🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Eşlik Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Eşlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm ve \( AC = 9 \) cm'dir.
DEF üçgeninde \( DE = 5 \) cm, \( EF = 7 \) cm ve \( DF = 9 \) cm'dir.
Bu iki üçgen arasındaki eşlik durumunu belirtiniz.
ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm ve \( AC = 9 \) cm'dir.
DEF üçgeninde \( DE = 5 \) cm, \( EF = 7 \) cm ve \( DF = 9 \) cm'dir.
Bu iki üçgen arasındaki eşlik durumunu belirtiniz.
Çözüm:
Bu soruda iki üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir.
- Üçgenlerin karşılıklı kenar uzunluklarını karşılaştıralım:
- \( AB \) kenarı \( DE \) kenarına eşittir (\( 5 \) cm).
- \( BC \) kenarı \( EF \) kenarına eşittir (\( 7 \) cm).
- \( AC \) kenarı \( DF \) kenarına eşittir (\( 9 \) cm).
- Tüm karşılıklı kenar uzunlukları eşit olduğundan, bu iki üçgen Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralına göre eşittir.
- Bu eşlik durumu şu şekilde ifade edilir: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
Örnek 2:
İki tane paralelkenar çizelim.
Birinci paralelkenarın kenar uzunlukları \( 8 \) cm ve \( 12 \) cm, bir iç açısı ise \( 60^\circ \) olsun.
İkinci paralelkenarın kenar uzunlukları \( 12 \) cm ve \( 8 \) cm, bir iç açısı ise \( 120^\circ \) olsun.
Bu paralelkenarlar arasında bir eşlik ilişkisi var mıdır? Açıklayınız.
Birinci paralelkenarın kenar uzunlukları \( 8 \) cm ve \( 12 \) cm, bir iç açısı ise \( 60^\circ \) olsun.
İkinci paralelkenarın kenar uzunlukları \( 12 \) cm ve \( 8 \) cm, bir iç açısı ise \( 120^\circ \) olsun.
Bu paralelkenarlar arasında bir eşlik ilişkisi var mıdır? Açıklayınız.
Çözüm:
Paralelkenarların eşliği için kenar uzunluklarının ve açıların eş olması gerekir.
- Paralelkenarların karşılıklı kenarları birbirine eşittir.
- Verilen birinci paralelkenarın kenarları \( 8 \) cm ve \( 12 \) cm'dir.
- Verilen ikinci paralelkenarın kenarları \( 12 \) cm ve \( 8 \) cm'dir. Bu kenarlar birinci paralelkenarın kenarlarıyla aynı uzunluktadır.
- Ancak, eşlik için açıların da karşılıklı olarak eşit olması gerekir.
- Birinci paralelkenarın bir iç açısı \( 60^\circ \) iken, komşu açısı \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur.
- İkinci paralelkenarın bir iç açısı \( 120^\circ \) verilmiş. Bu, birinci paralelkenarın komşu açısına eşittir.
- Eğer birinci paralelkenarın \( 60^\circ \) olan açısı ile ikinci paralelkenarın \( 120^\circ \) olan açısı karşılıklı gelseydi eşlik olmazdı.
- Ancak, eğer \( 60^\circ \) olan açıları karşılıklı gelirse ve \( 120^\circ \) olan açıları da karşılıklı gelirse bu paralelkenarlar eş olur.
- Soruda verilen bilgilerle, hangi açıların karşılıklı geldiği net olmadığı için kesin bir eşlikten bahsedemeyiz. Eğer \( 60^\circ \) açıları karşılıklı ise ve \( 120^\circ \) açıları karşılıklı ise eşlik vardır.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( AB = AC \) ve \( \angle BAC = 40^\circ \) olarak verilmiştir.
Bir DEF üçgeninde \( DE = DF \) ve \( \angle EDF = 40^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgen arasında bir eşlik ilişkisi kurulabilir mi? Eğer kurulabilirse, hangi eşlik kuralı ile açıklanır?
Bir DEF üçgeninde \( DE = DF \) ve \( \angle EDF = 40^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgen arasında bir eşlik ilişkisi kurulabilir mi? Eğer kurulabilirse, hangi eşlik kuralı ile açıklanır?
Çözüm:
İki üçgenin verilen bilgilerini inceleyelim:
👉 Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açısı ve bu açıların arasındaki kenarları eşittir. Bu kurala göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) eşliği geçerlidir.
- ABC Üçgeni: İkizkenar üçgen olduğundan \( AB = AC \) ve \( \angle ABC = \angle ACB \).
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ \).
- \( 2 \times \angle ABC + 40^\circ = 180^\circ \implies 2 \times \angle ABC = 140^\circ \implies \angle ABC = \angle ACB = 70^\circ \).
- DEF Üçgeni: İkizkenar üçgen olduğundan \( DE = DF \) ve \( \angle DEF = \angle DFE \).
- Aynı şekilde, \( \angle DEF + \angle DFE + \angle EDF = 180^\circ \).
- \( 2 \times \angle DEF + 40^\circ = 180^\circ \implies 2 \times \angle DEF = 140^\circ \implies \angle DEF = \angle DFE = 70^\circ \).
- \( \angle BAC = \angle EDF = 40^\circ \) (Açı-Açı-Açı benzerliği için ilk iki açı yeterlidir, ancak burada tüm açıları bulduk.)
- \( \angle ABC = \angle DEF = 70^\circ \)
- \( \angle ACB = \angle DFE = 70^\circ \)
- \( AB = AC \) ve \( DE = DF \) (Verilmiş)
- Ayrıca \( AB = DE \) ve \( AC = DF \) eşitlikleri de geçerlidir çünkü \( AB = AC \) ve \( DE = DF \) ve \( \angle BAC = \angle EDF \).
👉 Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açısı ve bu açıların arasındaki kenarları eşittir. Bu kurala göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) eşliği geçerlidir.
Örnek 4:
Bir nalbur, demir çubukları belirli uzunluklarda keserek satmaktadır.
Birinci müşterisi için \( 2 \) metre uzunluğunda bir kare prizma çerçeve yapacaktır. Bunun için \( 4 \) adet eşit uzunlukta demir çubuğa ihtiyacı var.
İkinci müşterisi için ise \( 3 \) metre uzunluğunda bir eşkenar üçgen çerçeve yapacaktır. Bunun için \( 3 \) adet eşit uzunlukta demir çubuğa ihtiyacı var.
Eğer bu iki çerçeve birbirine eş ise, kullanılan demir çubukların uzunlukları hakkında ne söylenebilir?
Birinci müşterisi için \( 2 \) metre uzunluğunda bir kare prizma çerçeve yapacaktır. Bunun için \( 4 \) adet eşit uzunlukta demir çubuğa ihtiyacı var.
İkinci müşterisi için ise \( 3 \) metre uzunluğunda bir eşkenar üçgen çerçeve yapacaktır. Bunun için \( 3 \) adet eşit uzunlukta demir çubuğa ihtiyacı var.
Eğer bu iki çerçeve birbirine eş ise, kullanılan demir çubukların uzunlukları hakkında ne söylenebilir?
Çözüm:
Soruda verilen bilgileri dikkatlice inceleyelim:
- Müşteri 1 (Kare Çerçeve):
- Çerçevenin çevresi \( 2 \) metre.
- Kare olduğu için \( 4 \) kenarı vardır ve bu kenarlar birbirine eşittir.
- Her bir kenarın uzunluğu: \( \frac{2 \text{ metre}}{4} = 0.5 \) metre.
- Müşteri 2 (Eşkenar Üçgen Çerçeve):
- Çerçevenin çevresi \( 3 \) metre.
- Eşkenar üçgen olduğu için \( 3 \) kenarı vardır ve bu kenarlar birbirine eşittir.
- Her bir kenarın uzunluğu: \( \frac{3 \text{ metre}}{3} = 1 \) metre.
- İki geometrik şeklin eş olması için, karşılıklı kenarlarının ve karşılıklı açılarının eşit olması gerekir.
- Kare bir şekildir ve tüm açıları \( 90^\circ \) dır.
- Eşkenar üçgenin tüm açıları \( 60^\circ \) dır.
- Bu iki şeklin açıları farklı olduğu için, bu iki çerçeve eş değildir.
- Dolayısıyla, kullanılan demir çubukların uzunluklarının eşit olması gibi bir durum söz konusu değildir.
Örnek 5:
Bir terzi, iki farklı elbise için aynı desende kumaş kullanacaktır.
Elbise 1 için \( 2 \) metre eninde ve \( 3 \) metre boyunda bir kumaş parçası kesiyor.
Elbise 2 için ise \( 3 \) metre eninde ve \( 2 \) metre boyunda bir kumaş parçası kesiyor.
Bu iki kumaş parçası, terzinin kullanacağı elbise kalıplarına göre eş midir? Açıklayınız.
Elbise 1 için \( 2 \) metre eninde ve \( 3 \) metre boyunda bir kumaş parçası kesiyor.
Elbise 2 için ise \( 3 \) metre eninde ve \( 2 \) metre boyunda bir kumaş parçası kesiyor.
Bu iki kumaş parçası, terzinin kullanacağı elbise kalıplarına göre eş midir? Açıklayınız.
Çözüm:
Terzinin kestiği kumaş parçalarını inceleyelim:
- Kumaş 1: Eni \( 2 \) metre, Boyu \( 3 \) metre.
- Kumaş 2: Eni \( 3 \) metre, Boyu \( 2 \) metre.
- Eğer elbise kalıpları belirli bir yönde kesim gerektiriyorsa (örneğin, kumaşın deseninin dikey olması gerekiyorsa), bu iki parça eş olmayacaktır.
- Birinci kumaş \( 2 \times 3 \) boyutlarındayken, ikinci kumaş \( 3 \times 2 \) boyutlarındadır.
- Eğer kalıplar, eni \( 2 \) metre ve boyu \( 3 \) metre olan bir kumaşa göre tasarlanmışsa, \( 3 \times 2 \) boyutlarındaki ikinci kumaş kullanılamaz veya ek kesimler gerektirir.
- Geometrik olarak dikdörtgenler eş midir?
- İki dikdörtgenin eş olması için hem kenar uzunluklarının hem de karşılıklı açıların eşit olması gerekir.
- Her iki kumaş parçası da dikdörtgendir ve tüm açıları \( 90^\circ \) dır.
- Ancak, birinci kumaşın kenarları \( 2 \) ve \( 3 \) iken, ikinci kumaşın kenarları \( 3 \) ve \( 2 \) dir.
- Eğer dikdörtgenleri aynı yönde tutarsak, yani eni enle, boyu boyla karşılarsak, kenar uzunlukları eşittir: \( 2 = 2 \) ve \( 3 = 3 \). Bu durumda eşlik söz konusudur.
- Fakat genellikle kumaş kesiminde en ve boy farklı anlamlara gelebilir.
Örnek 6:
Bir ABCD dörtgeni ile bir EFGH dörtgeni verilmiştir.
ABCD dörtgeninde \( AB = EF \), \( BC = FG \), \( CD = GH \), \( DA = HE \) ve \( \angle ABC = \angle FGH \) olarak verilmiştir.
Bu iki dörtgen arasında bir eşlik ilişkisi kurulabilir mi? Hangi eşlik kuralı ile açıklanır?
ABCD dörtgeninde \( AB = EF \), \( BC = FG \), \( CD = GH \), \( DA = HE \) ve \( \angle ABC = \angle FGH \) olarak verilmiştir.
Bu iki dörtgen arasında bir eşlik ilişkisi kurulabilir mi? Hangi eşlik kuralı ile açıklanır?
Çözüm:
Verilen dörtgenlerin kenar ve açı bilgilerini inceleyelim:
- Kenar Eşlikleri:
- \( AB = EF \)
- \( BC = FG \)
- \( CD = GH \)
- \( DA = HE \)
- Açı Eşliği:
- \( \angle ABC = \angle FGH \)
- Burada dört kenarın da karşılıklı olarak eşit olduğu verilmiş. Bu, dörtgenlerin birbirinin aynısı olabileceği anlamına gelir.
- Ancak, sadece bir çift açının eşit olması, dörtgenlerin eş olduğunu garantilemez.
- Örneğin, bir kare ve bir eşkenar dörtgenin kenar uzunlukları eşit olabilir, ancak açıları farklı olduğu için eş değillerdir.
- Soruda sadece \( \angle ABC = \angle FGH \) eşitliği verilmiş. Diğer açılar hakkında bilgi yok.
- Eğer \( \angle BCD = \angle GHE \), \( \angle CDA = \angle HEF \) ve \( \angle DAB = \angle EFG \) olsaydı, o zaman dörtgenler eş olurdu.
Örnek 7:
İki adet ikizkenar üçgen çizelim.
Birinci ikizkenar üçgenin tepe açısı \( 50^\circ \) ve taban açılarından biri \( 65^\circ \) olsun.
İkinci ikizkenar üçgenin tepe açısı \( 50^\circ \) ve taban açılarından biri \( 65^\circ \) olsun.
Bu iki üçgen arasındaki eşlik durumunu açıklayınız.
Birinci ikizkenar üçgenin tepe açısı \( 50^\circ \) ve taban açılarından biri \( 65^\circ \) olsun.
İkinci ikizkenar üçgenin tepe açısı \( 50^\circ \) ve taban açılarından biri \( 65^\circ \) olsun.
Bu iki üçgen arasındaki eşlik durumunu açıklayınız.
Çözüm:
İki üçgenin de ikizkenar üçgen olduğu ve bazı açıları verilmiştir.
- Birinci Üçgen:
- Tepe açısı \( = 50^\circ \)
- Taban açısı \( = 65^\circ \)
- İkizkenar üçgen olduğu için diğer taban açısı da \( 65^\circ \) olmalıdır.
- Açıların toplamı: \( 50^\circ + 65^\circ + 65^\circ = 180^\circ \). Bu üçgen geçerlidir.
- İkinci Üçgen:
- Tepe açısı \( = 50^\circ \)
- Taban açısı \( = 65^\circ \)
- İkizkenar üçgen olduğu için diğer taban açısı da \( 65^\circ \) olmalıdır.
- Açıların toplamı: \( 50^\circ + 65^\circ + 65^\circ = 180^\circ \). Bu üçgen de geçerlidir.
- Her iki üçgenin de açıları \( 50^\circ, 65^\circ, 65^\circ \) olarak belirlenmiştir.
- Bu, iki üçgenin de aynı açılara sahip olduğu anlamına gelir.
- Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açısı birbirine eşitse, bu üçgenler benzerdir.
- Bu durumda, her iki üçgenin de tüm açıları birbirine eşit olduğu için, bu üçgenler hem benzerdir hem de özel bir durumda eş olabilirler.
- Eğer bu üçgenlerin tepe kenarları da eşitse, o zaman üçgenler KKK eşliği ile de eş olur.
- Ancak, soruda sadece açılar verilmiş. Açıları eşit olan üçgenler benzerdir. Eğer ayrıca tepe kenarları da eşitse eş olurlar.
- Soruda "eşlik durumu" sorulduğu için ve açılar tam olarak eşleştiği için, eğer bu üçgenlerin eş kenarları (yani \( 65^\circ \) lük açıların karşısındaki kenarlar) da eşitse, o zaman üçgenler eşittir.
Örnek 8:
Bir ABCD karesi ve bir EFGH dikdörtgeni verilmiştir.
ABCD karesinin bir kenar uzunluğu \( 6 \) cm'dir.
EFGH dikdörtgeninin kenar uzunlukları \( 6 \) cm ve \( 6 \) cm olarak verilmiştir.
Bu iki şekil arasında bir eşlik ilişkisi kurulabilir mi? Açıklayınız.
ABCD karesinin bir kenar uzunluğu \( 6 \) cm'dir.
EFGH dikdörtgeninin kenar uzunlukları \( 6 \) cm ve \( 6 \) cm olarak verilmiştir.
Bu iki şekil arasında bir eşlik ilişkisi kurulabilir mi? Açıklayınız.
Çözüm:
Verilen şekilleri ve bilgilerini inceleyelim:
- ABCD Karesi:
- Bir kenar uzunluğu \( 6 \) cm.
- Kare olduğu için tüm kenar uzunlukları eşittir: \( AB = BC = CD = DA = 6 \) cm.
- Kare olduğu için tüm iç açıları \( 90^\circ \) dır.
- EFGH Dikdörtgeni:
- Kenar uzunlukları \( 6 \) cm ve \( 6 \) cm.
- Dikdörtgen olduğu için karşılıklı kenarları eşittir.
- Burada verilen kenar uzunlukları \( 6 \) cm ve \( 6 \) cm olduğu için, bu dikdörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.
- Dikdörtgen olduğu için tüm iç açıları \( 90^\circ \) dır.
- Kenarlar:
- Kare: \( 6, 6, 6, 6 \) cm
- Dikdörtgen: \( 6, 6, 6, 6 \) cm
- Tüm karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.
- Açılar:
- Kare: \( 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ \)
- Dikdörtgen: \( 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ \)
- Tüm karşılıklı iç açıları eşittir.
Örnek 9:
Bir mobilya mağazasında iki adet aynı model, ancak farklı boyutlarda sehpa bulunmaktadır.
Sehpa A'nın uzunluğu \( 120 \) cm, genişliği \( 60 \) cm ve yüksekliği \( 40 \) cm'dir.
Sehpa B'nin uzunluğu \( 100 \) cm, genişliği \( 50 \) cm ve yüksekliği \( 40 \) cm'dir.
Bu iki sehpa, mobilya tasarımında eş olarak kabul edilebilir mi? Neden?
Sehpa A'nın uzunluğu \( 120 \) cm, genişliği \( 60 \) cm ve yüksekliği \( 40 \) cm'dir.
Sehpa B'nin uzunluğu \( 100 \) cm, genişliği \( 50 \) cm ve yüksekliği \( 40 \) cm'dir.
Bu iki sehpa, mobilya tasarımında eş olarak kabul edilebilir mi? Neden?
Çözüm:
Mobilya tasarımında eşlik, genellikle şekil ve boyutların birebir aynı olmasını gerektirir.
- Sehpa A:
- Uzunluk: \( 120 \) cm
- Genişlik: \( 60 \) cm
- Yükseklik: \( 40 \) cm
- Sehpa B:
- Uzunluk: \( 100 \) cm
- Genişlik: \( 50 \) cm
- Yükseklik: \( 40 \) cm
- Eşlik için, karşılıklı tüm boyutların (uzunluk, genişlik, yükseklik) eşit olması gerekir.
- Sehpa A'nın uzunluğu \( 120 \) cm iken, Sehpa B'nin uzunluğu \( 100 \) cm'dir. Bu iki uzunluk eşit değildir.
- Sehpa A'nın genişliği \( 60 \) cm iken, Sehpa B'nin genişliği \( 50 \) cm'dir. Bu iki genişlik de eşit değildir.
- Yükseklikler her iki sehpa için de \( 40 \) cm'dir, bu boyut eşittir.
- Ancak, tüm karşılıklı boyutların eşit olması gerektiğinden, bu iki sehpa eş değildir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-eslik/sorular