💡 8. Sınıf Matematik: Pozitif tam sayıların çarpanları Çözümlü Örnekler

Bir pozitif tam sayının çarpanlarını bulmak için, çarpımları o sayıyı veren tüm pozitif tam sayı çiftlerini belirleriz.

👉 Çözüm Adımları:

• \( 1 \times 24 = 24 \)
• \( 2 \times 12 = 24 \)
• \( 3 \times 8 = 24 \)
• \( 4 \times 6 = 24 \)

💡 Bu durumda \( 24 \) sayısının pozitif tam sayı çarpanları küçükten büyüğe sırasıyla:
\( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \) olmak üzere toplam \( 8 \) tanedir.

\( 60 \) sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak sırasıyla asal sayılara böleriz.

👉 Bölen Listesi Adımları:

• \( 60 \div 2 = 30 \)
• \( 30 \div 2 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)

💡 Bu işlemler sonucunda elde ettiğimiz asal çarpanlar \( 2 \), \( 3 \) ve \( 5 \) sayılarıdır.
Üslü ifadelerin çarpımı şeklinde gösterimi: \[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \]

Gruptaki öğrenci sayısı, sınıf mevcudu olan \( 30 \) sayısının bir pozitif tam sayı çarpanı olmalıdır.

👉 Çözüm Adımları:

• Öncelikle \( 30 \) sayısının tüm pozitif çarpanlarını bulalım:
• \( 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \)
• Soruda verilen şarta göre gruptaki öğrenci sayısı en az \( 2 \), en fazla \( 15 \) olmalıdır.
• Bu şarta uyan çarpanlar: \( 2, 3, 5, 6, 10, 15 \) sayılarıdır.

✅ Bu durumda bir gruptaki öğrenci sayısı \( 6 \) farklı değer alabilir.

Öncelikle \( 28 \) sayısının tüm pozitif tam sayı bölenlerini bulup, kendisi dışındaki bölenleri toplamamız gerekir.

👉 Çözüm Adımları:

• \( 28 \) sayısının pozitif bölenleri: \( 1, 2, 4, 7, 14, 28 \)
• Kendisi hariç pozitif bölenleri: \( 1, 2, 4, 7, 14 \)
• Bu bölenlerin toplamını hesaplayalım:
• \( 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 \)

✅ Kendisi hariç bölenlerinin toplamı \( 28 \) sayısına eşit çıktığı için, \( 28 \) sayısı bir mükemmel sayıdır.

Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir. Kenar uzunlukları tam sayı olduğuna göre, bu kenarlar \( 48 \) sayısının çarpanları olmalıdır.

👉 Çözüm Adımları:

• Çarpımları \( 48 \) olan sayı çiftlerini (kenar uzunluklarını) yazalım:
• \( 1 \times 48 \) için Çevre = \( 2 \times (1 + 48) = 98 \text{ cm} \)
• \( 2 \times 24 \) için Çevre = \( 2 \times (2 + 24) = 52 \text{ cm} \)
• \( 3 \times 16 \) için Çevre = \( 2 \times (3 + 16) = 38 \text{ cm} \)
• \( 4 \times 12 \) için Çevre = \( 2 \times (4 + 12) = 32 \text{ cm} \)
• \( 6 \times 8 \) için Çevre = \( 2 \times (6 + 8) = 28 \text{ cm} \)

💡 Dikdörtgenin çevre uzunluğunun en az olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın seçilmesi gerekir.
✅ En yakın kenarlar \( 6 \text{ cm} \) ve \( 8 \text{ cm} \) olduğundan, en küçük çevre uzunluğu \( 28 \text{ cm} \) olur.

Paketlerdeki kurabiye sayısı hem \( 45 \) sayısının bir çarpanı hem de bir asal sayı olmalıdır. Yani \( 45 \) sayısının asal çarpanlarını bulmalıyız.

👉 Çözüm Adımları:

• \( 45 \) sayısının tüm pozitif çarpanları: \( 1, 3, 5, 9, 15, 45 \)
• Bu çarpanlar arasından asal olanları seçelim:
• \( 3 \) ve \( 5 \) sayıları asaldır.

✅ Pastaneci kurabiyeleri \( 3 \)'erli veya \( 5 \)'erli paketler halinde paketleyebilir.

Programa girilen sayıların pozitif bölen sayılarını ayrı ayrı bulup toplamamız gerekir.

👉 Çözüm Adımları:

• \( 16 \) sayısının pozitif bölenleri: \( 1, 2, 4, 8, 16 \) (Toplam \( 5 \) adet)
• \( 25 \) sayısının pozitif bölenleri: \( 1, 5, 25 \) (Toplam \( 3 \) adet)
• Ekranda yazacak sonuçların toplamı:
• \( 5 + 3 = 8 \)

✅ Doğru cevap \( 8 \) olarak bulunur.

Çarpımları \( 36 \) olan pozitif tam sayı çiftlerini bularak toplamlarını inceleyelim.

👉 Çözüm Adımları:

• \( 1 \times 36 = 36 \) için toplam: \( 1 + 36 = 37 \) (En büyük değer)
• \( 2 \times 18 = 36 \) için toplam: \( 2 + 18 = 20 \)
• \( 3 \times 12 = 36 \) için toplam: \( 3 + 12 = 15 \)
• \( 4 \times 9 = 36 \) için toplam: \( 4 + 9 = 13 \)
• \( 6 \times 6 = 36 \) için toplam: \( 6 + 6 = 12 \) (En küçük değer)

💡 Sayılar birbirine en uzak seçildiğinde toplam en büyük, en yakın seçildiğinde ise toplam en küçük olur.
En büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark: \[ 37 - 12 = 25 \] ✅ Doğru cevap \( 25 \) olur.