💡 8. Sınıf Matematik: Eşitsizlik Çözümlü Örnekler

Bu soruda verilen Türkçe ifadeyi matematiksel bir eşitsizliğe dönüştüreceğiz ve ardından sayı doğrusunda göstereceğiz. 📌

• 👉 Adım 1: Eşitsizliği Yazma
  Bilinmeyen sayıyı \( x \) ile gösterelim. "Bir sayının 3 fazlası" demek \( x + 3 \) demektir. "10'dan küçüktür" ifadesi ise \( < 10 \) anlamına gelir. Bu durumda eşitsizliğimiz:
  \[ x + 3 < 10 \]
• 👉 Adım 2: Eşitsizliği Çözme
  Eşitsizliğin her iki tarafından 3 çıkaralım (denklem çözer gibi):
  \[ x + 3 - 3 < 10 - 3 \] \[ x < 7 \] Bu, \( x \) sayısının 7'den küçük tüm gerçek sayılar olabileceği anlamına gelir. ✅
• 👉 Adım 3: Sayı Doğrusunda Gösterme
  Sayı doğrusunda 7 noktasını buluruz. Eşitsizlik \( x < 7 \) olduğu için 7 sayısının kendisi çözüme dahil değildir. Bu yüzden 7 noktasının üzerine boş bir yuvarlak çizeriz. Daha sonra 7'den küçük tüm sayıları kapsayacak şekilde sol tarafı kalın bir çizgiyle belirtiriz. 💡
  

  ...<--|---|---|---|---|---|---
  ... -1 0 1 2 3 4 5 6 (7) --->
  (7'nin üzeri boş daire, sol tarafı kalın çizgi)

Bu eşitsizliği çözerken, denklem çözme adımlarına benzer adımlar izleyeceğiz. Tek fark, eşitsizlik sembolünün yönü! 🚀

• 👉 Adım 1: Sabit Terimi Karşıya Atma
  Eşitsizliğin sol tarafındaki \( -5 \) terimini sağ tarafa \( +5 \) olarak geçirelim:
  \[ 2x \ge 11 + 5 \] \[ 2x \ge 16 \]
• 👉 Adım 2: Her İki Tarafı Katsayıya Bölme
  \( x \)'in katsayısı olan 2'ye, eşitsizliğin her iki tarafını da bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez. 💡
  \[ \frac{2x}{2} \ge \frac{16}{2} \] \[ x \ge 8 \]
• 👉 Adım 3: Çözüm Kümesini Belirtme
  Çözüm kümesi, 8'e eşit veya 8'den büyük tüm gerçek sayılardır. ✅

Bu eşitsizlikte hem sol hem de sağ tarafta \( x \) terimleri var. Amacımız \( x \) terimlerini bir tarafta, sabit terimleri ise diğer tarafta toplamak. 🎯

• 👉 Adım 1: \( x \) Terimlerini Bir Tarafta Toplama
  Sağ taraftaki \( x \) terimini sol tarafa \( -x \) olarak geçirelim:
  \[ 4x - x + 7 < -2 \] \[ 3x + 7 < -2 \]
• 👉 Adım 2: Sabit Terimi Karşıya Atma
  Sol taraftaki \( +7 \) terimini sağ tarafa \( -7 \) olarak geçirelim:
  \[ 3x < -2 - 7 \] \[ 3x < -9 \]
• 👉 Adım 3: Her İki Tarafı Katsayıya Bölme
  \( x \)'in katsayısı olan 3'e, eşitsizliğin her iki tarafını da bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez. 💡
  \[ \frac{3x}{3} < \frac{-9}{3} \] \[ x < -3 \]
• 👉 Adım 4: Çözüm Kümesini Belirtme
  Çözüm kümesi, \( -3 \)'ten küçük tüm gerçek sayılardır. ✅

Bu örnekte dikkat etmemiz gereken önemli bir nokta var: \( x \)'in katsayısı negatif! 🚨

• 👉 Adım 1: Sabit Terimi Karşıya Atma
  Sol taraftaki \( 12 \) terimini sağ tarafa \( -12 \) olarak geçirelim:
  \[ -3x \le 6 - 12 \] \[ -3x \le -6 \]
• 👉 Adım 2: Her İki Tarafı Negatif Katsayıya Bölme
  Şimdi \( x \)'in katsayısı olan \( -3 \)'e, eşitsizliğin her iki tarafını da böleceğiz. Negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmelidir! 🔄
  \[ \frac{-3x}{-3} \ge \frac{-6}{-3} \] (Eşitsizlik yön değiştirdi: \( \le \) iken \( \ge \) oldu.)
  \[ x \ge 2 \]
• 👉 Adım 3: Sayı Doğrusunda Gösterme
  Sayı doğrusunda 2 noktasını buluruz. Eşitsizlik \( x \ge 2 \) olduğu için 2 sayısının kendisi çözüme dahildir. Bu yüzden 2 noktasının üzerine dolu bir yuvarlak çizeriz. Daha sonra 2'den büyük tüm sayıları kapsayacak şekilde sağ tarafı kalın bir çizgiyle belirtiriz. 💡
  

  ...<---|---|---|---|---|---|--->
  ... 0 1 (2) 3 4 5 ...
  (2'nin üzeri dolu daire, sağ tarafı kalın çizgi)

Bu problemde, Ali'nin harcayabileceği para miktarı için bir üst sınır verilmiştir. Bu durumu eşitsizlik kullanarak ifade edebiliriz. 💰

• 👉 Adım 1: Bilinmeyeni Tanımlama
  Ali'nin alabileceği elma miktarını \( x \) kilogram olarak belirleyelim.
• 👉 Adım 2: Eşitsizliği Kurma
  Bir kilogram elma 8 TL olduğuna göre, \( x \) kilogram elmanın maliyeti \( 8x \) TL olur. Ali'nin cebinde en fazla 60 TL olduğu için, harcayacağı miktar 60 TL'ye eşit veya 60 TL'den az olmalıdır. Yani:
  \[ 8x \le 60 \]
• 👉 Adım 3: Eşitsizliği Çözme
  Eşitsizliğin her iki tarafını 8'e bölelim:
  \[ \frac{8x}{8} \le \frac{60}{8} \] \[ x \le 7.5 \]
• 👉 Adım 4: Sonucu Yorumlama
  Bu sonuç, Ali'nin en fazla 7.5 kilogram elma alabileceği anlamına gelir. Ancak elma genellikle tam veya yarım kilogram gibi ölçülerle satıldığından, Ali'nin alabileceği en fazla miktar 7.5 kilogramdır. Eğer market sadece tam kilogram satıyorsa, Ali en fazla 7 kilogram alabilir. Ancak soruda böyle bir kısıt olmadığı için 7.5 kg geçerlidir. ✅

Bu problemde Can'ın üçüncü sınav notunu bulmak için bir eşitsizlik kurup çözeceğiz. Ortalama hesaplama bilgimizi kullanacağız. 💡

• 👉 Adım 1: Bilinmeyeni Tanımlama
  Can'ın üçüncü sınavdan alması gereken notu \( x \) ile gösterelim.
• 👉 Adım 2: Ortalamayı Hesaplama ve Eşitsizliği Kurma
  Üç sınavın ortalaması, notların toplamının 3'e bölünmesiyle bulunur:
  Ortalama = \( \frac{62 + 78 + x}{3} \)
  Geçme notu en az 70 olduğu için, ortalamanın 70'e eşit veya 70'ten büyük olması gerekir:
  \[ \frac{62 + 78 + x}{3} \ge 70 \] \[ \frac{140 + x}{3} \ge 70 \]
• 👉 Adım 3: Eşitsizliği Çözme
  Önce her iki tarafı 3 ile çarpalım:
  \[ 3 \times \frac{140 + x}{3} \ge 70 \times 3 \] \[ 140 + x \ge 210 \] Şimdi 140'ı karşıya atalım:
  \[ x \ge 210 - 140 \] \[ x \ge 70 \]
• 👉 Adım 4: Sonucu Yorumlama
  Can, üçüncü sınavdan en az 70 almalıdır ki, üç sınavın ortalaması geçme notuna eşit veya ondan yüksek olsun. ✅

Bu eşitsizlikte önce parantez içindeki ifadeyi dağıtma özelliğini kullanarak açmamız gerekiyor. 🛠️

• 👉 Adım 1: Parantezi Dağıtma
  Eşitsizliğin sol tarafındaki \( 3(x - 2) \) ifadesini açalım:
  \[ 3x - 6 + 5 \le 2x + 1 \] \[ 3x - 1 \le 2x + 1 \]
• 👉 Adım 2: \( x \) Terimlerini Bir Tarafta Toplama
  Sağ taraftaki \( 2x \) terimini sol tarafa \( -2x \) olarak geçirelim:
  \[ 3x - 2x - 1 \le 1 \] \[ x - 1 \le 1 \]
• 👉 Adım 3: Sabit Terimi Karşıya Atma
  Sol taraftaki \( -1 \) terimini sağ tarafa \( +1 \) olarak geçirelim:
  \[ x \le 1 + 1 \] \[ x \le 2 \]
• 👉 Adım 4: Çözüm Kümesini Belirtme
  Çözüm kümesi, 2'ye eşit veya 2'den küçük tüm gerçek sayılardır. ✅

Bu problemde verilen bilgilerden yola çıkarak önce annenin yaşını, ardından Ayşe'nin yaşını bir eşitsizlik olarak ifade edeceğiz. 🧐

• 👉 Adım 1: Bilinmeyenleri Tanımlama
  Annenin yaşına \( A \), Ayşe'nin yaşına \( Y \) diyelim.
• 👉 Adım 2: Verilen Bilgileri Eşitsizlik ve Denklem Olarak Yazma
  "Annesi 40 yaşından küçük olduğuna göre":
  \[ A < 40 \] "Ayşe'nin yaşı, annesinin yaşının yarısından 3 fazladır":
  \[ Y = \frac{A}{2} + 3 \]
• 👉 Adım 3: Ayşe'nin Yaşı İçin Eşitsizlik Kurma
  Annenin yaşı \( A < 40 \) olduğu için, Ayşe'nin yaşını veren denklemdeki \( A \) yerine 40'tan küçük bir değer koyarsak, Ayşe'nin yaşı da belirli bir değerden küçük olacaktır. \( A \) yerine \( 40 \) yazarsak Ayşe'nin yaşının alabileceği en büyük değeri buluruz, ancak bu değerin kendisi dahil değildir çünkü anne 40'tan küçüktür.
  \( Y < \frac{40}{2} + 3 \)
  \( Y < 20 + 3 \)
  \( Y < 23 \)
• 👉 Adım 4: Sonucu Yorumlama
  Ayşe'nin yaşı 23'ten küçük olmak zorundadır. Ayşe'nin yaşının alabileceği en büyük tam sayı değeri 23'ten küçük olan en büyük tam sayı, yani 22'dir. ✅