💡 8. Sınıf Matematik: Üçgende eşlik ve benzerlik Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki koşullardan biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açıları eşitse, bu üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları eşitse, bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenar uzunluğu da eşitse, bu üçgenler eştir.

Bu koşullar sağlandığında, üçgenlerin diğer kenar ve açıları da otomatik olarak eşit olur. ✅

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki koşullardan biri sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşitse, bu üçgenler benzerdir. Bu en sık kullanılan benzerlik türüdür.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşitse, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenar uzunluğu da orantılıysa, bu üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir ve bu orana benzerlik oranı denir. 👉

Verilen bilgilere göre:

• ABC üçgeninde \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm ve aralarındaki açı \( \angle B = 50^\circ \).
• DEF üçgeninde \( DE = 12 \) cm, \( EF = 16 \) cm ve aralarındaki açı \( \angle E = 50^\circ \).

Her iki üçgende de aralarındaki açı olan \( 50^\circ \) eşittir. Şimdi kenar oranlarına bakalım:

• \( \frac{DE}{AB} = \frac{12}{6} = 2 \)
• \( \frac{EF}{BC} = \frac{16}{8} = 2 \)

Karşılıklı kenarların oranları eşit (oran 2) ve bu kenarlar arasındaki açılar da eşit olduğundan, bu iki üçgen benzerdir (KAK Benzerliği). Eş değillerdir çünkü kenar uzunlukları birebir eşit değil, orantılıdır. ✅

Verilen bilgilere göre kenar uzunluklarını karşılaştıralım:

• ABC üçgeninin kenarları: \( 5, 7, 9 \) cm
• PQR üçgeninin kenarları: \( 10, 14, 18 \) cm

Şimdi karşılıklı kenarların oranlarına bakalım:

• \( \frac{PQ}{AB} = \frac{10}{5} = 2 \)
• \( \frac{QR}{BC} = \frac{14}{7} = 2 \)
• \( \frac{PR}{AC} = \frac{18}{9} = 2 \)

Tüm karşılıklı kenarların oranları eşit (oran 2) olduğuna göre, bu iki üçgen benzerdir (KKK Benzerliği). Kenar uzunlukları birebir eşit olmadığı için eş değillerdir. 👍

Soruda verilen bilgiler şunlardır:

• Fotoğrafın boyutları: \( 10 \) cm (kısa kenar) ve \( 15 \) cm (uzun kenar).
• Fotoğraf ve çerçeve benzer dikdörtgenlerdir.
• Fotoğrafın kısa kenarının çerçevenin kısa kenarına oranı \( \frac{2}{3} \) tür.

Benzerlik oranını kullanarak çerçevenin boyutlarını bulabiliriz. Oran \( \frac{FotoğrafınKısaKenarı}{ÇerçeveninKısaKenarı} = \frac{10}{ÇerçeveninKısaKenarı} = \frac{2}{3} \) olarak verilmiş.

Bu denklemden çerçevenin kısa kenarını bulalım:

• \( 2 \times \text{ÇerçeveninKısaKenarı} = 10 \times 3 \)
• \( 2 \times \text{ÇerçeveninKısaKenarı} = 30 \)
• \( \text{ÇerçeveninKısaKenarı} = \frac{30}{2} = 15 \) cm

Çerçevenin fotoğraf ile benzer bir dikdörtgen olması nedeniyle, uzun kenarların oranı da aynı olmalıdır. Yani, \( \frac{FotoğrafınUzunKenarı}{ÇerçeveninUzunKenarı} = \frac{2}{3} \) olmalıdır.

• \( \frac{15}{ÇerçeveninUzunKenarı} = \frac{2}{3} \)
• \( 2 \times \text{ÇerçeveninUzunKenarı} = 15 \times 3 \)
• \( 2 \times \text{ÇerçeveninUzunKenarı} = 45 \)
• \( \text{ÇerçeveninUzunKenarı} = \frac{45}{2} = 22.5 \) cm

Dolayısıyla, çerçevenin boyutları 15 cm x 22.5 cm olur. ✨

Harita ölçeği, harita üzerindeki bir birimin gerçekte kaç birime karşılık geldiğini gösterir. 1:200.000 ölçeği şu anlama gelir:

• Harita üzerindeki her 1 cm, gerçekte 200.000 cm'ye karşılık gelir.

Soruda verilen mesafe harita üzerinde 5 cm'dir. Gerçek mesafeyi bulmak için bu değeri ölçekle çarparız:

• Gerçek Mesafe (cm) = Harita Mesafesi (cm) \( \times \) Ölçek Paydası
• Gerçek Mesafe (cm) = \( 5 \text{ cm} \times 200.000 \)
• Gerçek Mesafe (cm) = \( 1.000.000 \) cm

Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirelim. Bilmemiz gerekenler:

• 1 kilometre = 100.000 cm

Bu durumda:

• Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \)
• Gerçek Mesafe (km) = \( 10 \) km

Yani, bu iki şehir arasındaki gerçek mesafe 10 kilometre'dir. 🚀