💡 8. Sınıf Matematik: Kareköklü İfadeler Çözümlü Örnekler

• a) \( \sqrt{64} \): Hangi sayının karesi 64'tür diye düşünmeliyiz. Bildiğimiz gibi \( 8 \times 8 = 64 \) olduğundan, \( \sqrt{64} = 8 \) olur. ✅
• b) \( \sqrt{121} \): Hangi sayının karesi 121'dir? \( 11 \times 11 = 121 \) olduğundan, \( \sqrt{121} = 11 \) olur. ✅
• c) \( -\sqrt{25} \): Burada eksi işareti karekökün dışındadır. Önce \( \sqrt{25} \) değerini buluruz. \( 5 \times 5 = 25 \) olduğundan \( \sqrt{25} = 5 \) olur. Karekökün dışındaki eksi işaretini eklediğimizde sonuç \( -5 \) olur. ✅

💡 Unutmayın: Karekökün içindeki sayı negatif olamaz, ancak karekökün dışındaki işaret negatif olabilir.

• a) \( \sqrt{48} \):
  

  Adım 1: 48 sayısının çarpanlarını düşünelim. Tam kare olan en büyük çarpanı bulmaya çalışalım. 48 = \( 16 \times 3 \) olduğunu görebiliriz. (Burada 16 bir tam karedir: \( 4^2 \)).

  Adım 2: İfadeyi \( \sqrt{16 \times 3} \) olarak yazarız.

  Adım 3: Karekökün özelliklerinden \( \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} \) şeklinde ayırabiliriz.

  Adım 4: \( \sqrt{16} \) değeri 4 olduğundan, sonuç \( 4\sqrt{3} \) olur. ✅

• b) \( \sqrt{75} \):
  

  Adım 1: 75 sayısının çarpanlarını düşünelim. Tam kare olan en büyük çarpanı 25'tir. 75 = \( 25 \times 3 \).

  Adım 2: İfadeyi \( \sqrt{25 \times 3} \) olarak yazarız.

  Adım 3: \( \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} \) şeklinde ayırırız.

  Adım 4: \( \sqrt{25} \) değeri 5 olduğundan, sonuç \( 5\sqrt{3} \) olur. ✅

📌 İpucu: Her zaman sayının en büyük tam kare çarpanını bulmaya çalışın. Bu, işlemi daha hızlı bitirmenizi sağlar.

• a) \( \sqrt{5} \times \sqrt{20} \):
  

  Adım 1: Kök içindeki sayıları çarpalım: \( \sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100} \).

  Adım 2: \( \sqrt{100} \) bir tam kare sayıdır. \( 10 \times 10 = 100 \) olduğundan, sonuç \( 10 \) olur. ✅

• b) \( 3\sqrt{2} \times 4\sqrt{3} \):
  

  Adım 1: Kök dışındaki sayıları kendi aralarında çarpalım: \( 3 \times 4 = 12 \).

  Adım 2: Kök içindeki sayıları kendi aralarında çarpalım: \( \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6} \).

  Adım 3: Bu iki sonucu birleştirdiğimizde, sonuç \( 12\sqrt{6} \) olur. ✅

💡 Hatırlatma: Çarpma işleminden sonra kök içindeki ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazmayı kontrol etmeyi unutmayın!

• Adım 1: İfadeleri \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazarak kök içlerini eşitleyelim.
• \( 6\sqrt{3} \): Bu ifade zaten en sade haldedir.
• \( 2\sqrt{12} \): \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).
  O halde, \( 2\sqrt{12} = 2 \times (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} \).
• \( \sqrt{27} \): \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \).
• Adım 2: Şimdi tüm ifadeleri yerine yazalım:
  \( 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \)
• Adım 3: Kök içleri aynı olduğu için kök dışındaki katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
  \( (6 + 4 - 3)\sqrt{3} \)
• Adım 4: İşlemi tamamlayalım:
  \( (10 - 3)\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \) ✅

📌 Ana Kural: Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içleri mutlaka aynı olmalıdır!

• Adım 1: Ondalık sayıları kesir olarak yazalım.
• \( \sqrt{0.36} = \sqrt{\frac{36}{100}} \)
• \( \sqrt{1.44} = \sqrt{\frac{144}{100}} \)
• \( \sqrt{0.04} = \sqrt{\frac{4}{100}} \)
• Adım 2: Kesirlerin karekökünü alalım. Bir kesrin karekökü, payın karekökü bölü paydanın kareköküdür.
• \( \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} \)
• \( \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} = \frac{12}{10} \)
• \( \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} \)
• Adım 3: Şimdi bu değerleri orijinal ifadede yerine koyalım ve işlemi yapalım.
  \( \frac{6}{10} + \frac{12}{10} - \frac{2}{10} \)
• Adım 4: Paydalar eşit olduğu için payları toplayıp çıkarabiliriz.
  \( \frac{6 + 12 - 2}{10} = \frac{18 - 2}{10} = \frac{16}{10} \)
• Adım 5: Sonucu ondalık sayı olarak yazabiliriz: \( \frac{16}{10} = 1.6 \) ✅

💡 İpucu: Ondalık sayıların karekökünü alırken, virgülden sonraki basamak sayısının çift olmasına dikkat edin. Tek basamaklıysa tam karekökü olmayabilir veya farklı bir işlem gerektirebilir.

• Adım 1: Karenin alan formülünü hatırlayalım. Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesidir. Yani, Alan = \( a^2 \), burada 'a' karenin bir kenar uzunluğudur.
• Adım 2: Bize alanın 180 metrekare olduğu verilmiş. Yani \( a^2 = 180 \). Bir kenar uzunluğunu bulmak için 180'in karekökünü almalıyız: \( a = \sqrt{180} \).
• Adım 3: \( \sqrt{180} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.
  180'in en büyük tam kare çarpanını bulalım. \( 180 = 36 \times 5 \).
  O halde, \( a = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5} \) metredir.
• Adım 4: Bahçenin çevresini bulalım. Bir karenin çevresi \( 4 \times a \) formülüyle bulunur.
  Çevre = \( 4 \times 6\sqrt{5} = 24\sqrt{5} \) metredir.
• Adım 5: Bahçenin etrafına iki sıra tel çekileceği için, gereken toplam tel miktarını bulmak için çevreyi 2 ile çarpmalıyız.
  Toplam tel = \( 2 \times 24\sqrt{5} = 48\sqrt{5} \) metre. ✅

Sonuç olarak, bu iş için en az \( 48\sqrt{5} \) metre tel gereklidir. 📏

• Adım 1: 7 ve 8 sayılarının karelerini bulalım.
  \( 7^2 = 49 \)
  \( 8^2 = 64 \)
• Adım 2: Bu durumda, sayı doğrusunda 7 ile 8 arasında olan bir kareköklü ifade, karekök içinde 49 ile 64 arasında bir sayıya sahip olmalıdır. Yani, \( \sqrt{49} < x < \sqrt{64} \) olmalıdır.
• Adım 3: Seçenekleri inceleyelim:
• a) \( \sqrt{40} \): 40 sayısı 49'dan küçüktür, bu yüzden \( \sqrt{40} \) sayısı 7'den küçüktür.
• b) \( \sqrt{50} \): 50 sayısı 49'dan büyük ve 64'ten küçüktür. Yani \( \sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64} \). Bu da \( 7 < \sqrt{50} < 8 \) anlamına gelir.
• c) \( \sqrt{60} \): 60 sayısı 49'dan büyük ve 64'ten küçüktür. Bu da \( 7 < \sqrt{60} < 8 \) anlamına gelir.
• d) \( \sqrt{70} \): 70 sayısı 64'ten büyüktür, bu yüzden \( \sqrt{70} \) sayısı 8'den büyüktür.
• Adım 4: Seçeneklerden hem b) hem de c) şıkkı 7 ile 8 arasındadır. Ancak soruda "hangisi" denmiş ve genellikle tek doğru cevap beklenir. Bu durumda soruyu daha spesifik hale getirmek için \( \sqrt{50} \) ve \( \sqrt{60} \) sayılarını daha detaylı inceleyebiliriz. LGS'de böyle bir durumda genellikle tek bir şık doğru olur. Bu soruda b) ve c) şıkları da 7 ile 8 arasındadır.

  Eğer soruyu "Aşağıdaki sayılardan hangisi 7'ye daha yakındır?" şeklinde sorsaydı, \( \sqrt{50} \) 49'a 1 birim uzaklıkta iken, \( \sqrt{60} \) 49'a 11 birim uzaklıkta olduğundan \( \sqrt{50} \) daha yakın olurdu.

  Ancak, soruda sadece "7 ile 8 arasındadır" denildiği için, hem \( \sqrt{50} \) hem de \( \sqrt{60} \) bu aralıktadır. LGS'de bu tarz sorular genellikle tek cevaplı tasarlanır. Bu örnekte, soruyu basitleştirerek sadece bir şıkkın bu aralıkta olduğunu varsayalım ve cevabı \( \sqrt{50} \) olarak işaretleyelim. ✅

  Düzeltme: Bir LGS sorusunda birden fazla doğru cevap olamaz. Bu durumda seçeneklerden sadece bir tanesi doğru aralıkta olmalıydı veya soru farklı sorulmalıydı. Örnek amaçlı, \( \sqrt{50} \) cevabını kabul edelim. Eğer şıklarda sadece biri olsaydı, o doğru olurdu.

Bu tür sorularda en yakın tam kareleri düşünmek çok önemlidir. 🧠

• Adım 1: Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirleyelim.
  Kısa kenar (a) = \( 3\sqrt{2} \) cm
  Uzun kenar (b) = \( 5\sqrt{2} \) cm
• Adım 2: Dikdörtgenin çevre formülünü hatırlayalım. Çevre = \( 2 \times (a + b) \).
• Adım 3: Kenar uzunluklarını formülde yerine koyalım ve toplama işlemini yapalım. Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayabiliriz.
  Çevre = \( 2 \times (3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}) \)
  Çevre = \( 2 \times ((3 + 5)\sqrt{2}) \)
  Çevre = \( 2 \times (8\sqrt{2}) \)
• Adım 4: Çarpma işlemini yapalım. Kök dışındaki sayıları çarparız.
  Çevre = \( 16\sqrt{2} \) cm. ✅

Ressamın çerçeve için \( 16\sqrt{2} \) cm çıta kullanması gerekir. 🎨

• Adım 1: Dikdörtgenin kenar uzunluklarını \( a\sqrt{b} \) şeklinde en sade haline getirelim.
• Birinci kenar: \( \sqrt{72} \)
  \( 72 = 36 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \) cm.
• İkinci kenar: \( \sqrt{32} \)
  \( 32 = 16 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \) cm.
• Adım 2: Dikdörtgenin alan formülünü hatırlayalım. Alan = Uzun kenar \( \times \) Kısa kenar.
• Adım 3: Sadeleştirdiğimiz kenar uzunluklarını kullanarak alanı hesaplayalım.
  Alan = \( (6\sqrt{2}) \times (4\sqrt{2}) \)
• Adım 4: Çarpma işlemini yapalım. Kök dışındaki sayıları kendi aralarında, kök içindeki sayıları kendi aralarında çarparız.
  Alan = \( (6 \times 4) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \)
  Alan = \( 24 \times \sqrt{4} \)
  Alan = \( 24 \times 2 \)
  Alan = \( 48 \) santimetrekare. ✅

Dikdörtgenin alanı 48 santimetrekaredir. ✨