📝 8. Sınıf Matematik: Pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanları Ders Notu
Her pozitif tam sayı, iki pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu pozitif tam sayılardan her birine o sayının pozitif tam sayı çarpanı denir. Bir tam sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara aynı zamanda o sayının pozitif tam sayı böleni adı verilir. Matematikte "çarpan" ve "bölen" kavramları aynı anlama gelir.
📌 Pozitif Tam Sayı Çarpanlarını Bulma
Bir sayının pozitif çarpanlarını bulurken, o sayıyı elde edebileceğimiz tüm ikili çarpımları sistematik bir şekilde yazarız. İşlem yaparken 1'den başlayarak sırayla ilerlemek hiçbir çarpanı gözden kaçırmamamızı sağlar.
Önemli Kural: Her pozitif tam sayının en küçük pozitif çarpanı her zaman \( 1 \), en büyük pozitif çarpanı ise sayının kendisidir.
Örnek: 24 Sayısının Pozitif Tam Sayı Çarpanları
\( 24 \) sayısını iki pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazalım:
- \( 1 \times 24 = 24 \)
- \( 2 \times 12 = 24 \)
- \( 3 \times 8 = 24 \)
- \( 4 \times 6 = 24 \)
Bu durumda \( 24 \) sayısının pozitif tam sayı çarpanları küçükten büyüğe sıralandığında: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 olmak üzere toplam \( 8 \) tanedir.
🌈 Gökkuşağı Yöntemi
Bir sayının tüm pozitif tam sayı çarpanları küçükten büyüğe doğru yan yana yazıldığında; baştan ve sondan eşit uzaklıktaki sayıların çarpımı her zaman o sayıyı verir. Bu yönteme Gökkuşağı Yöntemi denir.
| Baştan Eleman | Sondan Eleman | Çarpım Sonucu |
|---|---|---|
| \( 1 \) (1. eleman) | \( 24 \) (8. eleman) | \( 1 \times 24 = 24 \) |
| \( 2 \) (2. eleman) | \( 12 \) (7. eleman) | \( 2 \times 12 = 24 \) |
| \( 3 \) (3. eleman) | \( 8 \) (6. eleman) | \( 3 \times 8 = 24 \) |
| \( 4 \) (4. eleman) | \( 6 \) (5. eleman) | \( 4 \times 6 = 24 \) |
⚠️ Tam Kare Sayılarda Çarpan Sayısı
Bir pozitif tam sayının pozitif çarpan sayısı genelde çift sayıdadır. Ancak sayı bir tam kare sayı (bir tam sayının karesi) ise pozitif çarpan sayısı tek sayıdadır. Bunun sebebi, kendisiyle çarpılan sayının çarpan listesine yalnızca bir kez yazılmasıdır.
Örnek: 36 Sayısının Çarpanları
\( 36 \) sayısının çarpan ikililerini yazalım:
- \( 1 \times 36 = 36 \)
- \( 2 \times 18 = 36 \)
- \( 3 \times 12 = 36 \)
- \( 4 \times 9 = 36 \)
- \( 6 \times 6 = 36 \)
\( 36 \) sayısının pozitif çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 kümesidir. Burada \( 6 \) sayısı iki kez tekrar ettiği için bir defa yazılır. Bu nedenle \( 36 \) sayısının toplam \( 9 \) tane (tek sayıda) pozitif tam sayı çarpanı vardır.
✏️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1
Pozitif tam sayı çarpanları küçükten büyüğe doğru sıralandığında 1, 2, a, 6, b, 18, c şeklinde olan sayının değerini ve \( a + b + c \) ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Gökkuşağı yöntemine göre baştan ve sondan elemanların çarpımı sabittir ve sayının kendisine eşittir.
Listenin en büyük elemanı \( c \) olduğuna göre sayımız \( c \)'dir.
Bilinen çiftlerden faydalanalım:
İkinci eleman ile sondan ikinci elemanın çarpımı: \( 2 \times 18 = 36 \)
Demek ki aradığımız sayı \( 36 \)'dır.
Buna göre:
- En büyük çarpan: \( c = 36 \)
- \( 1 \times c = 36 \Rightarrow 1 \times 36 = 36 \)
- \( 2 \times 18 = 36 \)
- \( a \times b = 36 \) ve dördüncü eleman ile dördüncü sondan eleman \( 6 \times 6 = 36 \) ilişkisi kurulur.
\( 36 \)'nın tüm çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 olduğundan:
\( a = 3 \)
\( b = 12 \)
\( c = 36 \)
Toplama işlemini yapalım: \( a + b + c = 3 + 12 + 36 = 51 \) bulunur.
Soru 2 (LGS Tarzı Geometri Bağlantılı Soru)
Kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer pozitif tam sayı ve alanı \( 48 \text{ cm}^2 \) olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğunun alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz.
Çözüm:
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir. Kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \) olsun. \( a \times b = 48 \) olmalıdır. Çevre ise \( 2 \times (a + b) \) formülü ile bulunur.
\( 48 \) sayısının pozitif çarpan ikililerini yazalım:
- \( 1 \times 48 = 48 \Rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (1 + 48) = 2 \times 49 = 98 \text{ cm} \)
- \( 2 \times 24 = 48 \Rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (2 + 24) = 2 \times 26 = 52 \text{ cm} \)
- \( 3 \times 16 = 48 \Rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (3 + 16) = 2 \times 19 = 38 \text{ cm} \)
- \( 4 \times 12 = 48 \Rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (4 + 12) = 2 \times 16 = 32 \text{ cm} \)
- \( 6 \times 8 = 48 \Rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (6 + 8) = 2 \times 14 = 28 \text{ cm} \)
Çevrenin alabileceği en büyük değer: 98 cm (Kenarlar birbirine en uzak seçildiğinde).
Çevrenin alabileceği en küçük değer: 28 cm (Kenarlar birbirine en yakın seçildiğinde).