🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Özdeşlikler Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Özdeşlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki cebirsel ifadeyi özdeşlik kullanarak açınız: \( (x+3)^2 \)
Çözüm:
Bu soruyu \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) özdeşliğini kullanarak çözebiliriz.
- Burada \( a = x \) ve \( b = 3 \) olarak alabiliriz.
- Özdeşlikte yerine koyalım: \( x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \)
- İfadeyi sadeleştirelim: \( x^2 + 6x + 9 \)
Örnek 2:
\( (y-5)^2 \) ifadesini özdeşlik kullanarak açınız.
Çözüm:
Bu soruda \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) özdeşliğini kullanacağız.
- Burada \( a = y \) ve \( b = 5 \) olarak belirlenir.
- Özdeşlikte yerine yazalım: \( y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 \)
- İfadeyi sadeleştirelim: \( y^2 - 10y + 25 \)
Örnek 3:
\( (2a+1)(2a-1) \) çarpımını özdeşlik kullanarak hesaplayınız.
Çözüm:
Bu çarpım için \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) iki kare farkı özdeşliğini kullanacağız.
- Bu özdeşlikte \( a = 2a \) ve \( b = 1 \) olarak alabiliriz.
- Özdeşlik formülüne göre: \( (2a)^2 - 1^2 \)
- Karesini alıp sadeleştirelim: \( 4a^2 - 1 \)
Örnek 4:
\( (x+y)^2 - (x-y)^2 \) işleminin sonucunu sadeleştirerek bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda iki farklı özdeşliği kullanacağız: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) ve \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
- İlk ifadeyi açalım: \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
- İkinci ifadeyi açalım: \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)
- Şimdi çıkarma işlemini yapalım: \( (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) \)
- Eksiyi içeri dağıtalım: \( x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 \)
- Benzer terimleri bir araya getirip sadeleştirelim: \( (x^2 - x^2) + (y^2 - y^2) + (2xy + 2xy) = 0 + 0 + 4xy \)
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( (3m+2) \) birim olan kare şeklindeki bir bahçenin alanı, \( (3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot 2 + 2^2 \) şeklinde ifade edilmiştir. Bu ifadeyi sadeleştirerek bahçenin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz.
Çözüm:
Bahçenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi alınarak bulunur. Kenar uzunluğu \( (3m+2) \) birimdir.
- Alan, \( (3m+2)^2 \) şeklinde ifade edilir.
- Soruda verilen ifade, \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) özdeşliğinin açılımıdır.
- Burada \( a = 3m \) ve \( b = 2 \) olarak alınmıştır.
- Özdeşliği uygulayarak alanı hesaplayalım: \( (3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot 2 + 2^2 \)
- Karesini alıp çarpma işlemlerini yapalım: \( 9m^2 + 12m + 4 \)
Örnek 6:
Bir manav, tanesi \( (x+5) \) TL olan elmalardan \( (x-5) \) tane satmıştır. Manavın bu satıştan elde ettiği toplam geliri gösteren cebirsel ifadeyi bulunuz.
Çözüm:
Toplam gelir, satılan ürün adedi ile birim fiyatının çarpımına eşittir.
- Elma adedi: \( (x-5) \) tane
- Elma birim fiyatı: \( (x+5) \) TL
- Toplam Gelir = Elma Adedi \( \times \) Elma Birim Fiyatı
- Toplam Gelir = \( (x-5) \cdot (x+5) \)
- Bu çarpım, \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) iki kare farkı özdeşliğini kullanılarak hesaplanabilir.
- Burada \( a = x \) ve \( b = 5 \) alınır.
- Özdeşliği uygulayalım: \( x^2 - 5^2 \)
- Sonucu sadeleştirelim: \( x^2 - 25 \)
Örnek 7:
\( (a+b+c)^2 \) ifadesini özdeşlik kullanarak açınız.
Çözüm:
Bu ifadeyi iki adımda açabiliriz. Önce \( (a+b) \) terimini bir bütün olarak düşünelim.
- \( (a+b+c)^2 = ((a+b)+c)^2 \)
- Şimdi \( (X+c)^2 = X^2 + 2Xc + c^2 \) özdeşliğini kullanalım, burada \( X = (a+b) \).
- \( (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2 \)
- Şimdi \( (a+b)^2 \) ifadesini açalım: \( a^2 + 2ab + b^2 \)
- İkinci terimi dağıtalım: \( 2ac + 2bc \)
- Tüm terimleri birleştirelim: \( a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \)
- Terimleri standart sıraya göre düzenleyelim: \( a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \)
Örnek 8:
\( (x-y)^2 = 16 \) ve \( x \cdot y = 3 \) olduğuna göre, \( x^2 + y^2 \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu \( (x-y)^2 \) özdeşliğini kullanarak çözeceğiz.
- \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) özdeşliğini biliyoruz.
- Soruda \( (x-y)^2 = 16 \) olarak verilmiş.
- Bu durumda, \( x^2 - 2xy + y^2 = 16 \) olur.
- Soruda \( x \cdot y = 3 \) olarak verilmiş. Bu değeri özdeşlikte yerine koyalım.
- \( x^2 - 2(3) + y^2 = 16 \)
- Çarpma işlemini yapalım: \( x^2 - 6 + y^2 = 16 \)
- \( x^2 + y^2 \) ifadesini yalnız bırakmak için -6'yı denklemin diğer tarafına atalım.
- \( x^2 + y^2 = 16 + 6 \)
- Toplama işlemini yapalım: \( x^2 + y^2 = 22 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-ozdeslikler/sorular