🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Öteleme ve yansıma Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Öteleme ve yansıma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir A noktasının koordinatları \( (3, 5) \) olarak verilmiştir. Bu nokta, x eksenine göre 2 birim aşağı ötelenirse yeni noktanın koordinatları ne olur? 💡
Çözüm:
Bu soruda, bir noktanın x eksenine göre ötelemesi incelenmektedir.
Adım 1: Noktanın orijinal koordinatlarını belirleyelim.
- Orijinal nokta A'nın koordinatları \( (3, 5) \) şeklindedir.
Adım 2: Öteleme işlemini uygulayalım.
- Nokta, x eksenine göre 2 birim aşağı öteleniyor. Bu, y koordinatından 2 çıkarılması anlamına gelir.
- Yeni y koordinatı: \( 5 - 2 = 3 \)
- x koordinatı değişmez: \( 3 \)
Adım 3: Yeni noktanın koordinatlarını yazalım.
- Yeni noktanın koordinatları \( (3, 3) \) olur. ✅
Örnek 2:
Bir B noktasının koordinatları \( (-2, 4) \) olarak verilmiştir. Bu nokta, y eksenine göre 3 birim sağa ötelenirse yeni noktanın koordinatları ne olur? 👉
Çözüm:
Bu soruda, bir noktanın y eksenine göre ötelemesi ele alınmaktadır.
Adım 1: Noktanın orijinal koordinatlarını not edelim.
- Orijinal nokta B'nin koordinatları \( (-2, 4) \) şeklindedir.
Adım 2: Öteleme yönünü ve miktarını dikkate alalım.
- Nokta, y eksenine göre 3 birim sağa öteleniyor. Bu, x koordinatına 3 eklenmesi anlamına gelir.
- Yeni x koordinatı: \( -2 + 3 = 1 \)
- y koordinatı değişmez: \( 4 \)
Adım 3: Yeni noktanın koordinatlarını oluşturalım.
- Yeni noktanın koordinatları \( (1, 4) \) olur. 💡
Örnek 3:
Koordinat düzleminde C(1, 2) noktasının x eksenine göre yansıması C' noktasıdır. C' noktasının y eksenine göre yansıması ise C'' noktasıdır. C'' noktasının koordinatları nedir? 🤔
Çözüm:
Bu soruda, noktanın ardışık iki yansıma işlemi sonucundaki son konumu sorulmaktadır.
Adım 1: C noktasının x eksenine göre yansımasını bulalım.
- Bir noktanın x eksenine göre yansıması alındığında, x koordinatı aynı kalır, y koordinatının işareti değişir.
- C(1, 2) noktasının x eksenine göre yansıması C' noktasıdır.
- C' noktasının koordinatları \( (1, -2) \) olur.
Adım 2: C' noktasının y eksenine göre yansımasını bulalım.
- Bir noktanın y eksenine göre yansıması alındığında, y koordinatı aynı kalır, x koordinatının işareti değişir.
- C'(1, -2) noktasının y eksenine göre yansıması C'' noktasıdır.
- C'' noktasının koordinatları \( (-1, -2) \) olur. ✅
Örnek 4:
D(-3, -1) noktasının orijine göre simetriği D' noktasıdır. D' noktasının koordinatları ne olur? 🔄
Çözüm:
Bu soruda, bir noktanın orijine göre simetriği alınmaktadır.
Adım 1: Orijine göre simetri kavramını hatırlayalım.
- Bir noktanın orijine göre simetriği, noktanın hem x hem de y koordinatlarının işaretlerinin değiştirilmesiyle bulunur.
Adım 2: D noktasının koordinatlarını ve işlemimizi uygulayalım.
- Orijinal nokta D'nin koordinatları \( (-3, -1) \) şeklindedir.
- x koordinatının işareti değişir: \( -(-3) = 3 \)
- y koordinatının işareti değişir: \( -(-1) = 1 \)
Adım 3: D' noktasının koordinatlarını belirleyelim.
- D' noktasının koordinatları \( (3, 1) \) olur. 💡
Örnek 5:
Bir teknoloji mağazasında, bir cep telefonunun fiyatı ilk hafta 100 TL artmış, ikinci hafta ise ilk haftadaki artış miktarının yarısı kadar azalmıştır. Bu durumu öteleme ve yansıma kavramlarıyla ilişkilendirerek açıklayınız. 📱
Çözüm:
Bu soru, günlük hayattaki değişimleri matematiksel kavramlarla ilişkilendirmeyi amaçlar.
Adım 1: İlk haftadaki fiyat değişimini öteleme olarak düşünelim.
- Cep telefonunun başlangıç fiyatını bir nokta olarak kabul edelim.
- İlk hafta fiyatın 100 TL artması, bu noktanın sayı doğrusunda pozitif yönde 100 birim öteleme yapması gibidir.
- Eğer başlangıç fiyatı P ise, ilk hafta sonunda fiyat \( P + 100 \) TL olur. Bu, \( +100 \) birimlik bir ötelemedir.
Adım 2: İkinci haftadaki fiyat değişimini yansıma ile ilişkilendirelim.
- İkinci hafta, ilk haftadaki artış miktarının yarısı kadar azalma olmuştur.
- İlk haftadaki artış miktarı 100 TL idi. Bunun yarısı \( 100 / 2 = 50 \) TL'dir.
- Fiyat 50 TL azalmıştır. Bu, bir önceki durumdan (ilk hafta sonundaki fiyattan) 50 birimlik bir azalmadır.
- Eğer bunu bir sayı doğrusunda düşünürsek, ilk hafta sonundaki fiyat \( P + 100 \) idi. İkinci hafta sonunda fiyat \( (P + 100) - 50 \) olur.
- Bu azalma miktarını, bir nevi önceki duruma göre "ters yönde" bir hareket olarak düşünebiliriz. Eğer artışı \( +100 \) olarak tanımlarsak, bu azalma \( -50 \) olur. Bu, bir önceki duruma göre yapılan bir yansıma veya tersine hareket olarak yorumlanabilir.
Sonuç: İlk artış bir öteleme iken, ikinci haftadaki azalma bu ötelemenin sonucundan geriye doğru yapılan bir harekettir ve bu hareket, bir önceki duruma göre ters yönde olduğu için yansıma kavramıyla ilişkilendirilebilir. ✅
Örnek 6:
Bir satranç tahtasında, beyaz şah başlangıçta e1 karesindedir. Şah, önce 2 birim sağa, sonra 1 birim yukarı öteleniyor. Sonra bu yeni konumun y eksenine göre yansıması alınıyor. Şahın son konumu hangi kare olur? (Satranç tahtası koordinat sisteminde, 'a' harfi 1. sütunu, '1' rakamı 1. satırı temsil etsin.) ♟️
Çözüm:
Bu soruda, satranç tahtası üzerindeki bir hamleyi öteleme ve yansıma ile analiz etmemiz gerekiyor.
Adım 1: Başlangıç konumunu koordinat olarak belirleyelim.
- 'a' harfi 1. sütun, '1' rakamı 1. satır olsun.
- e1 karesi, 5. sütun (e harfi 5. harf olduğu için) ve 1. satır anlamına gelir.
- Başlangıç konumu: \( (5, 1) \)
Adım 2: Öteleme işlemlerini uygulayalım.
- 2 birim sağa öteleme: x koordinatına 2 eklenir. \( 5 + 2 = 7 \). Yeni konum \( (7, 1) \).
- 1 birim yukarı öteleme: y koordinatına 1 eklenir. \( 1 + 1 = 2 \). Yeni konum \( (7, 2) \).
- Şahın öteleme sonrası konumu \( (7, 2) \) olur.
Adım 3: Elde edilen konumun y eksenine göre yansımasını bulalım.
- Bir noktanın y eksenine göre yansıması alındığında, x koordinatının işareti değişir, y koordinatı aynı kalır.
- Konum \( (7, 2) \) idi.
- Yeni x koordinatı: \( -7 \)
- y koordinatı: \( 2 \)
- Yansıma sonrası konum \( (-7, 2) \) olur.
Adım 4: Satranç tahtası koordinat sistemine geri dönelim.
- Bizim kullandığımız standart koordinat sisteminde \( (-7, 2) \) sonucunu elde ettik. Ancak satranç tahtasında sütunlar 1'den başlar ve harflerle gösterilir.
- Soruda verilen kurala göre: 'a' -> 1, 'b' -> 2, 'c' -> 3, 'd' -> 4, 'e' -> 5, 'f' -> 6, 'g' -> 7, 'h' -> 8.
- Eğer öteleme ve yansıma işlemleri, satranç tahtası üzerindeki karelerin kendi mantığı içinde yapılıyorsa, bu durumda "y eksenine göre yansıma" ifadesi, tahtanın merkezine göre bir simetri olarak yorumlanabilir. Ancak burada verilen "y eksenine göre yansıma" ifadesi, standart kartezyen koordinat sistemi mantığında ele alınmalıdır.
- Eğer soru, satranç tahtası üzerindeki karelerin kendi içinde bir dönüşümünü soruyorsa, "y eksenine göre yansıma" ifadesi biraz muğlak kalır. Ancak standart matematiksel öteleme ve yansıma kurallarını uyguladığımızda:
- Başlangıç: e1 -> \( (5, 1) \)
- 2 birim sağa: \( (5+2, 1) = (7, 1) \)
- 1 birim yukarı: \( (7, 1+1) = (7, 2) \)
- Bu noktanın (7, 2) y eksenine göre yansıması: \( (-7, 2) \) olur.
- Bu sonuç, satranç tahtasının dışına çıkar. Bu tür sorularda, genellikle yansıma veya öteleme işlemi tahtanın sınırları içinde kalacak şekilde yorumlanması istenir. Ancak soruda böyle bir kısıtlama belirtilmemiş.
- Eğer sorunun amacı, standart matematiksel işlemleri satranç tahtası karelerine uygulamaksa, sonuç \( (-7, 2) \) olur. Ancak bu kare satranç tahtasında yoktur.
- Alternatif Yorum (Eğer yansıma tahtanın dikey orta çizgisine göre ise):
- Satranç tahtasında dikey orta çizgi, d ve e sütunları arasındadır.
- (7, 2) noktasının (yani g2 karesinin) bu çizgiye göre yansıması, tahtanın diğer tarafına düşer.
- 7. sütun (g), orta çizgiden 3 birim sağdadır (d-e arası orta nokta 4.5 kabul edilirse).
- Bu durumda yansıması 3 birim solda olur: 4.5 - 3 = 1.5. Bu da b ve c sütunları arasına denk gelir.
- Ancak soruda "y eksenine göre yansıma" denildiği için, standart kartezyen koordinat sistemindeki y eksenini dikkate almak en doğru yaklaşımdır.
- Bu durumda, \( (-7, 2) \) sonucu matematiksel olarak doğrudur ancak satranç tahtası üzerinde bir kareyi temsil etmez.
- Soru metnindeki "y eksenine göre yansıma" ifadesi, eğer satranç tahtası üzerindeki bir dönüşüm olarak düşünülürse, genellikle tahtanın dikey orta çizgisine göre simetri olarak yorumlanabilir. Bu durumda:
- Şah \( (7, 2) \) konumunda.
- Satranç tahtasının dikey orta çizgisi, d ve e sütunları arasındadır (yani x=4.5 gibi düşünülebilir).
- 7. sütun, bu orta çizgiden \( 7 - 4.5 = 2.5 \) birim uzaktadır.
- Yansıması, orta çizginin diğer tarafında \( 2.5 \) birim uzakta olacaktır.
- Yeni sütun numarası: \( 4.5 - 2.5 = 2 \).
- 2. sütun 'b' harfi ile gösterilir.
- Satır numarası değişmez: 2.
- Bu durumda son konum b2 karesi olur. ✅
Örnek 7:
Bir harita üzerinde eviniz A(2, 3) noktasında, okul ise B(5, 7) noktasında bulunmaktadır. Eğer siz evinizden okula doğru 3 birim sağa ve 4 birim yukarı hareket ederseniz, bu hareket öteleme olarak adlandırılır. Okula vardığınızdaki yeni konumunuz ne olur? 🗺️
Çözüm:
Bu soru, günlük hayattaki yolculukları öteleme kavramıyla açıklar.
Adım 1: Başlangıç noktanızı (evinizi) belirleyin.
- Evinizin konumu A(2, 3) olarak verilmiştir.
Adım 2: Yapılan hareketi (öteleme miktarını) tanımlayın.
- Hareket, 3 birim sağa ve 4 birim yukarı şeklindedir.
- Sağa hareket, x koordinatını artırır.
- Yukarı hareket, y koordinatını artırır.
Adım 3: Öteleme işlemini uygulayarak yeni konumu hesaplayın.
- Yeni x koordinatı: \( 2 + 3 = 5 \)
- Yeni y koordinatı: \( 3 + 4 = 7 \)
Adım 4: Varış noktanızın koordinatlarını yazın.
- Yeni konumunuz (okulunuzun konumu) (5, 7) olur.
- Bu, verilen okul konumu B(5, 7) ile aynıdır. Bu da yaptığınız hareketin sizi doğrudan okula ulaştırdığı anlamına gelir. 💡
Örnek 8:
Bir fotoğrafı bilgisayar ekranında düzenlerken, fotoğrafı önce yatayda 50 piksel sağa, sonra dikeyde 30 piksel aşağı taşıdığınızı düşünün. Bu, bir öteleme işlemidir. Eğer fotoğrafın orijinal merkezi (100, 150) ise, öteleme sonrası yeni merkezi neresi olur? 🖼️
Çözüm:
Bu örnek, dijital ortamlarda yapılan işlemleri öteleme ile açıklar.
Adım 1: Fotoğrafın orijinal merkez koordinatlarını belirleyin.
- Orijinal merkez \( (100, 150) \) pikseldir.
Adım 2: Yapılan öteleme miktarını tanımlayın.
- 50 piksel sağa öteleme: x koordinatına 50 eklenir.
- 30 piksel aşağı öteleme: y koordinatından 30 çıkarılır (çünkü ekranlarda y ekseni genellikle aşağı doğru artar, ancak burada "aşağı taşıma" denildiği için standart matematiksel y ekseni gibi düşünülüp 30 çıkarılır veya ekran koordinatına göre 30 eklenir. Soruda "aşağı" denildiği için, standart matematiksel y ekseni gibi düşünüp 30 çıkaralım. Eğer ekran koordinatları kastediliyorsa, y'ye 30 eklenir. LGS müfredatı genellikle standart matematiksel koordinat sistemini temel alır.)
- Standart matematiksel koordinat sistemi varsayımıyla:
- Sağa öteleme: \( +50 \)
- Aşağı öteleme: \( -30 \)
Adım 3: Öteleme işlemini uygulayın.
- Yeni x koordinatı: \( 100 + 50 = 150 \)
- Yeni y koordinatı: \( 150 - 30 = 120 \)
Adım 4: Öteleme sonrası yeni merkezi yazın.
- Öteleme sonrası yeni merkez \( (150, 120) \) piksel olur. ✅
Not: Eğer ekran koordinatları (y'nin aşağı doğru arttığı) kastediliyorsa, yeni y koordinatı \( 150 + 30 = 180 \) olurdu ve sonuç \( (150, 180) \) olurdu. Ancak LGS müfredatında genellikle standart matematiksel koordinat sistemi kullanılır.
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninin köşelerinin koordinatları A(-1, 2), B(3, 4) ve C(0, -3) olarak verilmiştir. Bu üçgenin önce orijine göre simetriği alınıp A'B'C' üçgeni elde ediliyor, ardından A'B'C' üçgeninin y eksenine göre yansıması alınıp A''B''C'' üçgeni elde ediliyor. A'' noktasının koordinatları nedir? 📐
Çözüm:
Bu soruda, bir üçgenin köşelerinin ardışık iki dönüşüm sonucundaki yeni konumları hesaplanmaktadır.
Adım 1: A noktasının orijine göre simetriğini bulunuz.
- Orijine göre simetri, hem x hem de y koordinatlarının işaretini değiştirir.
- A(-1, 2) noktasının orijine göre simetriği A' noktasıdır.
- A' koordinatları: \( (-(-1), -(2)) = (1, -2) \)
Adım 2: A' noktasının y eksenine göre yansımasını bulunuz.
- Y eksenine göre yansıma, x koordinatının işaretini değiştirir, y koordinatı aynı kalır.
- A'(1, -2) noktasının y eksenine göre yansıması A'' noktasıdır.
- A'' koordinatları: \( (-(1), -2) = (-1, -2) \) ✅
Not: Soruda sadece A'' noktasının koordinatları sorulduğu için, B ve C noktalarının dönüşümlerini hesaplamaya gerek yoktur.
Örnek 10:
Bir P(x, y) noktasının y eksenine göre yansıması P'(-4, 5) noktasıdır. Daha sonra P' noktasının x eksenine göre yansıması P''(-4, -5) noktası olarak elde ediliyor. Buna göre P noktasının koordinatları nedir? 🧐
Çözüm:
Bu soru, tersine işlem yaparak başlangıç noktasını bulmayı gerektirir.
Adım 1: P'' noktasının P' noktasına göre dönüşümünü analiz edelim.
- P''(-4, -5) noktası, P'(-4, 5) noktasının x eksenine göre yansımasıdır.
- Bu bilgi soruda verilmiş ve doğrudur, çünkü x eksenine göre yansımada y koordinatının işareti değişir (5 -> -5).
Adım 2: P' noktasının P noktasına göre dönüşümünü analiz edelim.
- P'(-4, 5) noktası, P(x, y) noktasının y eksenine göre yansımasıdır.
- Y eksenine göre yansımada, x koordinatının işareti değişir ve y koordinatı aynı kalır.
- Yani, P' noktasının x koordinatı \( -x \) olmalı ve y koordinatı \( y \) olmalıdır.
- P'(-4, 5) olduğuna göre:
- \( -x = -4 \)
- \( y = 5 \)
Adım 3: P noktasının koordinatlarını bulalım.
- \( -x = -4 \) ise, her iki tarafı -1 ile çarparsak \( x = 4 \) olur.
- \( y = 5 \) olarak zaten bulduk.
Adım 4: P noktasının koordinatlarını yazalım.
- P noktasının koordinatları \( (4, 5) \) olur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-oteleme-ve-yansima/sorular