🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Üçgende açı kenar bağıntısı Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Üçgende açı kenar bağıntısı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 60^\circ \) ise, bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 📐
Çözüm:
Harika bir soru! Hadi adım adım çözelim:
- Öncelikle, üçgenin verilmeyen üçüncü açısını bulalım. Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman \( 180^\circ \) olmalıdır.
- \( \hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B}) \)
- \( \hat{C} = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) \)
- \( \hat{C} = 180^\circ - 110^\circ \)
- \( \hat{C} = 70^\circ \)
- Şimdi üç açımızı sıralayalım: \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \). Yani \( \hat{A} < \hat{B} < \hat{C} \).
- Üçgende açı-kenar bağıntısına göre, küçük açı karşısında küçük kenar, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
- Bu durumda, en küçük açı \( \hat{A} \) olduğundan onun karşısındaki kenar a en küçüktür. En büyük açı \( \hat{C} \) olduğundan onun karşısındaki kenar c en büyüktür.
- Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralarsak: a < b < c şeklinde olur. ✅
Örnek 2:
Bir üçgende kenar uzunlukları 7 cm, 10 cm ve x cm'dir. Bu üçgenin bir üçgen olabilmesi için x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soru, üçgen eşitsizliği ile ilgili. Hatırlayalım: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkından ise büyüktür.
- Kenar uzunluklarımız 7, 10 ve x olsun.
- Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
- Farkından büyük: \( |10 - 7| < x \) yani \( 3 < x \)
- Toplamından küçük: \( x < 10 + 7 \) yani \( x < 17 \)
- Bu iki koşulu birleştirirsek, x'in değer aralığı \( 3 < x < 17 \) olur.
- x'in alabileceği tam sayılar: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16'dır.
- Bu tam sayıların toplamını bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü kullanabiliriz veya basitçe toplayabiliriz. Ancak daha pratik bir yol, ilk ve son terimi kullanarak ortalamayı bulmaktır.
- Toplam = (Terim sayısı / 2) * (İlk terim + Son terim)
- Terim sayısı = 16 - 4 + 1 = 13
- Toplam = (13 / 2) (4 + 16) = (13 / 2) 20 = 13 * 10 = 130
- Yani x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 130'dur. 💯
Örnek 3:
Bir okulun bahçesinde bulunan üçgen şeklindeki bir oyun alanının iki kenarı 15 metre ve 20 metredir. Oyun alanının üçüncü kenarının uzunluğu metre cinsinden bir tam sayıdır. Bu üçüncü kenarın uzunluğunun alabileceği en büyük değer, en küçük değerden kaç fazladır? 🏃♀️
Çözüm:
Bu soruda hem üçgen eşitsizliğini hem de kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanacağız.
- Üçgenin kenar uzunlukları 15 m, 20 m ve x m olsun.
- Üçgen Eşitsizliği:
- Farkından büyük: \( |20 - 15| < x \Rightarrow 5 < x \)
- Toplamından küçük: \( x < 20 + 15 \Rightarrow x < 35 \)
- Bu durumda x'in alabileceği tam sayı değerleri \( 5 < x < 35 \) aralığındadır.
- En küçük tam sayı değeri: Üçgen eşitsizliğine göre x, 5'ten büyük olmalı. Dolayısıyla en küçük tam sayı değeri 6'dır.
- En büyük tam sayı değeri: Üçgen eşitsizliğine göre x, 35'ten küçük olmalı. Dolayısıyla en büyük tam sayı değeri 34'tür.
- Soru bizden en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farkı istiyor.
- Fark = En büyük değer - En küçük değer
- Fark = 34 - 6 = 28
- Yani üçüncü kenarın uzunluğunun alabileceği en büyük değer, en küçük değerden 28 metre fazladır. ✨
Örnek 4:
Bir harita üzerinde A, B ve C şehirleri bir üçgen oluşturacak şekilde gösterilmiştir. A şehrinden B şehrine olan uzaklık 120 km, B şehrinden C şehrine olan uzaklık ise 180 km'dir. A ve C şehirleri arasındaki uzaklık (AC mesafesi) kaç kilometre olabilir? Bu mesafenin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini bulunuz. 🗺️
Çözüm:
Bu, günlük hayatta harita okuma ve mesafeleri tahmin etme ile ilgili bir problem. Yine üçgen eşitsizliğini kullanacağız.
- Üçgenimizin kenarları AB = 120 km, BC = 180 km ve AC = x km olsun.
- Üçgen Eşitsizliği:
- Farkından büyük: \( |180 - 120| < x \Rightarrow 60 < x \)
- Toplamından küçük: \( x < 180 + 120 \Rightarrow x < 300 \)
- Yani A ve C şehirleri arasındaki uzaklık (x), 60 km'den büyük ve 300 km'den küçüktür.
- En küçük tam sayı değeri: x, 60'tan büyük olmalı, bu yüzden en küçük tam sayı değeri 61 km'dir.
- En büyük tam sayı değeri: x, 300'den küçük olmalı, bu yüzden en büyük tam sayı değeri 299 km'dir.
- Bu, A ve C şehirleri arasındaki mesafenin 61 km ile 299 km arasında herhangi bir tam sayı değeri olabileceği anlamına gelir. 💡
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 80^\circ \) ve \( \hat{B} = 40^\circ \) verilmiştir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasındaki sıralamayı büyükten küçüğe doğru yapınız. 📏
Çözüm:
Bu soruda da yine açıları kullanarak kenar sıralaması yapacağız.
- Önce verilmeyen \( \hat{C} \) açısını bulalım:
- \( \hat{C} = 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ) \)
- \( \hat{C} = 180^\circ - 120^\circ \)
- \( \hat{C} = 60^\circ \)
- Açıları büyükten küçüğe sıralayalım: \( 80^\circ > 60^\circ > 40^\circ \). Yani \( \hat{A} > \hat{C} > \hat{B} \).
- Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralına göre:
- En büyük açı \( \hat{A} \) olduğundan karşısındaki kenar a en büyüktür.
- En küçük açı \( \hat{B} \) olduğundan karşısındaki kenar b en küçüktür.
- Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralarsak: a > c > b şeklinde olur. ✅
Örnek 6:
Kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan bir üçgen veriliyor. Bu üçgenin en uzun kenarı ile en kısa kenarı arasındaki fark kaç santimetredir? 📏
Çözüm:
Bu soruda kenar uzunlukları zaten verilmiş, sadece sıralama ve fark alma işlemi yapacağız.
- Verilen kenar uzunlukları: 5 cm, 12 cm ve 13 cm.
- Bu uzunlukları küçükten büyüğe doğru sıralayalım: 5 < 12 < 13.
- En kısa kenar: 5 cm
- En uzun kenar: 13 cm
- Soru bizden en uzun kenar ile en kısa kenar arasındaki farkı istiyor.
- Fark = En uzun kenar - En kısa kenar
- Fark = 13 cm - 5 cm = 8 cm
- Yani en uzun kenarı ile en kısa kenarı arasındaki fark 8 cm'dir. 💯
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, bir köprü ayağı için üçgen şeklinde bir destek parçası tasarlıyor. Bu destek parçasının iki kenarının uzunlukları 8 metre ve 15 metredir. Üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu metre cinsinden bir tam sayıdır. Bu üçüncü kenarın uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? 🏗️
Çözüm:
Bu soru, üçgen eşitsizliğinin farklı bir yorumunu gerektiriyor.
- Destek parçasının kenar uzunlukları 8 m, 15 m ve x m olsun.
- Üçgen Eşitsizliği:
- Farkından büyük: \( |15 - 8| < x \Rightarrow 7 < x \)
- Toplamından küçük: \( x < 15 + 8 \Rightarrow x < 23 \)
- Bu durumda x'in alabileceği tam sayı değerleri \( 7 < x < 23 \) aralığındadır.
- Bu aralıktaki tam sayıları bulalım: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.
- Bu değerlerin sayısını bulmak için: Son değer - İlk değer + 1 formülünü kullanabiliriz.
- Değer sayısı = 22 - 8 + 1 = 15
- Yani üçüncü kenarın uzunluğunun alabileceği 15 farklı tam sayı değeri vardır. ✅
Örnek 8:
Bir bisikletli, A noktasından başlayıp B noktasına gidiyor ve sonra C noktasına ulaşıyor. A'dan B'ye olan mesafe 5 km, B'den C'ye olan mesafe ise 8 km'dir. Bisikletlinin A noktasından C noktasına doğrudan gitmesi durumunda alacağı mesafe (AC mesafesi) en az kaç kilometre olabilir? 🚴
Çözüm:
Bu, en kısa mesafeyi bulma problemi gibi görünse de, aslında üçgen eşitsizliğinin minimum sınırını soruyor.
- Bisikletlinin gittiği yol bir üçgen oluşturuyor: A, B ve C noktaları.
- Kenar uzunlukları AB = 5 km, BC = 8 km ve AC = x km olsun.
- Üçgen Eşitsizliği:
- Farkından büyük: \( |8 - 5| < x \Rightarrow 3 < x \)
- Toplamından küçük: \( x < 8 + 5 \Rightarrow x < 13 \)
- Yani AC mesafesi (x), 3 km'den büyük ve 13 km'den küçüktür.
- Soru bizden AC mesafesinin en az kaç kilometre olabileceğini soruyor.
- Üçgen eşitsizliğine göre x, 3'ten büyük olmalıdır.
- Bu durumda AC mesafesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri 4 km'dir.
- Ancak soru "en az kaç kilometre olabilir?" diye soruyor. Bu, x'in 3'e çok ama çok yakın olabileceği anlamına gelir. Matematiksel olarak x, 3'ten büyük herhangi bir değer olabilir.
- Eğer tam sayı değeri sorulmasaydı, cevap 3 km'den büyük herhangi bir sayı olurdu. Tam sayı olarak en az 4 km olabilir. Ancak sorunun bağlamı gereği, en yakın tam sayı değeri sorulmadığı için, üçgenin oluşması için gereken minimum sınır 3 km'den büyük olmalıdır. Genellikle bu tür sorularda tam sayı değeri istenir. Eğer tam sayı isteniyorsa cevap 4 km'dir. Eğer tam sayı istenmiyorsa, cevap 3 km'den büyük herhangi bir değerdir. Soruda "kaç kilometre olabilir" denildiği için, en küçük sınırın hemen üstündeki değerler geçerlidir. En kesin cevap, 3 km'den büyük herhangi bir değerdir. Eğer tam sayı olarak sorulsaydı, en az 4 km olurdu. 📌
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-ucgende-aci-kenar-bagintisi/sorular