💡 8. Sınıf Matematik: Üçgende kenar bağlantısı, pisagor, kenar ortay, açıortay, eşlik ve benzerlik, öteleme ve yansıma Çözümlü Örnekler

Üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişki, üçgen eşitsizliği ile belirlenir. Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarının uzunluğundan büyük olmalıdır. 📌

• \(a + b > c\)
• \(a + c > b\)
• \(b + c > a\)

Verilen değerleri yerine koyalım:

• \(5 + 7 > 9 \implies 12 > 9\) (Doğru)
• \(5 + 9 > 7 \implies 14 > 7\) (Doğru)
• \(7 + 9 > 5 \implies 16 > 5\) (Doğru)

Tüm koşullar sağlandığı için bu kenar uzunlukları ile bir üçgen oluşturulabilir. ✅

Pisagor teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir. 📏 Eğer dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs ise \(c\) ise, teorem şu şekildedir: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Verilen dik kenar uzunlukları \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm'dir. Bu değerleri formülde yerine koyalım:

• \(6^2 + 8^2 = c^2\)
• \(36 + 64 = c^2\)
• \(100 = c^2\)

Her iki tarafın karekökünü alarak \(c\) değerini bulalım:

• \(c = \sqrt{100}\)
• \(c = 10\) cm

Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. ✨

Bir üçgenin kenar ortayı, bir köşeden karşısındaki kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Her üçgenin üç kenar ortayı vardır ve bu kenar ortayları üçgenin ağırlık merkezinde kesişir. 📌

• Üçgenin kenarlarını ortalayan noktaları belirleyelim.
• A köşesinden BC kenarının orta noktasına çizilen doğru bir kenar ortaydır.
• B köşesinden AC kenarının orta noktasına çizilen doğru bir kenar ortaydır.
• C köşesinden AB kenarının orta noktasına çizilen doğru bir kenar ortaydır.

Bu üç kenar ortayı, üçgenin içinde bir noktada (ağırlık merkezi) kesişir. Ağırlık merkezi, kenar ortayları 2:1 oranında böler (köşeye yakın kısım, kenar ortayının tamamının 2/3'ü, kenarın orta noktasına yakın kısım ise 1/3'üdür). Bu örnekte kenar uzunlukları verilmiş olsa da, kenar ortay uzunlukları doğrudan bu bilgiyle hesaplanmaz, ancak kenar ortaylarının kesişim noktası ve oranları evrenseldir. 💡

Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \(180^\circ\) dir. 📌 Bu bilgiyi kullanarak verilmeyen \( \angle C \) açısını bulabiliriz. \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Verilen açıları yerine koyalım:

• \(50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ\)
• \(120^\circ + \angle C = 180^\circ\)

\( \angle C \) 'yi bulmak için \(180^\circ\) 'den \(120^\circ\) çıkaralım:

• \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
• \( \angle C = 60^\circ \)

Bu nedenle, \( \angle C \) açısı \(60^\circ\) 'dir. ✅

İki üçgenin eş olması için karşılıklı tüm kenar uzunluklarının eşit olması gerekir. Bu durumda, kenar uzunlukları \(3, 4, 5\) olan bir üçgen ile \(6, 8, 10\) olan bir üçgen eş değildir. ❌ Ancak, benzerlik durumunu inceleyelim. İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açıları eşit olmalı veya karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olmalıdır. 📏 Birinci üçgenin kenarları \(3, 4, 5\). İkinci üçgenin kenarları \(6, 8, 10\). Kenar uzunluklarının oranlarını kontrol edelim:

• \( \frac{6}{3} = 2 \)
• \( \frac{8}{4} = 2 \)
• \( \frac{10}{5} = 2 \)

Tüm kenar uzunlukları aynı oranda (2) arttığı için bu iki üçgen benzerdir. Benzerlik oranı 2'dir. 💡

Tablet ekranını bir dikdörtgen olarak düşünebiliriz. Köşegen, bu dikdörtgenin bir hipotenüsüdür ve kenarları dik kenarları oluşturur. 📐 Dik kenarlar \(a = 15\) cm ve \(b = 20\) cm'dir. Köşegen uzunluğunu \(c\) ile gösterelim. Pisagor teoremini kullanalım: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Değerleri yerine koyalım:

• \(15^2 + 20^2 = c^2\)
• \(225 + 400 = c^2\)
• \(625 = c^2\)

Her iki tarafın karekökünü alarak \(c\) değerini bulalım:

• \(c = \sqrt{625}\)
• \(c = 25\) cm

Tablet ekranının köşegen uzunluğu 25 cm'dir. ✨

Harita ölçeği, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını gösterir. 1:200.000 ölçeği, haritada 1 birimlik mesafenin gerçekte 200.000 birim olduğu anlamına gelir. 📌 Harita üzerindeki uzaklık 4 cm'dir. Gerçek uzaklığı bulmak için bu değeri ölçekteki ikinci sayıyla çarparız:

• Gerçek Uzaklık = Harita Uzaklığı \( \times \) Ölçek Oranı
• Gerçek Uzaklık = \( 4 \) cm \( \times 200.000 \)
• Gerçek Uzaklık = \( 800.000 \) cm

Şimdi bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor. 1 kilometre 100.000 cm'dir. Bu nedenle, cm'yi km'ye çevirmek için 100.000'e böleriz:

• Gerçek Uzaklık (km) = \( \frac{800.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \)
• Gerçek Uzaklık (km) = \( 8 \) km

A ve B şehirleri arasındaki gerçek uzaklık 8 kilometredir. 🚗

Bir noktanın x eksenine göre yansıması alındığında, noktanın x koordinatı aynı kalır, y koordinatının işareti değişir. 💡 A noktasının koordinatları \((3, 5)\)'tir.

• x koordinatı: \(3\) (aynı kalır)
• y koordinatı: \(5\) (işareti değişir, \(-5\) olur)

Bu nedenle, A noktasının x eksenine göre yansıması olan yeni noktanın koordinatları \((3, -5)\) olur. ✅