📄 8. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlik Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Eşlik, iki geometrik şeklin hem şekil olarak hem de boyut olarak tamamen aynı olması durumudur. Eş şekillerin karşılıklı tüm kenar uzunlukları ve tüm açı ölçüleri birbirine eşittir. Eşlik sembolü \( \cong \) ile gösterilir.
Benzerlik ise, iki geometrik şeklin şekil olarak aynı ancak boyut olarak farklı olması durumudur. Benzer şekillerin karşılıklı açı ölçüleri birbirine eşitken, karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır. Bu orana benzerlik oranı denir. Benzerlik sembolü \( \sim \) ile gösterilir.
Farklar: Eşlikte boyutlar da aynıdır, benzerlikte boyutlar farklı olabilir (orantılıdır). Eşlikte benzerlik oranı her zaman 1'dir. Benzerlikte benzerlik oranı 1'den farklı olabilir.
Benzerlikler: Her iki durumda da karşılıklı açı ölçüleri eşittir. Eş olan her şekil aynı zamanda benzerdir (benzerlik oranı 1 olan benzerlik durumu).

💡 Çözüm Adımları:

Benzer iki şeklin çevre uzunlukları oranı, benzerlik oranına eşittir.
Küçük dikdörtgenin çevresi \( \text{C}_k = 20 \text{ cm} \).
Büyük dikdörtgenin çevresi \( \text{C}_b \).
Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) (küçükten büyüğe oran olarak alalım).
\( \frac{\text{C}_k}{\text{C}_b} = k \Rightarrow \frac{20}{\text{C}_b} = \frac{2}{3} \)
\( 2 \cdot \text{C}_b = 20 \cdot 3 \Rightarrow 2 \cdot \text{C}_b = 60 \Rightarrow \text{C}_b = 30 \text{ cm} \).
Büyük dikdörtgenin çevresi 30 cm'dir.

Benzer iki şeklin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
Küçük dikdörtgenin alanı \( \text{A}_k = 24 \text{ cm}^2 \).
Büyük dikdörtgenin alanı \( \text{A}_b \).
\( \frac{\text{A}_k}{\text{A}_b} = k^2 \Rightarrow \frac{24}{\text{A}_b} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \)
\( \frac{24}{\text{A}_b} = \frac{4}{9} \)
\( 4 \cdot \text{A}_b = 24 \cdot 9 \Rightarrow 4 \cdot \text{A}_b = 216 \Rightarrow \text{A}_b = \frac{216}{4} \Rightarrow \text{A}_b = 54 \text{ cm}^2 \).
Büyük dikdörtgenin alanı 54 \( \text{cm}^2 \)'dir.

💡 Çözüm Adımları:

a) Haritanın ölçeği, harita uzunluğunun gerçek uzunluğa oranıdır. Ancak birimleri aynı yapmalıyız.
1 km = 1000 metre, 1 metre = 100 cm.
10 km = \( 10 \times 1000 \text{ m} = 10000 \text{ m} \).
10000 m = \( 10000 \times 100 \text{ cm} = 1.000.000 \text{ cm} \).
Ölçek = \( \frac{\text{Harita Uzunluğu}}{\text{Gerçek Uzunluk}} = \frac{5 \text{ cm}}{1.000.000 \text{ cm}} = \frac{1}{200.000} \).
Haritanın ölçeği 1:200.000'dir.

b) Harita üzerinde 8 cm olarak gösterilen yolun gerçek uzunluğunu bulalım.
Ölçek = \( \frac{\text{Harita Uzunluğu}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \)
\( \frac{1}{200.000} = \frac{8 \text{ cm}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \)
Gerçek Uzunluk = \( 8 \times 200.000 \text{ cm} = 1.600.000 \text{ cm} \).
Bu uzunluğu kilometreye çevirelim:
\( 1.600.000 \text{ cm} = \frac{1.600.000}{100} \text{ m} = 16.000 \text{ m} \).
\( 16.000 \text{ m} = \frac{16.000}{1000} \text{ km} = 16 \text{ km} \).
Harita üzerinde 8 cm olarak gösterilen yolun gerçek uzunluğu 16 kilometredir.