🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Üçgende açı kenar bağlantısı Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Üçgende açı kenar bağlantısı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasındaki sıralamayı bulunuz. 💡
Çözüm:
- Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, verilmeyen \( \hat{C} \) açısını hesaplayalım: \( \hat{C} = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- Üçgende en büyük açı, en uzun kenarın karşısındadır. Açıları küçükten büyüğe sıralayalım: \( \hat{A} < \hat{C} < \hat{B} \) yani \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \).
- Bu durumda kenarlar arasındaki sıralama da açıların karşısındaki kenarlar şeklinde olacaktır: \( a < c < b \).
Örnek 2:
Bir üçgenin kenar uzunlukları 7 cm, 9 cm ve 11 cm'dir. Bu üçgenin açıları arasındaki sıralamayı bulunuz. 📐
Çözüm:
- Üçgende en uzun kenar, en büyük açının karşısındadır. Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayalım: \( 7 \text{ cm} < 9 \text{ cm} < 11 \text{ cm} \).
- En kısa kenar 7 cm olduğuna göre, bu kenarın karşısındaki açı en küçüktür.
- Ortanca kenar 9 cm olduğuna göre, bu kenarın karşısındaki açı ortanca büyüklüktedir.
- En uzun kenar 11 cm olduğuna göre, bu kenarın karşısındaki açı en büyüktür.
Örnek 3:
Bir üçgende \( \hat{A} = 30^\circ \) ve \( b = 8 \text{ cm}, c = 10 \text{ cm} \) olarak verilmiştir. \( a \) kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz. 🤔
Çözüm:
- Üçgen eşitsizliğine göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından ise büyüktür.
- Burada \( b \) ve \( c \) kenarları verilmiş. \( a \) kenarının alabileceği değerler için üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
- \( |c - b| < a < c + b \)
- \( |10 - 8| < a < 10 + 8 \)
- \( 2 < a < 18 \)
- Ayrıca, \( \hat{A} = 30^\circ \) açısı en küçük açı olmayabilir. Eğer \( \hat{A} \) en küçük açı olsaydı, \( a \) kenarı en kısa kenar olurdu. Ancak \( b=8 \) ve \( c=10 \) olduğundan, \( \hat{A} \) açısı \( \hat{B} \) ve \( \hat{C} \) açılarından daha küçük olmalıdır. Eğer \( \hat{A} \) en küçük açı ise, \( a \) kenarı \( b \) ve \( c \) kenarlarından daha kısa olmalıdır.
- \( a < b \) ve \( a < c \) olmalıdır. Yani \( a < 8 \) olmalıdır.
- Bu durumda \( a \) için hem \( 2 < a < 18 \) hem de \( a < 8 \) koşullarını sağlayan tam sayı değerleri \( 3, 4, 5, 6, 7 \) olur.
- Bu değerlerin toplamı: \( 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 \).
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( a = 5 \text{ cm}, b = 7 \text{ cm} \) ve \( \hat{C} = 120^\circ \) olarak verilmiştir. \( c \) kenarının uzunluğu hakkında ne söylenebilir? 📏
Çözüm:
- Verilen bilgilerde en büyük açı \( \hat{C} = 120^\circ \) olduğu için, bu açının karşısındaki \( c \) kenarı üçgenin en uzun kenarı olacaktır.
- Yani, \( c > a \) ve \( c > b \) olmalıdır.
- \( c > 5 \text{ cm} \) ve \( c > 7 \text{ cm} \). Bu iki koşulu birlikte sağlayan durum \( c > 7 \text{ cm} \)'dir.
- Ayrıca üçgen eşitsizliğini de kontrol edelim: \( |b - a| < c < b + a \).
- \( |7 - 5| < c < 7 + 5 \)
- \( 2 < c < 12 \)
- Hem \( c > 7 \text{ cm} \) hem de \( 2 < c < 12 \) koşullarını sağlayan \( c \) kenarı için \( 7 < c < 12 \) aralığında olduğunu söyleyebiliriz.
Örnek 5:
Bir parkta bulunan üç farklı bankın arasındaki mesafeler verilmiştir. Bank A ile Bank B arasındaki mesafe 15 metre, Bank B ile Bank C arasındaki mesafe 20 metre ve Bank A ile Bank C arasındaki mesafe 18 metredir. Bu banklarda oturan üç kişinin (Ayşe, Burcu, Can) birbirlerine göre konumlarını ve hangi bankta oturduklarını belirleyelim. Ayşe Bank A'da, Burcu Bank B'de ve Can Bank C'de oturmaktadır. 🌳
Çözüm:
- Bu durumu bir üçgen olarak düşünebiliriz. Bank A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri olsun.
- Kenar uzunlukları: \( AB = 15 \text{ m}, BC = 20 \text{ m}, AC = 18 \text{ m} \).
- Kenar uzunluklarını sıralayalım: \( 15 \text{ m} < 18 \text{ m} < 20 \text{ m} \).
- Bu sıralamaya göre, en kısa kenar \( AB \) (15 m), en uzun kenar ise \( BC \) (20 m)'dir.
- En kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür. \( AB \) kenarının karşısındaki açı \( \hat{C} \) (Can'ın oturduğu bankın karşısındaki açı) en küçüktür.
- En uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür. \( BC \) kenarının karşısındaki açı \( \hat{A} \) (Ayşe'nin oturduğu bankın karşısındaki açı) en büyüktür.
- Ortanca kenar \( AC \) (18 m)'nin karşısındaki açı \( \hat{B} \) (Burcu'nun oturduğu bankın karşısındaki açı) ortanca büyüklüktedir.
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken üçgen bir şekil kullanacaktır. Mühendis, üçgenin iki kenarını 5 metre ve 8 metre olarak belirlemiştir. Üçüncü kenarın uzunluğu hakkında mühendisin dikkat etmesi gerekenler nelerdir? 🏗️
Çözüm:
- Bu durum, üçgen eşitsizliği ile ilgilidir. Bir üçgenin bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük ve uzunlukları farkından büyük olmalıdır.
- Verilen kenarlar 5 m ve 8 m. Üçüncü kenara \( x \) diyelim.
- Üçgen eşitsizliğine göre:
- \( |8 - 5| < x < 8 + 5 \)
- \( 3 \text{ m} < x < 13 \text{ m} \)
- İnşaat mühendisi, üçüncü kenarın uzunluğunu bu aralıkta seçmelidir.
- Eğer mühendis, bu aralığın dışındaki bir uzunluk seçerse, bu üçgen çizilemez ve tasarımda hata olur.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 40^\circ \) ve \( \hat{B} = 80^\circ \) olarak verilmiştir. \( a, b, c \) kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulunuz. 🧐
Çözüm:
- Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( \hat{C} \) açısını hesaplayalım: \( \hat{C} = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- Açıları küçükten büyüğe sıralayalım: \( \hat{A} < \hat{C} < \hat{B} \) yani \( 40^\circ < 60^\circ < 80^\circ \).
- Üçgende en büyük açı en uzun kenarın, en küçük açı ise en kısa kenarın karşısındadır.
- Bu durumda:
- \( \hat{A} \) en küçük açı olduğundan, karşısındaki \( a \) kenarı en kısadır.
- \( \hat{B} \) en büyük açı olduğundan, karşısındaki \( b \) kenarı en uzundur.
- \( \hat{C} \) ortanca açı olduğundan, karşısındaki \( c \) kenarı ortanca uzunluktadır.
Örnek 8:
Bir harita üzerinde üç şehir (X, Y, Z) gösterilmiştir. İki şehir arasındaki mesafeler şu şekildedir: X ve Y şehirleri arasındaki mesafe 120 km, Y ve Z şehirleri arasındaki mesafe 150 km'dir. Bu üç şehir arasında bir üçgen oluşturulduğunda, X ve Z şehirleri arasındaki mesafenin alabileceği tam sayı değerlerinin kaç farklı olduğunu bulunuz. 🗺️
Çözüm:
- Şehirler arasındaki mesafeleri bir üçgenin kenarları olarak düşünebiliriz.
- Verilen kenarlar: \( XY = 120 \text{ km} \) ve \( YZ = 150 \text{ km} \).
- Üçüncü kenar \( XZ \) olsun.
- Üçgen eşitsizliğine göre, \( XZ \) kenarının uzunluğu şu aralıkta olmalıdır:
- \( |150 - 120| < XZ < 150 + 120 \)
- \( 30 \text{ km} < XZ < 270 \text{ km} \)
- \( XZ \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri 31'den 269'a kadar olan sayılardır.
- Bu tam sayıların sayısını bulmak için: \( 269 - 31 + 1 \) işlemini yaparız.
- \( 269 - 31 = 238 \)
- \( 238 + 1 = 239 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-ucgende-aci-kenar-baglantisi/sorular