💡 8. Sınıf Matematik: Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma Çözümlü Örnekler

Bu ifadeyi ortak çarpan parantezine almak için öncelikle her iki terimdeki ortak çarpanı bulmalıyız.

• Adım 1: Terimleri inceleyelim: 3x ve 6y.
• Adım 2: Sayısal katsayılara bakalım: 3 ve 6. Bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) 3'tür.
• Adım 3: Değişkenlere bakalım: x ve y. Bu değişkenler arasında ortak bir çarpan yoktur.
• Adım 4: Dolayısıyla, ifadedeki en büyük ortak çarpan 3'tür.
• Adım 5: Ortak çarpanı (3'ü) parantezin dışına alalım ve parantez içine, her bir terimin ortak çarpana bölünmüş halini yazalım:

3x'i 3'e bölersek x kalır. \( \frac{3x}{3} = x \)

6y'yi 3'e bölersek 2y kalır. \( \frac{6y}{3} = 2y \)

Sonuç olarak ifade şöyle yazılır: \( 3(x + 2y) \)

✅ Yani, 3x + 6y ifadesinin ortak çarpan parantezine alınmış hali \( 3(x + 2y) \)'dir.

Bu ifadeyi ortak çarpan parantezine almak için her iki terimdeki ortak çarpanları belirleyelim.

• Adım 1: Terimler: 8a² ve 12a.
• Adım 2: Sayısal katsayılar: 8 ve 12. Bu sayıların EBOB'u 4'tür.
• Adım 3: Değişkenler: a² ve a. En küçük üslü olan 'a' ortak değişkendir.
• Adım 4: Dolayısıyla, en büyük ortak çarpan 4a'dır.
• Adım 5: Ortak çarpanı (4a'yı) parantezin dışına alalım:

8a²'yi 4a'ya bölelim: \( \frac{8a^2}{4a} = 2a \)

12a'yı 4a'ya bölelim: \( \frac{12a}{4a} = 3 \)

Parantez içine bu sonuçları yazalım: \( 4a(2a - 3) \)

💡 Unutmayın, \( a^2 \) demek \( a \times a \) demektir. Bu yüzden \( \frac{a^2}{a} = a \) olur.

✅ Sonuç: \( 8a^2 - 12a = 4a(2a - 3) \)

Bu soruda, ifadede ortak olan bir parantezli ifade görüyoruz. Bu da bizim ortak çarpanımız olacak!

• Adım 1: İfadeye dikkatlice bakalım: \( 5x(a + b) + 10y(a + b) \).
• Adım 2: Her iki terimde de \( (a + b) \) parantezi ortak olarak bulunuyor.
• Adım 3: Bu ortak parantezi \( (a + b) \) dışarı alalım.
• Adım 4: Parantezin dışına aldığımız \( (a + b) \) çarpanından sonra, geriye kalan terimlerin katsayılarını parantez içine yazalım. İlk terimde 5x, ikinci terimde 10y kalır.

Bu durumda ifade şöyle olur: \( (a + b)(5x + 10y) \)

📌 Bu ifadeyi daha da sadeleştirebilir miyiz? Evet! \( 5x + 10y \) terimindeki 5 ve 10'un ortak çarpanı 5'tir. Bu 5'i de parantez dışına alabiliriz.

\( (a + b) \times 5(x + 2y) \)

Bu da \( 5(a + b)(x + 2y) \) şeklinde yazılabilir.

✅ Sonuç: \( 5x(a + b) + 10y(a + b) = 5(a + b)(x + 2y) \)

Bu soruda hem sayısal katsayıları hem de değişkenlerin kuvvetlerini göz önünde bulundurarak ortak çarpanı bulacağız.

• Adım 1: Terimleri inceleyelim: \( 15m^3n^2 \) ve \( 20m^2n^3 \).
• Adım 2: Sayısal katsayılar: 15 ve 20. En büyük ortak bölenleri 5'tir.
• Adım 3: 'm' değişkenlerine bakalım: \( m^3 \) ve \( m^2 \). Ortak olan ve en küçük üsse sahip olan \( m^2 \)'dir.
• Adım 4: 'n' değişkenlerine bakalım: \( n^2 \) ve \( n^3 \). Ortak olan ve en küçük üsse sahip olan \( n^2 \)'dir.
• Adım 5: Bu durumda, ifadenin en büyük ortak çarpanı \( 5m^2n^2 \)'dir.
• Adım 6: Bu ortak çarpanı parantezin dışına alalım:

İlk terimi \( 5m^2n^2 \)'ye bölelim: \( \frac{15m^3n^2}{5m^2n^2} = 3m \)

İkinci terimi \( 5m^2n^2 \)'ye bölelim: \( \frac{20m^2n^3}{5m^2n^2} = 4n \)

Parantez içine bu sonuçları yazalım: \( 5m^2n^2(3m - 4n) \)

✅ Sonuç: \( 15m^3n^2 - 20m^2n^3 = 5m^2n^2(3m - 4n) \)

Bu problemi çözmek için önce toplam domates ve biber miktarını ayrı ayrı hesaplayıp sonra ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanacağız.

• Adım 1: Çiftçinin topladığı toplam domates miktarını bulalım.
• Domates kasası sayısı: 3x
• Her domates kasasının kapasitesi: 10 kg
• Toplam domates miktarı: \( 3x \times 10 \) kg = \( 30x \) kg
• Adım 2: Çiftçinin topladığı toplam biber miktarını bulalım.
• Biber kasası sayısı: 5x
• Her biber kasasının kapasitesi: 8 kg
• Toplam biber miktarı: \( 5x \times 8 \) kg = \( 40x \) kg
• Adım 3: Çiftçinin taşıyabileceği toplam ürün miktarını hesaplamak için domates ve biber miktarlarını toplayalım: \( 30x + 40x \) kg.
• Adım 4: Bu toplam ifadeyi ortak çarpan parantezine alalım.
• Terimler: \( 30x \) ve \( 40x \).
• Sayısal katsayılar: 30 ve 40. EBOB'ları 10'dur.
• Değişken: x. Ortak değişkendir.
• En büyük ortak çarpan: \( 10x \).
• Adım 5: Ortak çarpanı \( 10x \) parantezin dışına alalım:
• \( \frac{30x}{10x} = 3 \)
• \( \frac{40x}{10x} = 4 \)
• İfade: \( 10x(3 + 4) \)
• Adım 6: Parantez içini toplayalım: \( 10x(7) \).

✅ Sonuç: Çiftçinin taşıyabileceği toplam ürün miktarı \( 70x \) kg'dır. Ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle bu ifade \( 10x(3 + 4) \) şeklinde gösterilebilir, bu da toplamda \( 70x \) kg'a eşittir.

Bu günlük hayat örneğinde, marketin paketleyeceği toplam ürün miktarını ortak çarpan parantezine alma ile bulacağız.

• Adım 1: Toplam elma miktarını hesaplayalım.
• Elma paket sayısı: 4a
• Her elma paketinin kapasitesi: 5 kg
• Toplam elma miktarı: \( 4a \times 5 \) kg = \( 20a \) kg
• Adım 2: Toplam portakal miktarını hesaplayalım.
• Portakal paket sayısı: 6a
• Her portakal paketinin kapasitesi: 3 kg
• Toplam portakal miktarı: \( 6a \times 3 \) kg = \( 18a \) kg
• Adım 3: Marketin paketleyeceği toplam ürün miktarını bulmak için elma ve portakal miktarlarını toplayalım: \( 20a + 18a \) kg.
• Adım 4: Bu toplam ifadeyi ortak çarpan parantezine alalım.
• Terimler: \( 20a \) ve \( 18a \).
• Sayısal katsayılar: 20 ve 18. EBOB'ları 2'dir.
• Değişken: a. Ortak değişkendir.
• En büyük ortak çarpan: \( 2a \).
• Adım 5: Ortak çarpanı \( 2a \) parantezin dışına alalım:
• \( \frac{20a}{2a} = 10 \)
• \( \frac{18a}{2a} = 9 \)
• İfade: \( 2a(10 + 9) \)
• Adım 6: Parantez içini toplayalım: \( 2a(19) \).

✅ Sonuç: Marketin paketleyeceği toplam ürün miktarı \( 38a \) kg'dır. Ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle bu ifade \( 2a(10 + 9) \) şeklinde gösterilebilir, bu da toplamda \( 38a \) kg'a eşittir.

Bu soruda, ortak çarpanımız hem bir sayı hem de bir parantezli ifade olacaktır. Dikkatli olalım!

• Adım 1: İfadeye yakından bakalım: \( 7(x-y)^2 + 14(x-y) \).
• Adım 2: İki terimde de ortak olan \( (x-y) \) ifadesini görüyoruz.
• Adım 3: Ayrıca, katsayılar 7 ve 14. Bu sayıların EBOB'u 7'dir.
• Adım 4: Dolayısıyla, en büyük ortak çarpanımız \( 7(x-y) \)'dir.
• Adım 5: Bu ortak çarpanı parantezin dışına alalım:

İlk terimi \( 7(x-y) \)'ye bölelim: \( \frac{7(x-y)^2}{7(x-y)} = (x-y) \). (Çünkü \( (x-y)^2 \) demek \( (x-y) \times (x-y) \) demektir.)

İkinci terimi \( 7(x-y) \)'ye bölelim: \( \frac{14(x-y)}{7(x-y)} = 2 \).

Parantez içine bu sonuçları yazalım: \( 7(x-y)((x-y) + 2) \)

💡 Parantez içindeki \( (x-y) + 2 \) ifadesini daha fazla sadeleştiremeyiz.

✅ Sonuç: \( 7(x-y)^2 + 14(x-y) = 7(x-y)(x-y+2) \)

Bu soruda, üç terimli bir ifadeyi ortak çarpan parantezine alacağız. Her terimdeki ortak çarpanı dikkatlice bulmalıyız.

• Adım 1: Terimleri inceleyelim: \( x^2y \), \( -xy^2 \), \( xy \).
• Adım 2: 'x' değişkenlerine bakalım: \( x^2 \), \( x \), \( x \). En küçük üsse sahip olan 'x' ortak değişkendir.
• Adım 3: 'y' değişkenlerine bakalım: \( y \), \( y^2 \), \( y \). En küçük üsse sahip olan 'y' ortak değişkendir.
• Adım 4: Sayısal katsayılar hepsi 1 olduğu için ortak çarpan sadece değişkenlerden oluşacaktır.
• Adım 5: Bu durumda, en büyük ortak çarpan \( xy \)'dir.
• Adım 6: Bu ortak çarpanı parantezin dışına alalım:

İlk terimi \( xy \)'ye bölelim: \( \frac{x^2y}{xy} = x \)

İkinci terimi \( xy \)'ye bölelim: \( \frac{-xy^2}{xy} = -y \)

Üçüncü terimi \( xy \)'ye bölelim: \( \frac{xy}{xy} = 1 \)

Parantez içine bu sonuçları yazalım: \( xy(x - y + 1) \)

✅ Sonuç: \( x^2y - xy^2 + xy = xy(x - y + 1) \)