📝 8. Sınıf Matematik: Kesir Ders Notu
8. Sınıf Matematik: Kesirler 🚀
Kesirler, bir bütünün parçalarını ifade etmek için kullanılan matematiksel ifadelerdir. Bir kesir, yatay bir çizgi ile ayrılan iki sayıdan oluşur. Üstteki sayıya pay, alttaki sayıya ise payda denir. Payda, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösterirken, pay ise bu parçalardan kaç tanesinin alındığını belirtir.
Kesir Çeşitleri
Kesirler genel olarak üç ana gruba ayrılır:
- Basit Kesirler: Payı paydasından küçük olan kesirlerdir. Bu kesirler daima 1'den küçüktür. Örneğin: \( \frac{1}{2} \), \( \frac{3}{4} \), \( \frac{7}{10} \).
- Bileşik Kesirler: Payı paydasına eşit veya payı paydasından büyük olan kesirlerdir. Bu kesirler 1'e eşit veya 1'den büyüktür. Örneğin: \( \frac{5}{5} \), \( \frac{7}{3} \), \( \frac{10}{4} \).
- Tam Sayılı Kesirler: Bir tam sayı ile bir basit kesrin toplamından oluşan kesirlerdir. Örneğin: \( 1 \frac{1}{2} \), \( 3 \frac{2}{5} \).
Kesirlerde İşlemler
1. Kesirleri Genişletme ve Sadeleştirme
Bir kesrin değerini değiştirmeden pay ve paydasını aynı sayıyla çarpmak kesri genişletmektir. Pay ve paydasını aynı sayıyla bölmek ise kesri sadeleştirmektir.
- Genişletme: \( \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \) (Burada \( k \) sıfırdan farklı bir tam sayıdır.)
- Sadeleştirme: \( \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} \) (Burada \( k \), \( a \) ve \( b \)'nin ortak bölenlerinden biridir.)
Örnek:
- \( \frac{1}{3} \) kesrini 2 ile genişletirsek: \( \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \).
- \( \frac{12}{18} \) kesrini 6 ile sadeleştirirsek: \( \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} \).
2. Kesirleri Toplama ve Çıkarma
Kesirleri toplamak veya çıkarmak için paydalarının eşit olması gerekir. Eğer paydalar eşit değilse, kesirler eşitlenene kadar genişletilir.
- Paydalar Eşitse: Paylar toplanır veya çıkarılır, payda aynı kalır. \[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \] \[ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \]
- Paydalar Eşit Değilse: Önce paydalar eşitlenir, sonra paylar toplanır veya çıkarılır. \[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{ad+cb}{bd} \]
Örnek:
- \( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} \)
- \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \). Önce paydaları eşitleyelim (6'da buluşurlar): \( \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)
3. Kesirleri Çarpma
Kesirleri çarpmak için paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]Örnek:
- \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15} \)
4. Kesirleri Bölme
Bir kesri başka bir kesre bölmek, birinci kesri ikinci kesrin ters çevrilmiş haliyle çarpmak demektir.
\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]Örnek:
- \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3 \times 2}{4 \times 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
Devirli Ondalık Sayılar ve Kesirler
Bazı rasyonel sayılar ondalık olarak ifade edildiğinde sonsuza kadar devam eder ve belirli bir rakam veya rakam grubu tekrar eder. Bu sayılara devirli ondalık sayılar denir.
Bir devirli ondalık sayıyı kesre çevirmek için şu adımlar izlenir:
- Ondalık sayının tamamı virgülsüz olarak yazılır.
- Virgülden sonraki tam kısım çıkarılır.
- Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 paydaya yazılır.
Örnek:
- \( 0.333... \) sayısını kesre çevirelim:
- Tamamı virgülsüz: 3
- Tam kısım (virgülden önceki): 0
- Virgülden sonra devreden basamak sayısı: 1 (3 rakamı). Payda 9 olur.
- \( 1.272727... \) sayısını kesre çevirelim:
- Tamamı virgülsüz: 127
- Tam kısım (virgülden önceki): 1
- Virgülden sonra devreden basamak sayısı: 2 (27 rakamı). Payda 99 olur.