💡 8. Sınıf Matematik: Üçgen Eşitsizliği Çözümlü Örnekler

Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır. Yani:

• 👉 İki kenarın farkı: \( |8 - 5| = 3 \) cm
• 👉 İki kenarın toplamı: \( 8 + 5 = 13 \) cm

Buna göre, üçüncü kenar (AC) için eşitsizlik şu şekilde yazılır:
\[ 3 < \text{AC} < 13 \]

• ✅ AC kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri 3'ten büyük olduğu için 4 cm'dir.
• ✅ AC kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri 13'ten küçük olduğu için 12 cm'dir.

Bu nedenle, AC kenarı en az 4 cm, en çok 12 cm olabilir. 💡

Üçgen eşitsizliğini kullanarak üçüncü kenarın hangi aralıkta olması gerektiğini bulalım:

• 1️⃣ İki kenarın farkı: \( |12 - 7| = 5 \) cm
• 2️⃣ İki kenarın toplamı: \( 12 + 7 = 19 \) cm

Üçüncü kenarın uzunluğu \( x \) olsun. Eşitsizlik şu şekildedir:
\[ 5 < x < 19 \]

• ✅ Bu aralıktaki tam sayılar: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18'dir.
• ✅ Toplam tam sayı değerini bulmak için: En büyük tam sayı - En küçük tam sayı + 1 formülünü kullanabiliriz.
• \( 18 - 6 + 1 = 13 \)

Bu üçüncü kenar 13 farklı tam sayı değeri alabilir. 📌

Öncelikle, \( k \) kenarının alabileceği değer aralığını üçgen eşitsizliği ile bulalım:

• 1️⃣ İki kenarın farkı: \( |10 - 6| = 4 \) cm
• 2️⃣ İki kenarın toplamı: \( 10 + 6 = 16 \) cm

Buna göre, \( k \) kenarı için eşitsizlik:
\[ 4 < k < 16 \]
Üçgenin çevresi \( Ç = 6 + 10 + k = 16 + k \) olarak bulunur.

Çevrenin en küçük tam sayı değerini bulmak için \( k \)'nin en küçük tam sayı değerini kullanmalıyız:

• 👉 \( k \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 4'ten büyük olduğu için 5'tir.
• 👉 Çevre = \( 16 + k \)
• 👉 Çevre = \( 16 + 5 = 21 \) cm

Bu XYZ üçgeninin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri 21 cm'dir. ✅

Üçgen eşitsizliği kuralını \( (3x-2) \) kenarı için uygulayalım:

• 1️⃣ Diğer iki kenarın farkı: \( |14 - 9| = 5 \) cm
• 2️⃣ Diğer iki kenarın toplamı: \( 14 + 9 = 23 \) cm

Buna göre, üçüncü kenar \( (3x-2) \) için eşitsizlik şu şekildedir:
\[ 5 < 3x - 2 < 23 \]
Şimdi bu eşitsizliği çözerek \( x \)'in aralığını bulalım:

• 👉 Önce her tarafa 2 ekleyelim:
• \( 5 + 2 < 3x - 2 + 2 < 23 + 2 \)
• \( 7 < 3x < 25 \)


• 👉 Sonra her tarafı 3'e bölelim:
• \( \frac{7}{3} < x < \frac{25}{3} \)


• 👉 Ondalık değerlerini yaklaşık olarak yazalım:
• \( 2.33... < x < 8.33... \)

Bu aralıkta yer alan tam sayı değerleri şunlardır:
\[ x \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\} \]
\( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri 3, 4, 5, 6, 7 ve 8'dir. ✅

Bu durum, A, B ve C şehirlerinin bir üçgenin köşeleri gibi düşünülebileceği bir senaryodur. Yeni yapılacak yol (AC) bu üçgenin üçüncü kenarı olacaktır.

Üçgen eşitsizliği kuralına göre, herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.

• 1️⃣ Diğer iki yolun uzunlukları: 10 km ve 18 km
• 2️⃣ Yeni yol (AC) bu iki kenarın toplamından küçük olmalı: \( 10 + 18 = 28 \) km

Yeni yolun uzunluğu \( x \) olsun.
\[ x < 28 \]
Ayrıca, yeni yolun diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük olması gerekir:
\[ |18 - 10| < x \Rightarrow 8 < x \]
Bu iki eşitsizliği birleştirirsek:
\[ 8 < x < 28 \]
Yeni yolun uzunluğu bir tam sayı olacağına göre, alabileceği en büyük tam sayı değeri 28'den küçük olduğu için 27 km'dir. 💡

Bu soruda, BD köşegeni iki farklı üçgenin ortak kenarıdır: ABD üçgeni ve BCD üçgeni. BD'nin uzunluğunun her iki üçgenin eşitsizlik koşullarını sağlaması gerekir.

1. ABD Üçgeni İçin Üçgen Eşitsizliği:
AB = 6 cm, AD = 12 cm. BD kenarı için:

• 👉 Fark: \( |12 - 6| = 6 \) cm
• 👉 Toplam: \( 12 + 6 = 18 \) cm

Yani, \( 6 < \text{BD} < 18 \) olmalıdır.

2. BCD Üçgeni İçin Üçgen Eşitsizliği:
BC = 9 cm, CD = 5 cm. BD kenarı için:

• 👉 Fark: \( |9 - 5| = 4 \) cm
• 👉 Toplam: \( 9 + 5 = 14 \) cm

Yani, \( 4 < \text{BD} < 14 \) olmalıdır.

BD'nin her iki eşitsizliği de aynı anda sağlaması gerekmektedir. Bu durumda, alt sınırlardan büyüğü, üst sınırlardan küçüğü alınır:

• 👉 Alt sınır: \( \text{max}(6, 4) = 6 \)
• 👉 Üst sınır: \( \text{min}(18, 14) = 14 \)

Ortak eşitsizlik:
\[ 6 < \text{BD} < 14 \]
Bu aralıkta yer alan tam sayı değerleri: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13'tür.
Toplam tam sayı değeri sayısı: \( 13 - 7 + 1 = 7 \)

BD'nin alabileceği 7 farklı tam sayı değeri vardır. ✅

Bir çubuk grubunun üçgen oluşturabilmesi için, herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Ayrıca, herhangi iki kenarının uzunlukları farkının mutlak değeri üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır. Yani \( |b-c| < a < b+c \) kuralını kontrol edelim.

• a) 3 cm, 4 cm, 7 cm:
• \( 3 + 4 = 7 \). Üçüncü kenara (7) eşit. Üçgen eşitsizliğine göre \( 3 + 4 > 7 \) olmalıydı. Bu bir üçgen oluşturamaz. ❌


• b) 5 cm, 5 cm, 10 cm:
• \( 5 + 5 = 10 \). Üçüncü kenara (10) eşit. Üçgen eşitsizliğine göre \( 5 + 5 > 10 \) olmalıydı. Bu bir üçgen oluşturamaz. ❌


• c) 6 cm, 8 cm, 12 cm:
• Kenarları tek tek kontrol edelim:
• \( |8-6| < 12 < 8+6 \Rightarrow 2 < 12 < 14 \) (Doğru)
• \( |12-6| < 8 < 12+6 \Rightarrow 6 < 8 < 18 \) (Doğru)
• \( |12-8| < 6 < 12+8 \Rightarrow 4 < 6 < 20 \) (Doğru)
• Tüm koşulları sağlıyor. Bu bir üçgen oluşturabilir. ✅


• d) 2 cm, 3 cm, 6 cm:
• \( 2 + 3 = 5 \). Üçüncü kenardan (6) küçük. Üçgen eşitsizliğine göre \( 2 + 3 > 6 \) olmalıydı. Bu bir üçgen oluşturamaz. ❌

Doğru cevap c) 6 cm, 8 cm, 12 cm'dir. 📌

AB kenarının uzunluğunu bulmak için üçgen eşitsizliğini uygulayalım. AB kenarına \( k \) diyelim, yani \( k = 2x+1 \).

Üçgen eşitsizliğine göre, \( k \) kenarı diğer iki kenarın (9 cm ve 13 cm) farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır:
\[ |13 - 9| < k < 13 + 9 \]
\[ 4 < k < 22 \]
Şimdi \( k \) yerine \( 2x+1 \) ifadesini yazalım:
\[ 4 < 2x + 1 < 22 \]
Bu eşitsizliği çözerek \( x \)'in aralığını bulalım:

• 👉 Önce her taraftan 1 çıkaralım:
• \( 4 - 1 < 2x + 1 - 1 < 22 - 1 \)
• \( 3 < 2x < 21 \)


• 👉 Sonra her tarafı 2'ye bölelim:
• \( \frac{3}{2} < x < \frac{21}{2} \)


• 👉 Ondalık değerlerini yazalım:
• \( 1.5 < x < 10.5 \)

AB kenarının alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmak için, \( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmalıyız.

\( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 1.5'ten büyük olduğu için 2'dir.

Şimdi bu \( x \) değerini AB kenarının ifadesine (\( 2x+1 \)) yerine koyalım:
\[ \text{AB} = 2x+1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \]
Bu durumda, AB kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri 5 cm'dir. ✅