🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Pisagor Bağıntısı Cebirsel İfadeler Temel Açıortay Yükseklik Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Pisagor Bağıntısı Cebirsel İfadeler Temel Açıortay Yükseklik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunlukları 3 cm ve 4 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Bağıntısı'nı kullanacağız. 💡
- Pisagor Bağıntısı: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Yani, \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülüyle ifade edilir.
- Burada, dik kenarlar \( a = 3 \) cm ve \( b = 4 \) cm'dir. Hipotenüs ise \( c \) olsun.
- Formülü uygulayalım: \[ 3^2 + 4^2 = c^2 \]
- Kareleri alalım: \[ 9 + 16 = c^2 \]
- Toplayalım: \[ 25 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \)'yi bulalım: \[ c = \sqrt{25} \] \[ c = 5 \]
Örnek 2:
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu 13 cm ve dik kenarlardan birinin uzunluğu 5 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Yine Pisagor Bağıntısı'nı kullanarak eksik kenar uzunluğunu bulabiliriz. 📌
- Pisagor Bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Burada hipotenüs \( c = 13 \) cm ve dik kenarlardan biri \( a = 5 \) cm'dir. Diğer dik kenar \( b \) olsun.
- Formülü uygulayalım: \[ 5^2 + b^2 = 13^2 \]
- Kareleri alalım: \[ 25 + b^2 = 169 \]
- \( b^2 \)'yi yalnız bırakmak için 25'i eşitliğin diğer tarafına atalım: \[ b^2 = 169 - 25 \] \[ b^2 = 144 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( b \)'yi bulalım: \[ b = \sqrt{144} \] \[ b = 12 \]
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde A açısı 90 derecedir. Dik kenarların uzunlukları \( x \) cm ve \( x+7 \) cm, hipotenüs uzunluğu ise \( x+8 \) cm'dir. Buna göre \( x \) değerini bulunuz. 🔢
Çözüm:
Bu problemde Pisagor Bağıntısı ile Cebirsel İfadeleri birleştireceğiz. 👉
- Pisagor Bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Dik kenarlar \( a = x \) ve \( b = x+7 \). Hipotenüs \( c = x+8 \).
- Formülü uygulayalım: \[ x^2 + (x+7)^2 = (x+8)^2 \]
- Cebirsel ifadelerin karelerini açalım:
- \( (x+7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49 \)
- \( (x+8)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 + 16x + 64 \)
- Denklemde yerine yazalım: \[ x^2 + (x^2 + 14x + 49) = x^2 + 16x + 64 \]
- Denklemi düzenleyelim: \[ 2x^2 + 14x + 49 = x^2 + 16x + 64 \]
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \[ 2x^2 - x^2 + 14x - 16x + 49 - 64 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 15 = 0 \]
- Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları -15, toplamları -2 olan iki sayı -5 ve 3'tür: \[ (x-5)(x+3) = 0 \]
- Buradan \( x-5 = 0 \) veya \( x+3 = 0 \) olur.
- \( x = 5 \) veya \( x = -3 \).
- Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = -3 \) değeri geçersizdir.
Örnek 4:
Bir üçgenin taban uzunluğu \( 2x+4 \) birim ve bu tabana ait yüksekliği \( x \) birimdir. Üçgenin alanı 24 birim kare olduğuna göre, \( x \) değerini bulunuz. 📐
Çözüm:
Üçgenin alan formülünü kullanarak cebirsel ifade içeren bu denklemi çözeceğiz. 💡
- Üçgenin alanı formülü: \( \text{Alan} = \frac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2} \).
- Verilenleri formülde yerine yazalım: \[ 24 = \frac{(2x+4) \cdot x}{2} \]
- Eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım: \[ 24 \cdot 2 = (2x+4) \cdot x \] \[ 48 = 2x^2 + 4x \]
- Tüm terimleri bir tarafa toplayıp denklemi düzenleyelim: \[ 2x^2 + 4x - 48 = 0 \]
- Denklemi sadeleştirmek için her tarafı 2'ye bölelim: \[ x^2 + 2x - 24 = 0 \]
- Bu denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları -24, toplamları 2 olan iki sayı 6 ve -4'tür: \[ (x+6)(x-4) = 0 \]
- Buradan \( x+6 = 0 \) veya \( x-4 = 0 \) olur.
- \( x = -6 \) veya \( x = 4 \).
- Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = -6 \) değeri geçersizdir.
Örnek 5:
Bir açıortay üzerinde alınan bir noktanın açının bir koluna olan uzaklığı 7 cm'dir. Bu noktanın açının diğer koluna olan uzaklığı kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Temel Açıortay bilgisini kullanarak bu soruyu kolayca çözebiliriz. 📌
- Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçası veya ışındır.
- Açıortayın temel özelliği şudur: Açıortay üzerindeki herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.
- Soruda, açıortay üzerinde alınan bir noktanın açının bir koluna olan uzaklığı 7 cm olarak verilmiştir.
- Açıortay özelliğine göre, bu noktanın açının diğer koluna olan uzaklığı da aynı olmak zorundadır.
Örnek 6:
Eymen, evinin duvarına 10 metre uzunluğunda bir merdiven dayamıştır. Merdivenin ayağı duvardan 6 metre uzaklıkta yere değmektedir. Merdivenin ucu duvarda kaç metre yüksekliğe ulaşmıştır? (Duvarın zeminle dik açı yaptığını varsayınız.) 🪜
Çözüm:
Bu bir günlük hayat ve yeni nesil sorusu olup, Pisagor Bağıntısı kullanılarak çözülür. 💡
- Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.
- Merdivenin uzunluğu hipotenüs (\( c \)) olarak kabul edilir: \( c = 10 \) metre.
- Merdivenin ayağının duvardan uzaklığı dik kenarlardan biridir (\( a \)): \( a = 6 \) metre.
- Merdivenin duvarda ulaştığı yükseklik diğer dik kenardır (\( b \)) ve bunu bulmamız gerekiyor.
- Pisagor Bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Formülü uygulayalım: \[ 6^2 + b^2 = 10^2 \]
- Kareleri alalım: \[ 36 + b^2 = 100 \]
- \( b^2 \)'yi yalnız bırakmak için 36'yı eşitliğin diğer tarafına atalım: \[ b^2 = 100 - 36 \] \[ b^2 = 64 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( b \)'yi bulalım: \[ b = \sqrt{64} \] \[ b = 8 \]
Örnek 7:
Bir dikdörtgen şeklindeki spor sahasının uzun kenarı 24 metre, kısa kenarı ise 7 metredir. Bu sahanın bir köşesinden karşı köşesine çapraz olarak koşacak bir sporcu en az kaç metre koşmuş olur? 🏃♂️
Çözüm:
Bu bir günlük hayat problemidir ve Pisagor Bağıntısı ile çözülür. 🌍
- Dikdörtgenin köşegen uzunluğu, dikdörtgeni iki tane dik üçgene ayırır.
- Dikdörtgenin kenarları bu dik üçgenlerin dik kenarlarıdır.
- Sahanın uzun kenarı (\( a \)): \( a = 24 \) metre.
- Sahanın kısa kenarı (\( b \)): \( b = 7 \) metre.
- Köşegen uzunluğu (\( c \)) hipotenüstür ve bunu bulmamız gerekiyor.
- Pisagor Bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Formülü uygulayalım: \[ 24^2 + 7^2 = c^2 \]
- Kareleri alalım: \[ 576 + 49 = c^2 \]
- Toplayalım: \[ 625 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \)'yi bulalım: \[ c = \sqrt{625} \] \[ c = 25 \]
Örnek 8:
Bir ikizkenar üçgenin eşit kenarları 10 cm uzunluğundadır. Taban uzunluğu ise 12 cm'dir. Bu üçgenin tabanına ait yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz. 🔼
Çözüm:
Bu problemde, ikizkenar üçgenin özellikleri ve Pisagor Bağıntısı'nı bir arada kullanacağız. 💡
- İkizkenar üçgende tabana indirilen yükseklik, aynı zamanda tabanı iki eşit parçaya böler (kenarortaydır) ve tepe açısını da iki eşit parçaya böler (açıortaydır).
- Yüksekliği çizdiğimizde, üçgen iki eş dik üçgene ayrılır.
- Eşit kenarlar hipotenüs olur: \( c = 10 \) cm.
- Taban 12 cm olduğu için, yükseklik tabanı ikiye böldüğünde her bir parça \( \frac{12}{2} = 6 \) cm olur. Bu, dik üçgenin bir dik kenarıdır (\( a = 6 \) cm).
- Yüksekliğin uzunluğu diğer dik kenardır (\( b \)) ve bunu bulmamız gerekiyor.
- Pisagor Bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Formülü uygulayalım: \[ 6^2 + b^2 = 10^2 \]
- Kareleri alalım: \[ 36 + b^2 = 100 \]
- \( b^2 \)'yi yalnız bırakmak için 36'yı eşitliğin diğer tarafına atalım: \[ b^2 = 100 - 36 \] \[ b^2 = 64 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( b \)'yi bulalım: \[ b = \sqrt{64} \] \[ b = 8 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-pisagor-bagintisi-cebirsel-ifadeler-temel-aciortay-yukseklik/sorular