🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Pisagor teoremi Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Pisagor teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 3 cm ve 4 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Pisagor teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Teoremi hatırlayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( a = 3 \) cm, \( b = 4 \) cm.
- Hesaplama: \( 3^2 + 4^2 = c^2 \)
- \( 9 + 16 = c^2 \)
- \( 25 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{25} \)
- Sonuç: \( c = 5 \) cm.
Örnek 2:
Bir dik üçgende hipotenüs 13 cm ve bir dik kenar 5 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Pisagor teoremini kullanarak bilinmeyen dik kenarı bulabiliriz.
- Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: \( c = 13 \) cm, \( a = 5 \) cm. \( b \) bilinmiyor.
- Yerine koyma: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Hesaplama: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakma: \( b^2 = 169 - 25 \)
- \( b^2 = 144 \)
- Karekök alma: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm.
Örnek 3:
Bir televizyon ekranının köşegen uzunluğu 50 inçtir. Ekranın en ve boy oranının 4:3 olduğu biliniyor. Bu televizyonun en ve boy uzunluklarını bulunuz. (İpucu: Ekranın eni ve boyu dik kenarları, köşegeni ise hipotenüsü oluşturur.) 📺
Çözüm:
Bu problemde, ekranın enini \( 4x \) ve boyunu \( 3x \) olarak alabiliriz. Köşegen ise hipotenüs olacaktır.
- Pisagor teoremi: \( (4x)^2 + (3x)^2 = 50^2 \)
- Kareleri alma: \( 16x^2 + 9x^2 = 2500 \)
- Terimleri birleştirme: \( 25x^2 = 2500 \)
- \( x^2 \) yalnız bırakma: \( x^2 = \frac{2500}{25} \)
- \( x^2 = 100 \)
- Karekök alma: \( x = \sqrt{100} \)
- \( x = 10 \) inç.
- En uzunluğu: \( 4x = 4 \times 10 = 40 \) inç.
- Boy uzunluğu: \( 3x = 3 \times 10 = 30 \) inç.
Örnek 4:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri \( x \) cm, diğeri \( x+7 \) cm ve hipotenüsü \( x+8 \) cm'dir. \( x \) değerini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Verilen kenar uzunluklarını Pisagor teoreminde yerine koyarak \( x \) değerini bulabiliriz.
- Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerler: \( a = x \), \( b = x+7 \), \( c = x+8 \)
- Yerine koyma: \( x^2 + (x+7)^2 = (x+8)^2 \)
- Parantez kareleri açma: \( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = (x^2 + 16x + 64) \)
- Terimleri birleştirme: \( 2x^2 + 14x + 49 = x^2 + 16x + 64 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplama: \( 2x^2 - x^2 + 14x - 16x + 49 - 64 = 0 \)
- Denklemi sadeleştirme: \( x^2 - 2x - 15 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırma: \( (x-5)(x+3) = 0 \)
- Olası çözümler: \( x = 5 \) veya \( x = -3 \)
- Kenar uzunlukları negatif olamayacağı için \( x = -3 \) çözümünü eleriz.
- Sonuç: \( x = 5 \) cm.
Örnek 5:
Bir bahçe duvarının yüksekliği 4 metre ve duvarın dibinden 3 metre uzağa yerleştirilmiş bir merdivenin duvara tam olarak değdiği biliniyor. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. Merdiven hipotenüs, duvar yüksekliği ve zemindeki mesafe ise dik kenarlar olacaktır.
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: Duvar yüksekliği \( a = 4 \) m, zemindeki mesafe \( b = 3 \) m. Merdiven uzunluğu \( c \) bilinmiyor.
- Yerine koyma: \( 4^2 + 3^2 = c^2 \)
- Hesaplama: \( 16 + 9 = c^2 \)
- \( 25 = c^2 \)
- Karekök alma: \( c = \sqrt{25} \)
- Sonuç: \( c = 5 \) m.
Örnek 6:
Dik kenarları 6 birim ve 8 birim olan bir dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü hesaplayalım.
- Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: \( a = 6 \), \( b = 8 \)
- Yerine koyma: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Hesaplama: \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- Karekök alma: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) birim.
Örnek 7:
Bir dik üçgenin hipotenüsü \( \sqrt{50} \) cm ve bir dik kenarı 5 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz. ↔️
Çözüm:
Pisagor teoremi ile bilinmeyen dik kenarı bulabiliriz.
- Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: \( c = \sqrt{50} \) cm, \( a = 5 \) cm. \( b \) bilinmiyor.
- Yerine koyma: \( 5^2 + b^2 = (\sqrt{50})^2 \)
- Hesaplama: \( 25 + b^2 = 50 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakma: \( b^2 = 50 - 25 \)
- \( b^2 = 25 \)
- Karekök alma: \( b = \sqrt{25} \)
- Sonuç: \( b = 5 \) cm.
Örnek 8:
Bir parkta, bir ağacın tepesinden yere dik olarak inen bir ip bulunmaktadır. İpin uzunluğu 15 metredir. İpin ucundan 9 metre uzağa bir nokta işaretleniyor ve bu noktadan ağacın tepesine doğru bir çizgi çekiliyor. Bu çizginin uzunluğu kaç metredir? (Ağacın kendisi dik kenar, ipin ucundan işaretlenen nokta ile ağacın tabanı arasındaki mesafe diğer dik kenar ve çekilen çizgi hipotenüstür.) 🌳
Çözüm:
Bu problemi bir dik üçgen modeliyle çözebiliriz.
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: Ağacın yüksekliği (ip uzunluğu) \( a = 15 \) m, ipin ucundan işaretlenen nokta ile ağacın tabanı arasındaki mesafe \( b = 9 \) m. Çekilen çizginin uzunluğu \( c \) bilinmiyor.
- Yerine koyma: \( 15^2 + 9^2 = c^2 \)
- Hesaplama: \( 225 + 81 = c^2 \)
- \( 306 = c^2 \)
- Karekök alma: \( c = \sqrt{306} \)
- \( \sqrt{306} \) yaklaşık olarak \( 17.5 \) m'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-pisagor-teoremi/sorular