💡 8. Sınıf Matematik: Piramitler Çözümlü Örnekler

Piramitlerin hacmini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Hacim = \( \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \)

• Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
  Piramidin tabanı kare olduğundan, taban alanı bir kenarının karesidir.
  Taban Alanı = \( 6 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2 \)
• Adım 2: Hacmi Hesaplama
  Şimdi formülde verilen değerleri yerine koyalım.
  Hacim = \( \frac{1}{3} \times 36 \text{ cm}^2 \times 10 \text{ cm} \)
• Adım 3: Sonucu Bulma
  Hacim = \( 12 \text{ cm}^2 \times 10 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^3 \)

Dolayısıyla, piramidin hacmi 120 cm³'tür. ✅

Piramidin hacim formülü:

Hacim = \( \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \)

• Adım 1: Eşkenar Üçgenin Alanını Hesaplama
  Eşkenar üçgenin alanı \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \) formülü ile bulunur, burada \( a \) kenar uzunluğudur.
  Taban Alanı = \( \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ birim}^2 \)
• Adım 2: Hacmi Hesaplama
  Formülde değerleri yerine koyalım.
  Hacim = \( \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \text{ birim}^2 \times 9 \text{ birim} \)
• Adım 3: Sonucu Bulma
  Hacim = \( \frac{1}{3} \times 36\sqrt{3} \text{ birim}^3 = 12\sqrt{3} \text{ birim}^3 \)

Bu piramidin hacmi \( 12\sqrt{3} \) birimküptür. 🚀

Öncelikle piramidin taban ayrıtını bulalım. Taban kare olduğu için, taban alanı kenar uzunluğunun karesidir.

• Adım 1: Taban Ayrıtını Bulma
  Taban Alanı = \( a^2 \)
  \( 64 \text{ cm}^2 = a^2 \)
  \( a = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \)
• Adım 2: Yanal Yüzey Alanından Yan Yüksekliği Bulma
  Kare dik piramidin yanal yüzey alanı 4 adet eş üçgenden oluşur. Bir üçgenin alanı = \( \frac{\text{Yanal Yüzey Alanı}}{4} \).
  Bir Yanal Üçgenin Alanı = \( \frac{160 \text{ cm}^2}{4} = 40 \text{ cm}^2 \)
  Üçgenin alanı \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yan yükseklik} \) formülü ile bulunur.
  \( 40 \text{ cm}^2 = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} \times h_y \) (Burada \( h_y \) yan yüksekliktir.)
  \( 40 \text{ cm}^2 = 4 \text{ cm} \times h_y \)
  \( h_y = \frac{40}{4} = 10 \text{ cm} \)
• Adım 3: Yüksekliği Bulma
  Piramidin yüksekliği, yan yüksekliği ve taban ayrıtının yarısı ile bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende Pisagor teoremini uygulayabiliriz: \( h^2 + (\frac{a}{2})^2 = h_y^2 \)
  \( h^2 + (\frac{8}{2})^2 = 10^2 \)
  \( h^2 + 4^2 = 100 \)
  \( h^2 + 16 = 100 \)
  \( h^2 = 100 - 16 = 84 \)
  \( h = \sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21} \text{ cm} \)

Piramidin yüksekliği \( 2\sqrt{21} \) cm'dir. 💡

Bu problemde, piramidin taban alanı ve hacmi istenmektedir.

• Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
  Piramidin tabanı kare olduğundan, taban alanı bir kenarının karesidir.
  Taban Alanı = \( \text{taban ayrıtı} \times \text{taban ayrıtı} \)
  Taban Alanı = \( 12 \text{ m} \times 12 \text{ m} = 144 \text{ m}^2 \)
• Adım 2: Hacmi Hesaplama
  Piramit hacim formülü: Hacim = \( \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \)
  Hacim = \( \frac{1}{3} \times 144 \text{ m}^2 \times 8 \text{ m} \)
• Adım 3: Sonucu Bulma
  Hacim = \( 48 \text{ m}^2 \times 8 \text{ m} = 384 \text{ m}^3 \)

Yapının taban alanı 144 m² ve hacmi 384 m³'tür. 👷

Bu senaryoda, çikolata piramidinin hacmini hesaplamamız gerekiyor.

• Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
  Piramidin tabanı kare olduğu için, taban alanı kenar uzunluğunun karesidir.
  Taban Alanı = \( 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2 \)
• Adım 2: Hacmi Hesaplama
  Piramit hacim formülü: Hacim = \( \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \)
  Hacim = \( \frac{1}{3} \times 100 \text{ cm}^2 \times 15 \text{ cm} \)
• Adım 3: Sonucu Bulma
  Hacim = \( \frac{1}{3} \times 1500 \text{ cm}^3 = 500 \text{ cm}^3 \)

Bu çikolata piramidinin hacmi 500 cm³'tür. Lezzetli bir hesaplama! 😋

Bu problemde hem taban ayrıtını hem de yan yüzey alanını bulmamız gerekiyor.

• Adım 1: Taban Ayrıtını Hesaplama
  Hacim formülünü kullanarak taban alanını bulalım: Hacim = \( \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \)
  \( 300 = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times 12 \)
  \( 300 = 4 \times \text{Taban Alanı} \)
  Taban Alanı = \( \frac{300}{4} = 75 \text{ birim}^2 \)
  Taban kare olduğu için, taban ayrıtı \( a \) ise \( a^2 = 75 \).
  \( a = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \text{ birim} \)
• Adım 2: Yan Yüksekliği Hesaplama
  Piramidin yüksekliği, taban ayrıtının yarısı ve yan yükseklik ile bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoremini kullanalım: \( h^2 + (\frac{a}{2})^2 = h_y^2 \)
  \( 12^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 = h_y^2 \)
  \( 144 + \frac{25 \times 3}{4} = h_y^2 \)
  \( 144 + \frac{75}{4} = h_y^2 \)
  \( \frac{576 + 75}{4} = h_y^2 \)
  \( \frac{651}{4} = h_y^2 \)
  \( h_y = \sqrt{\frac{651}{4}} = \frac{\sqrt{651}}{2} \text{ birim} \)
• Adım 3: Yan Yüzey Alanını Hesaplama
  Yan yüzey alanı, 4 eşkenar üçgenin alanıdır. Bir üçgenin alanı \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yan yükseklik} \).
  Bir Yanal Üçgenin Alanı = \( \frac{1}{2} \times 5\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{651}}{2} = \frac{5\sqrt{3 \times 651}}{4} = \frac{5\sqrt{1953}}{4} \) birim²
  Yan Yüzey Alanı = \( 4 \times \frac{5\sqrt{1953}}{4} = 5\sqrt{1953} \text{ birim}^2 \)

Piramidin taban ayrıtı \( 5\sqrt{3} \) birim ve yan yüzey alanı \( 5\sqrt{1953} \) birim²'dir. 🧐

Bu problemde, verilen hacim ve taban ayrıtından piramidin yüksekliğini hesaplamamız gerekiyor.

• Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
  Piramidin tabanı kare olduğundan, taban alanı kenar uzunluğunun karesidir.
  Taban Alanı = \( 8 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 64 \text{ cm}^2 \)
• Adım 2: Yüksekliği Hesaplama
  Hacim formülünü kullanalım: Hacim = \( \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \)
  \( 128 \text{ cm}^3 = \frac{1}{3} \times 64 \text{ cm}^2 \times \text{Yükseklik} \)
• Adım 3: Yüksekliği Bulma
  \( 128 = \frac{64}{3} \times \text{Yükseklik} \)
  Yükseklik = \( 128 \times \frac{3}{64} \)
  Yükseklik = \( 2 \times 3 = 6 \text{ cm} \)

Piramidin yüksekliği 6 cm'dir. Öğrenciler bu sonuca kolayca ulaşacaktır. 👍

Bu, piramitlerin gerçek dünyadaki büyüklüğünü anlamak için harika bir örnektir.

• Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
  Piramidin tabanı kare kabul edildiğinde, taban alanı kenar uzunluğunun karesidir.
  Taban Alanı ≈ \( 230.3 \text{ m} \times 230.3 \text{ m} \approx 53038.09 \text{ m}^2 \)
• Adım 2: Hacmi Hesaplama
  Piramit hacim formülü: Hacim = \( \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \)
  Hacim ≈ \( \frac{1}{3} \times 53038.09 \text{ m}^2 \times 146.6 \text{ m} \)
• Adım 3: Sonucu Bulma
  Hacim ≈ \( \frac{1}{3} \times 7775406.974 \text{ m}^3 \approx 2591802.32 \text{ m}^3 \)

Keops Piramidi'nin hacmi yaklaşık olarak 2.6 milyon metreküp civarındadır. Gerçekten devasa bir yapı! 😮