💡 8. Sınıf Matematik: Üçgen Çözümlü Örnekler

Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 derecedir. Bu temel bilgiyi kullanarak verilmeyen açıyı bulabiliriz.

• Adım 1: Verilen açıları toplayın: \( 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \).
• Adım 2: Toplam açıdan bu toplamı çıkarın: \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

✅ Sonuç olarak, C açısı 60 derecedir.

Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli bir ilişki olmalıdır. Bu ilişkiye "üçgen eşitsizliği" denir.

• Kural: Bir üçgende, herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır.
• Kontrol 1: \( 5 + 7 > 10 \) ? \( 12 > 10 \) ✅ Doğru.
• Kontrol 2: \( 5 + 10 > 7 \) ? \( 15 > 7 \) ✅ Doğru.
• Kontrol 3: \( 7 + 10 > 5 \) ? \( 17 > 5 \) ✅ Doğru.

👉 Tüm koşullar sağlandığı için, bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen çizilebilir.

İkizkenar üçgenlerde, tepe açısının karşısındaki kenarlar eşit uzunluktadır ve bu kenarların birleştiği açılar (taban açıları) da birbirine eşittir.

• Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz.
• Adım 2: Taban açılarının toplamını bulmak için tepe açısını \( 180^\circ \) den çıkarın: \( 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).
• Adım 3: Bu \( 100^\circ \) 'lik toplam, birbirine eşit olan iki taban açısına aittir. Bu yüzden \( 100^\circ \) 'ü 2'ye bölün: \( 100^\circ \div 2 = 50^\circ \).

✅ Taban açılarından her biri 50 derecedir.

Bir üçgende, açıların ölçüleri ile bu açıların karşısındaki kenarların uzunlukları doğru orantılıdır. Yani, en küçük açı en kısa kenarın, en büyük açı ise en uzun kenarın karşısındadır.

• Adım 1: Açıları küçükten büyüğe doğru sıralayın: \( 45^\circ < 60^\circ < 75^\circ \).
• Adım 2: Bu açıların karşısındaki kenarları belirleyin: A açısının karşısı 'a' kenarı, B açısının karşısı 'b' kenarı, C açısının karşısı 'c' kenarıdır.
• Adım 3: Açı sıralamasına göre kenar sıralamasını yapın: \( a < b < c \).

✅ Kenar uzunlukları arasındaki ilişki \( a < b < c \) şeklindedir.

Eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgendir. Bu da her bir açısının \( 60^\circ \) olduğu anlamına gelir.

• Adım 1: Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 12 metredir.
• Adım 2: Çevre, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Eşkenar üçgenin 3 kenarı vardır ve hepsi eşittir.
• Adım 3: Çevreyi hesaplamak için bir kenar uzunluğunu 3 ile çarpın: \( 12 \text{ m} \times 3 = 36 \text{ m} \).

✅ Eşkenar üçgen destek elemanının çevresi 36 metredir.

Bu soruda, üçgen şeklindeki havuzun etrafına yapılacak yürüyüş yolunun uzunluğu, üçgenin çevresine eşittir.

• Adım 1: Üçgenin kenar uzunluklarını belirleyin: 8 metre, 15 metre ve 17 metre.
• Adım 2: Üçgenin çevresini hesaplamak için bu kenar uzunluklarını toplayın: \( 8 \text{ m} + 15 \text{ m} + 17 \text{ m} \).
• Adım 3: Toplama işlemini yapın: \( 8 + 15 = 23 \) ve \( 23 + 17 = 40 \).

✅ Yürüyüş yolu 40 metre olacaktır. (Bu aynı zamanda bir dik üçgendir, çünkü \( 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \) ve \( 17^2 = 289 \).)

Üçgenin iç açılarının toplamının \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi kullanarak x'in değerini bulabiliriz.

• Adım 1: Açıları toplayıp \( 180^\circ \) 'ye eşitleyin: \( 2x + 3x + 4x = 180^\circ \).
• Adım 2: Benzer terimleri birleştirin: \( 9x = 180^\circ \).
• Adım 3: x'i bulmak için her iki tarafı 9'a bölün: \( x = 180^\circ \div 9 = 20^\circ \).
• Adım 4: En büyük iç açıyı bulmak için x'in değerini en büyük katsayılı açıya (4x) yerleştirin: \( 4 \times 20^\circ = 80^\circ \).

✅ x'in değeri \( 20^\circ \) ve en büyük iç açının ölçüsü \( 80^\circ \) dir.

Bu soruda tam olarak hesaplama yapmasak da, üçgen eşitsizliği ve kenar-açı ilişkisini kullanarak bir tahmin yapabiliriz.

• Adım 1: Üçgen eşitsizliğine göre, üçüncü kenarın uzunluğu \( 12 - 10 < \text{üçüncü kenar} < 12 + 10 \) olmalıdır. Yani, \( 2 < \text{üçüncü kenar} < 22 \).
• Adım 2: İki kenar arasındaki açı \( 60^\circ \) olduğunda, bu kenarların uzunlukları birbirine yakınsa, üçüncü kenar da onlara yakın olacaktır. Eğer bu iki kenar eşit olsaydı (ikizkenar üçgen), üçüncü kenar da 10 veya 12 olurdu (açı \( 60^\circ \) olduğu için eşkenar üçgen olurdu).
• Adım 3: Kenarlar 10 ve 12 olduğunda ve aralarındaki açı \( 60^\circ \) olduğunda, üçüncü kenarın uzunluğu bu iki kenarın ortalamasına yakın olacaktır.

👉 Üçüncü kenarın uzunluğu, 10 ile 12 arasındaki bir değerde olacaktır. Örneğin, eğer üçgen eşkenar olsaydı (tüm kenarlar eşit), o zaman her kenar 10 veya 12 olurdu. Kenarlar 10 ve 12 olduğu için, üçüncü kenar bu iki değerin arasında ve \( 60^\circ \) açının karşısında yer alacaktır. Bu durumda üçüncü kenar 10 ile 12 arasında bir değer alır. (Tam değeri yaklaşık 10.95 cm'dir, bu da 10 ve 11 arasındadır.)