üçgenlerde yüksekliklerin konumu, dar ve dik açılı üçgenlerden farklıdır.
- 👉 P köşesinden RS kenarına indirilen yükseklik: R açısı geniş açı olduğu için, P köşesinden RS kenarına indirilen dik doğru parçası, RS kenarının uzantısına düşer. Yani bu yükseklik, üçgenin dış bölgesinde yer alır.
- 📌 Neden dışarıda? Çünkü R açısı \(90^\circ\) den büyük olduğu için, P'den RS'ye dikme indirirken RS kenarının kendisi yeterli olmaz, kenarı uzatmamız gerekir.
- ✅ Unutmayın: Geniş açılı üçgenlerde geniş açının kenarlarına ait yükseklikler üçgenin dışında yer alır.
Örnek 4:
Taban uzunluğu 12 cm olan bir üçgenin, bu tabana ait yüksekliği 7 cm'dir. Buna göre, bu üçgenin alanı kaç santimetrekaredir? 📏
Çözüm:
Bir üçgenin alanını hesaplamak için taban ve o tabana ait yüksekliği kullanırız.
- 💡 Üçgenin Alan Formülü: Alan \( = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} \)
- 🔢 Verilenler:
Taban \( = 12\) cm
Yükseklik \( = 7\) cm - Hesaplama: \[ \text{Alan} = \frac{12 \times 7}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{84}{2} \] \[ \text{Alan} = 42 \]
- ✅ Sonuç: Bu üçgenin alanı \(42\) cm\(^2\)'dir.
Örnek 5:
Alanı 75 cm\(^2\) olan bir üçgenin bir kenar uzunluğu 15 cm'dir. Buna göre, bu kenara ait yükseklik kaç santimetredir? 🤔
Çözüm:
Üçgenin alan formülünü kullanarak bilinmeyen yüksekliği bulabiliriz.
- 💡 Üçgenin Alan Formülü: Alan \( = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} \)
- 🔢 Verilenler:
Alan \( = 75\) cm\(^2\)
Taban \( = 15\) cm
Yükseklik \( = h\) (Bilinmeyen) - Hesaplama:
\[ 75 = \frac{15 \times h}{2} \]
Denklemi çözmek için her iki tarafı 2 ile çarpalım:
\[ 75 \times 2 = 15 \times h \] \[ 150 = 15 \times h \] Şimdi h'yi bulmak için her iki tarafı 15'e bölelim:
\[ h = \frac{150}{15} \] \[ h = 10 \] - ✅ Sonuç: Bu kenara ait yükseklik \(10\) cm'dir.
Örnek 6:
Bir dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun tabanı ABCD dörtgenidir. Bu kutunun içine yerleştirilecek üçgen prizma şeklindeki bir destek parçasının bir yüzeyi bir ABC üçgenidir. Eğer bu ABC üçgeninde A noktasından BC kenarına en kısa uzaklık hedefleniyorsa, bu uzaklık hangi geometri kavramıyla ifade edilir? 📦
Çözüm:
Bu tür yeni nesil sorular, günlük yaşam senaryolarını matematik kavramlarıyla ilişkilendirir.
- 💡 Anahtar Kavram: Bir noktadan bir doğruya olan en kısa uzaklık, o noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğudur.
- 👉 Durum Analizi: Soruda A noktasından BC kenarına "en kısa uzaklık" ifadesi geçmektedir.
- 📌 Geometrik Karşılığı: Bu en kısa uzaklık, tam olarak A köşesinden BC kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğudur. Yükseklik, tanımı gereği bir köşeden karşı kenara (veya uzantısına) çizilen dik doğru parçasıdır.
- ✅ Sonuç: Hedeflenen en kısa uzaklık, ABC üçgeninin A köşesinden BC kenarına ait yüksekliğidir.
Örnek 7:
Bir mühendis, yapacağı bir çatının ön yüzünü ikizkenar üçgen şeklinde tasarlıyor. Çatının taban genişliği 8 metre ve çatının en yüksek noktası yerden 3 metre yükseklikte olacak. Bu durumda, çatının ön yüzünü oluşturan ikizkenar üçgenin tabana ait yüksekliği kaç metredir? 🏡
Çözüm:
Bu örnek, üçgende yükseklik kavramının günlük hayatta nasıl kullanıldığını gösterir.
- 💡 İkizkenar Üçgen ve Yükseklik: İkizkenar üçgenlerde tabana indirilen yükseklik, aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır. Ancak burada sadece tanımı ve uzunluğu önemli.
- 👉 Durum Analizi: Çatının "en yüksek noktası" ile "yerden yüksekliği", aslında üçgenin tepe noktasından tabanına olan dik uzaklığı ifade eder.
- 📌 Geometrik Karşılığı: Çatının taban genişliği üçgenin tabanını, en yüksek noktası ise üçgenin tepe noktasını oluşturur. En yüksek noktanın yerden yüksekliği ise doğrudan üçgenin tabana ait yüksekliğidir.
- 🔢 Verilenler:
Çatının taban genişliği (üçgenin tabanı) \( = 8\) metre
Çatının en yüksek noktası yerden yükseklik \( = 3\) metre - ✅ Sonuç: İkizkenar üçgen şeklindeki çatının tabana ait yüksekliği \(3\) metredir. Taban genişliği (8 metre) bu soruda sadece bilgilendirme amaçlıdır, yüksekliği doğrudan vermiştir.
Örnek 8:
Bir üçgenin diklik merkezi (yüksekliklerin kesişim noktası) hakkında aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin içindedir.
II. Dik açılı üçgenlerde diklik merkezi dik açının olduğu köşededir.
III. Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin dışındadır. 🧐
I. Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin içindedir.
II. Dik açılı üçgenlerde diklik merkezi dik açının olduğu köşededir.
III. Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin dışındadır. 🧐
Çözüm:
Diklik merkezi, üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır ve üçgenin açısına göre konumu değişir.
- I. 👉 Dar Açılı Üçgenler: Dar açılı üçgenlerde tüm açılar \(90^\circ\) den küçüktür. Bu tür üçgenlerde üç yüksekliğin tamamı üçgenin iç bölgesinde kesişir. Dolayısıyla, I. ifade doğrudur. ✅
- II. 👉 Dik Açılı Üçgenler: Dik açılı üçgenlerde bir açı \(90^\circ\) dir. Bu üçgenlerde dik açının kenarları aynı zamanda diğer köşelerin yükseklikleridir. Bu üç yükseklik, dik açının olduğu köşede kesişir. Dolayısıyla, II. ifade doğrudur. ✅
- III. 👉 Geniş Açılı Üçgenler: Geniş açılı üçgenlerde bir açı \(90^\circ\) den büyüktür. Bu tür üçgenlerde, geniş açının kenarlarına ait yükseklikler üçgenin dışında yer alır. Tüm yüksekliklerin kesişim noktası olan diklik merkezi de üçgenin dış bölgesinde yer alır. Dolayısıyla, III. ifade doğrudur. ✅
- ✅ Sonuç: Verilen tüm ifadeler (I, II ve III) doğrudur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-ucgende-yukseklik/sorular