Pozitif tam sayıların çarpanları Ders Notu

Bir pozitif tam sayıyı kalansız olarak bölebilen pozitif tam sayılara o sayının pozitif çarpanları veya pozitif bölenleri denir. Bir sayının pozitif çarpanları ile pozitif bölenleri tamamen aynı kümeyi oluşturur. LGS Matematik sorularında bu iki kavram birbirinin yerine sıklıkla kullanılır.

📌 1. Pozitif Çarpan Bulma Yöntemi (Çarpan Çiftleri)

Bir sayının çarpanlarını bulmak için o sayıyı elde edebileceğimiz iki sayının çarpımı şeklinde yazma yöntemi kullanılır. Bu yöntem gökkuşağı yöntemi olarak da adlandırılır.

Örnek: \( 36 \) sayısının pozitif çarpanlarını bulalım.

• \( 1 \times 36 = 36 \)
• \( 2 \times 18 = 36 \)
• \( 3 \times 12 = 36 \)
• \( 4 \times 9 = 36 \)
• \( 6 \times 6 = 36 \)

\( 36 \) sayısının pozitif çarpanları küçükten büyüğe doğru: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 olmak üzere toplam \( 9 \) tanedir.

💡 Önemli Not: Bir tam karenin (örneğin \( 36 = 6^2 \)) pozitif çarpan sayısı tek sayıdadır. Tekrar eden çarpanlar (örnekteki \( 6 \)) kümeye yalnızca bir kez yazılır.

⭐ 2. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar

Sadece \( 1 \)'e ve kendisine tam bölünebilen, \( 1 \)'den büyük pozitif tam sayılara asal sayı denir.

• En küçük asal sayı 2'dir.
• 2 hariç çift olan başka bir asal sayı yoktur.
• En küçük 10 asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Bir pozitif tam sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir.

🛠️ 3. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Bir pozitif tam sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmak için iki temel yöntem kullanılır:

A) Bölen Listesi (Asal Çarpanlar Algoritması)

Sayı yazılır ve yanına dikey bir çizgi çekilir. Sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür. Bölüm \( 1 \) olana kadar işleme devam edilir.

Örnek: \( 60 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

• \( 60 \div 2 = 30 \)
• \( 30 \div 2 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)

Bu durumda \( 60 \) sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı:

\[ 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \]

\( 60 \) sayısının asal çarpanları: \( 2 \), \( 3 \) ve \( 5 \)'tir.

B) Çarpan Ağacı Yöntemi

Verilen sayı iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Türeyen dallardaki asal olmayan sayılar, tekrar asal çarpanlarına ayrılır. Ağacın uçlarındaki asal sayılar ulaşılan sonucu verir.

🧮 4. Pozitif Çarpan Sayısını Üsler Yardımıyla Bulma

Bir pozitif tam sayı asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra pozitif çarpan sayısını bulmak için üsler birer artırılarak çarpılır.

Bir \( A \) sayısı asal çarpanlarına şu şekilde ayrılsın: \( A = a^x \times b^y \times c^z \)

Pozitif Çarpan Sayısı = \( (x + 1) \times (y + 1) \times (z + 1) \)

Sayı	Üslü Gösterim	Pozitif Çarpan Sayısı Hesabı	Çarpan Sayısı
\( 72 \)	\( 2^3 \times 3^2 \)	\( (3 + 1) \times (2 + 1) = 4 \times 3 \)	\( 12 \)
\( 100 \)	\( 2^2 \times 5^2 \)	\( (2 + 1) \times (2 + 1) = 3 \times 3 \)	\( 9 \)

✏️ LGS Tipi Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1: Alanı \( 48 \text{ cm}^2 \) olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer pozitif tam sayıdır. Bu dikdörtgenin çevre uzunluğunun alabileceği en büyük değer kaç santimetredir?

Çözüm:

Dikdörtgenin alanı kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir. Kenar uzunlukları \( 48 \) sayısının pozitif çarpan çiftleridir.

• \( 1 \times 48 = 48 \) ise Çevre = \( 2 \times (1 + 48) = 2 \times 49 = 98 \text{ cm} \)
• \( 2 \times 24 = 48 \) ise Çevre = \( 2 \times (2 + 24) = 2 \times 26 = 52 \text{ cm} \)
• \( 3 \times 16 = 48 \) ise Çevre = \( 2 \times (3 + 16) = 2 \times 19 = 38 \text{ cm} \)
• \( 4 \times 12 = 48 \) ise Çevre = \( 2 \times (4 + 12) = 2 \times 16 = 32 \text{ cm} \)
• \( 6 \times 8 = 48 \) ise Çevre = \( 2 \times (6 + 8) = 2 \times 14 = 28 \text{ cm} \)

Çevrenin en büyük değeri kenar uzunluklarının birbirine en uzak olduğu durumda elde edilir. Bu nedenle cevap 98 cm'dir.

Soru 2: \( 180 \) sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

Çözüm:

\( 180 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

\[ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \]

\( 180 \) sayısının asal çarpanları: \( 2 \), \( 3 \) ve \( 5 \)'tir.

Asal çarpanların toplamı = \( 2 + 3 + 5 = 10 \)