🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda kenar uzunlukları verilen üçgenlerden hangisi, kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm olan bir ABC üçgenine eş olabilir? 💡
a) Kenarları 5 cm, 7 cm, 8 cm olan KLM üçgeni
b) Kenarları 5 cm, 7 cm, 9 cm olan DEF üçgeni
c) Kenarları 10 cm, 14 cm, 18 cm olan PRS üçgeni
d) Kenarları 2.5 cm, 3.5 cm, 4.5 cm olan TUV üçgeni
Çözüm:
Bir üçgenin başka bir üçgene eş olabilmesi için karşılıklı tüm kenar uzunluklarının ve tüm açılarının eşit olması gerekir. 📌
- a) KLM üçgeninin bir kenarı 8 cm olduğu için ABC üçgenine eş değildir. Kenar uzunlukları farklıdır.
- b) DEF üçgeninin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm'dir. Bu da ABC üçgeninin kenar uzunlukları ile tamamen aynıdır. Dolayısıyla bu iki üçgen eş olabilir. ✅
- c) PRS üçgeninin kenar uzunlukları ABC üçgeninin kenar uzunluklarının iki katıdır. Bu üçgenler benzerdir ancak eş değildir.
- d) TUV üçgeninin kenar uzunlukları ABC üçgeninin kenar uzunluklarının yarısıdır. Bu üçgenler benzerdir ancak eş değildir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde A açısı \( 40^\circ \), B açısı \( 60^\circ \) ve C açısı \( 80^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde ise D açısı \( 40^\circ \) ve E açısı \( 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve eğer benzerlerse hangi benzerlik kuralına göre benzer olduklarını belirleyiniz.
Çözüm:
İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı açılarının eşit olması yeterlidir (Açı-Açı Benzerliği). 📐
- Öncelikle DEF üçgeninin F açısını bulalım. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
\( F = 180^\circ - (D + E) \)
\( F = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) \)
\( F = 180^\circ - 100^\circ \)
\( F = 80^\circ \) - Şimdi ABC ve DEF üçgenlerinin açılarını karşılaştıralım:
- A açısı \( 40^\circ \) ve D açısı \( 40^\circ \). 👉 \( A = D \)
- B açısı \( 60^\circ \) ve E açısı \( 60^\circ \). 👉 \( B = E \)
- C açısı \( 80^\circ \) ve F açısı \( 80^\circ \). 👉 \( C = F \)
- Görüldüğü gibi, iki üçgenin karşılıklı tüm açıları birbirine eşittir. Bu durumda, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. ✅
- Bu benzerlik, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'na göre gerçekleşmiştir.
Örnek 3:
Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir dik üçgenin, benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \) olan daha küçük bir benzerinin kenar uzunlukları ne olur? 📏
Çözüm:
İki üçgen benzer ise, karşılıklı kenarlarının oranları birbirine eşittir ve bu oran benzerlik oranı olarak adlandırılır. 💡
- Verilen üçgenin kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm, \( b = 8 \) cm, \( c = 10 \) cm.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) olarak verilmiştir. Bu, yeni üçgenin kenar uzunluklarının orijinal üçgenin kenar uzunluklarının yarısı olacağı anlamına gelir.
- Yeni üçgenin kenar uzunluklarını \( a', b', c' \) ile gösterelim:
- \( a' = a \times k = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \) cm
- \( b' = b \times k = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \) cm
- \( c' = c \times k = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \) cm
Örnek 4:
Bir mimar, yapacağı bir binanın maketini \( \frac{1}{50} \) ölçekle hazırlamıştır. Maket üzerindeki binanın yüksekliği 30 cm ise, binanın gerçek yüksekliği kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Ölçek, benzerlik oranı prensibine dayanır. Maket üzerindeki her uzunluk, gerçek uzunluğun belirli bir oranda küçültülmüş halidir. 📌
- Ölçek \( = \frac{\text{Maket Uzunluğu}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \) olarak ifade edilir.
- Verilen Ölçek \( = \frac{1}{50} \)
- Maket yüksekliği \( = 30 \) cm
- Gerçek yüksekliği \( x \) ile gösterelim.
- Denklemi kuralım:
\[ \frac{1}{50} = \frac{30 \text{ cm}}{x} \] - İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \)'i bulalım:
\( 1 \times x = 50 \times 30 \) cm
\( x = 1500 \) cm - Soruda gerçek yüksekliğin metre cinsinden istendiğine dikkat edelim. 1 metre = 100 cm olduğu için:
\( x = \frac{1500}{100} \) metre
\( x = 15 \) metre
Örnek 5:
Güneşli bir günde, boyu 1.8 metre olan Ali'nin gölge boyu 2.4 metre olarak ölçülmüştür. Aynı anda, Ali'nin yanında duran bir ağacın gölge boyu ise 8 metre olarak ölçülmüştür. Bu bilgilere göre, ağacın boyu kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Güneş ışınlarının yere paralel geldiği varsayıldığında, Ali ve ağacın oluşturduğu gölgelerle birlikte iki benzer dik üçgen oluşur. Bu, Açı-Açı (AA) benzerliğine bir örnektir. 💡
- Ali'nin boyu = 1.8 m
- Ali'nin gölge boyu = 2.4 m
- Ağacın gölge boyu = 8 m
- Ağacın boyunu \( x \) ile gösterelim.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Yani, boyların oranı gölge boylarının oranına eşit olacaktır:
\[ \frac{\text{Ali'nin Boyu}}{\text{Ağacın Boyu}} = \frac{\text{Ali'nin Gölge Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \] - Değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{1.8}{x} = \frac{2.4}{8} \] - Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak \( x \)'i bulalım:
\( 2.4 \times x = 1.8 \times 8 \)
\( 2.4x = 14.4 \) - Her iki tarafı 2.4'e bölelim:
\( x = \frac{14.4}{2.4} \)
\( x = 6 \) metre
Örnek 6:
Bir dikdörtgenin kısa kenarı 4 cm, uzun kenarı 6 cm'dir. Bu dikdörtgenin benzeri olan başka bir dikdörtgenin uzun kenarı 15 cm ise, kısa kenarı kaç cm'dir? 🖼️
Çözüm:
İki çokgenin benzer olabilmesi için karşılıklı kenarlarının oranları eşit olmalıdır. Bu oran, benzerlik oranıdır. 📌
- Birinci dikdörtgenin kenarları: Kısa kenar \( k_1 = 4 \) cm, Uzun kenar \( u_1 = 6 \) cm.
- İkinci dikdörtgenin kenarları: Uzun kenar \( u_2 = 15 \) cm, Kısa kenarı \( k_2 \) olsun.
- Benzerlik oranını kullanarak denklemi kuralım:
\[ \frac{k_1}{k_2} = \frac{u_1}{u_2} \] - Değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{4}{k_2} = \frac{6}{15} \] - İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 6 \times k_2 = 4 \times 15 \)
\( 6k_2 = 60 \) - Her iki tarafı 6'ya bölelim:
\( k_2 = \frac{60}{6} \)
\( k_2 = 10 \) cm
Örnek 7:
Bir fotoğrafçı, çektiği 10 cm genişliğinde ve 15 cm yüksekliğindeki bir fotoğrafı, aynı oranda küçülterek bir kimlik kartına sığdırmak istiyor. Eğer kimlik kartındaki fotoğrafın genişliği 2 cm olacaksa, yüksekliği kaç cm olmalıdır? 📸
Çözüm:
Fotoğrafın aynı oranda küçültülmesi, orijinal fotoğraf ile küçültülmüş fotoğrafın benzer olması anlamına gelir. Kenar uzunlukları arasındaki oran sabit kalacaktır. 💡
- Orijinal fotoğrafın genişliği \( G_1 = 10 \) cm, yüksekliği \( Y_1 = 15 \) cm.
- Kimlik kartındaki fotoğrafın genişliği \( G_2 = 2 \) cm, yüksekliği \( Y_2 \) olsun.
- Benzerlik prensibine göre, genişliklerin oranı yüksekliklerin oranına eşit olmalıdır:
\[ \frac{G_1}{G_2} = \frac{Y_1}{Y_2} \] - Değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{10}{2} = \frac{15}{Y_2} \] - Sol tarafı sadeleştirelim:
\[ 5 = \frac{15}{Y_2} \] - Şimdi \( Y_2 \)'yi bulmak için içler dışlar çarpımı yapabiliriz veya \( 15 \)'i 5'e bölebiliriz:
\( 5 \times Y_2 = 15 \)
\( Y_2 = \frac{15}{5} \)
\( Y_2 = 3 \) cm
Örnek 8:
Koordinat sisteminde köşelerinin koordinatları A(1,2), B(4,2) ve C(1,6) olan bir ABC üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin x ekseni boyunca 3 birim sağa ötelenmesiyle oluşan A'B'C' üçgeni ile ABC üçgeni arasındaki eşlik durumu hakkında ne söylenebilir? ➡️
Çözüm:
Koordinat sisteminde öteleme, bir şeklin konumunu değiştiren ancak şeklin boyutunu, biçimini veya açısını değiştirmeyen bir dönüşüm hareketidir. 📌
- Öteleme işlemi, bir şeklin her noktasının aynı yönde ve aynı miktarda kaydırılmasıdır. Bu işlem, şeklin sadece yerini değiştirir, kendisini değiştirmez.
- Bir şekil ötelenince, orijinal şekil ile ötelenmiş şekil arasında eşlik ilişkisi oluşur. Çünkü öteleme, kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini korur.
- A(1,2), B(4,2), C(1,6) noktaları x ekseni boyunca 3 birim sağa ötelenirse yeni koordinatlar şöyle olur:
- A' = (1+3, 2) = (4,2)
- B' = (4+3, 2) = (7,2)
- C' = (1+3, 6) = (4,6)
- ABC üçgeni ile A'B'C' üçgeni arasında eşlik vardır. Çünkü öteleme, üçgenin kenar uzunluklarını ve iç açılarını değiştirmemiştir. Sadece koordinat düzlemindeki konumu değişmiştir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-eslik-ve-benzerlik/sorular