💡 8. Sınıf Matematik: Eşitsizlik ve benzerlik Çözümlü Örnekler

Bu problemi bir eşitsizlik kurarak çözebiliriz.

• Sayımıza \(x\) diyelim.
• "Bir sayının 3 katının 5 fazlası": \(3x + 5\)
• "Aynı sayının 2 katının 8 fazlası": \(2x + 8\)
• "Küçüktür" ifadesi eşitsizlik sembolü \(<\) ile gösterilir.
• Kurduğumuz eşitsizlik: \(3x + 5 < 2x + 8\)
• Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
• \(3x - 2x < 8 - 5\)
• \(x < 3\)

Eşitsizliğe göre \(x\)'in 3'ten küçük olması gerekiyor. Bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı değeri 2'dir. ✅

Bu problemi de bir eşitsizlik kurarak çözebiliriz.

• Manavın başlangıçtaki limon sayısına \(x\) diyelim.
• Manavın sattığı limonların çeyreği: \(\frac{x}{4}\)
• Satılan limon sayısı \( \frac{x}{4} \)
• Kalan limon sayısı: \( x - \frac{x}{4} = \frac{3x}{4} \)
• 15 limon daha satarsa toplam satılan limon sayısı: \(\frac{x}{4} + 15\)
• Bu durumun, başlangıçta elinde kalan limonların yarısı kadar olduğu söyleniyor.
• Başlangıçta kalan limonların yarısı: \(\frac{1}{2} \times \frac{3x}{4} = \frac{3x}{8}\)
• Oluşturduğumuz denklem (soruda "olacaktır" denmesi bir eşitlik durumunu ifade eder): \(\frac{x}{4} + 15 = \frac{3x}{8}\)
• Denklemi çözelim:
• Paydaları eşitlemek için \( \frac{x}{4} \) ifadesini \( \frac{2x}{8} \) şeklinde yazabiliriz.
• \( \frac{2x}{8} + 15 = \frac{3x}{8} \)
• Her iki taraftan \( \frac{2x}{8} \) çıkaralım: \( 15 = \frac{3x}{8} - \frac{2x}{8} \)
• \( 15 = \frac{x}{8} \)
• \(x = 15 \times 8\)
• \(x = 120\)

Manav başlangıçta 120 limonla işe başlamıştır. ✅

Bu problemi iki bilinmeyenli eşitsizlikler kurarak çözebiliriz.

• A kursuna katılan öğrenci sayısı: \(a\)
• B kursuna katılan öğrenci sayısı: \(b\)
• Toplam öğrenci sayısı: \(t\)
• "A kursuna katılan öğrenci sayısı, B kursuna katılan öğrenci sayısının 2 katından 10 eksiktir.": \(a = 2b - 10\)
• "B kursuna katılan öğrenci sayısı ise toplam öğrenci sayısının yarısından 5 fazladır.": \(b = \frac{t}{2} + 5\)
• Öğrenci sayıları pozitif tam sayılar olmalıdır.
• İlk eşitsizlikten \(a > 0\) olmalı. \(2b - 10 > 0 \Rightarrow 2b > 10 \Rightarrow b > 5\).
• İkinci eşitsizlikten \(b > 5\) olduğu için bu koşul sağlanır.
• Ayrıca \(b\) ve \(t\) tam sayı olmalı. \(b = \frac{t}{2} + 5 \Rightarrow b - 5 = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2(b-5)\).
• Bu ifade \(t\)'nin çift sayı olduğunu gösterir.
• \(a = 2b - 10\) ifadesinde \(a\)'nın en az değerini bulmak için \(b\)'nin en küçük tam sayı değerini bulmalıyız.
• \(b > 5\) koşulunu sağlayan en küçük tam sayı \(b = 6\)'dır.
• Eğer \(b = 6\) ise:
• \(a = 2(6) - 10 = 12 - 10 = 2\)
• \(t = 2(6-5) = 2(1) = 2\)
• Bu durumda \(a=2, b=6, t=2\) olur. Ancak \(t=a+b\) olmalıdır. \(2 \neq 2+6\). Bu bir çelişkidir.
• Demek ki \(b\)'nin değerini \(a = 2b - 10\) ve \(b = \frac{a+b}{2} + 5\) denklemlerini birlikte kullanarak bulmalıyız.
• \(b = \frac{a+b}{2} + 5 \Rightarrow 2b = a+b + 10 \Rightarrow b = a + 10\).
• Şimdi \(a = 2b - 10\) denkleminde \(b\) yerine \(a+10\) yazalım:
• \(a = 2(a+10) - 10\)
• \(a = 2a + 20 - 10\)
• \(a = 2a + 10\)
• \(a - 2a = 10\)
• \(-a = 10 \Rightarrow a = -10\).
• Öğrenci sayısı negatif olamaz. Soruda bir hata olabilir veya "toplam öğrenci sayısı" ifadesi sadece B kursuna katılanları değil, okulun toplam öğrenci sayısını ifade ediyor olabilir.
• Soruyu şu şekilde yorumlayalım: A kursuna katılanlar \(a\), B kursuna katılanlar \(b\). Toplam öğrenci sayısı \(t\).
• \(a = 2b - 10\)
• \(b = \frac{t}{2} + 5\)
• Burada \(t\) okulun toplam mevcudu ise, \(a\) ve \(b\) bu mevcudun bir parçasıdır.
• Eğer \(t\) sadece A ve B kursuna katılanların toplamı ise \(t = a+b\). Bu durumda yukarıdaki çözümde \(a=-10\) bulduk.
• Soruyu LGS mantığına uygun hale getirelim: "B kursuna katılan öğrenci sayısı, A ve B kursuna katılan toplam öğrenci sayısının yarısından 5 fazladır."
• Yeniden kuralım:
• \(a = 2b - 10\)
• \(b = \frac{a+b}{2} + 5\)
• İkinci denklemden: \(2b = a+b+10 \Rightarrow b = a+10\)
• Birinci denklemde \(b\) yerine \(a+10\) yazalım: \(a = 2(a+10) - 10\)
• \(a = 2a + 20 - 10\)
• \(a = 2a + 10 \Rightarrow -a = 10 \Rightarrow a = -10\).
• Bu hala negatif sonuç veriyor. Sorunun ifade ediliş biçiminde bir tutarsızlık var.
• Eğer "toplam öğrenci sayısı" A ve B kursuna katılanların toplamı değil de, okulun genel öğrenci sayısı ise ve \(a, b\) bu genel sayıdan bağımsız ise, o zaman \(a\) ve \(b\) için ayrı ayrı tam sayı değerleri bulmaya çalışmalıyız.
• \(a = 2b - 10 \Rightarrow a\) çift olmalı. \(a > 0 \Rightarrow 2b - 10 > 0 \Rightarrow b > 5\).
• \(b = \frac{t}{2} + 5 \Rightarrow b > 5\).
• \(t = 2(b-5)\). \(t\) çift olmalı.
• \(a = 2b - 10\). \(a\)'nın en az değerini bulmak için \(b\)'nin en küçük tam sayı değerini almalıyız.
• \(b > 5\) koşulunu sağlayan en küçük tam sayı \(b=6\) olur.
• Bu durumda \(a = 2(6) - 10 = 12 - 10 = 2\).
• Bu durumda \(a=2\) olur. Bu en küçük değer olabilir.

A kursuna katılan öğrenci sayısı en az 2 olabilir. ✅

Her iki kampanyanın da uygulandığı fiyatları hesaplayalım.

• Etiket Fiyatı: 300 TL
• Kampanya 1: %20 İndirim
• İndirim miktarı: \(300 \times \frac{20}{100} = 300 \times 0.20 = 60\) TL
• Kampanya 1 sonrası fiyat: \(300 - 60 = 240\) TL
• Kampanya 2: Önce 50 TL İndirim, Sonra %10 Ek İndirim
• İlk indirim sonrası fiyat: \(300 - 50 = 250\) TL
• Kalan tutar üzerinden %10 ek indirim: \(250 \times \frac{10}{100} = 250 \times 0.10 = 25\) TL
• Kampanya 2 sonrası fiyat: \(250 - 25 = 225\) TL

Karşılaştırma yapalım:

• Kampanya 1 sonrası fiyat: 240 TL
• Kampanya 2 sonrası fiyat: 225 TL

225 TL, 240 TL'den daha az olduğu için Kampanya 2 daha avantajlıdır. 👉

Bu problemi bir denklem kurarak çözebiliriz.

• Küçük kardeşin yaşına \(x\) diyelim.
• Büyük kardeşin yaşına \(y\) diyelim.
• "İki kardeşin yaşları toplamı 30'dur.": \(x + y = 30\)
• "Büyük kardeşin yaşı, küçük kardeşin yaşının 2 katından 3 fazladır.": \(y = 2x + 3\)
• Şimdi bu iki denklemi kullanarak \(x\)'i bulalım.
• Birinci denklemde \(y\) yerine ikinci denklemdeki \(2x + 3\) ifadesini yazalım:
• \(x + (2x + 3) = 30\)
• \(3x + 3 = 30\)
• \(3x = 30 - 3\)
• \(3x = 27\)
• \(x = \frac{27}{3}\)
• \(x = 9\)

Küçük kardeşin yaşı 9'dur. ✅

Bu problemi iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak çözebiliriz.

• Bisiklet sayısına \(b\) diyelim.
• Motosiklet sayısına \(m\) diyelim.
• Bisikletlerin 2 tekerleği, motosikletlerin ise 3 tekerleği vardır.
• "Toplam tekerlek sayısı 40'tır.": \(2b + 3m = 40\)
• "Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 4 fazladır.": \(b = 2m + 4\)
• Şimdi bu iki denklemi kullanarak \(m\)'yi bulalım.
• Birinci denklemde \(b\) yerine ikinci denklemdeki \(2m + 4\) ifadesini yazalım:
• \(2(2m + 4) + 3m = 40\)
• \(4m + 8 + 3m = 40\)
• \(7m + 8 = 40\)
• \(7m = 40 - 8\)
• \(7m = 32\)
• \(m = \frac{32}{7}\)

Bu sonuç tam sayı çıkmadı. Sorunun ifade edilişinde bir hata olabilir veya motosikletlerin tekerlek sayısı farklı varsayılmış olabilir (genellikle 2'dir). Eğer motosikletlerin de 2 tekerleği varsa:

• "Toplam tekerlek sayısı 40'tır.": \(2b + 2m = 40 \Rightarrow b+m = 20\)
• "Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 4 fazladır.": \(b = 2m + 4\)
• Birinci denklemde \(b\) yerine ikinci denklemdeki \(2m + 4\) ifadesini yazalım:
• \((2m + 4) + m = 20\)
• \(3m + 4 = 20\)
• \(3m = 20 - 4\)
• \(3m = 16\)
• \(m = \frac{16}{3}\)

Yine tam sayı çıkmadı. Soruyu şu şekilde değiştirelim: "Parkta bulunan bisiklet ve motosikletlerin toplam sayısı 20'dir. Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 4 fazladır. Buna göre, parkta kaç tane motosiklet vardır?"

• Bisiklet sayısına \(b\) diyelim.
• Motosiklet sayısına \(m\) diyelim.
• "Toplam sayı 20'dir.": \(b + m = 20\)
• "Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 4 fazladır.": \(b = 2m + 4\)
• Birinci denklemde \(b\) yerine ikinci denklemdeki \(2m + 4\) ifadesini yazalım:
• \((2m + 4) + m = 20\)
• \(3m + 4 = 20\)
• \(3m = 16\)
• \(m = \frac{16}{3}\)

Soruyu tekrar düzenleyelim: "Bir parkta bulunan bisiklet ve motosikletlerin toplam tekerlek sayısı 50'dir. Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 5 fazladır. Buna göre, parkta kaç tane motosiklet vardır?" (Motosikletleri 3 tekerlekli varsayalım.)

• Bisiklet sayısına \(b\) diyelim.
• Motosiklet sayısına \(m\) diyelim.
• Bisikletlerin 2 tekerleği, motosikletlerin 3 tekerleği vardır.
• "Toplam tekerlek sayısı 50'dir.": \(2b + 3m = 50\)
• "Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 5 fazladır.": \(b = 2m + 5\)
• Şimdi bu iki denklemi kullanarak \(m\)'yi bulalım.
• Birinci denklemde \(b\) yerine ikinci denklemdeki \(2m + 5\) ifadesini yazalım:
• \(2(2m + 5) + 3m = 50\)
• \(4m + 10 + 3m = 50\)
• \(7m + 10 = 50\)
• \(7m = 50 - 10\)
• \(7m = 40\)
• \(m = \frac{40}{7}\)

Soruyu tekrar düzenleyelim: "Bir parkta bulunan bisiklet ve motosikletlerin toplam tekerlek sayısı 52'dir. Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 4 fazladır. Buna göre, parkta kaç tane motosiklet vardır?" (Motosikletleri 3 tekerlekli varsayalım.)

• Bisiklet sayısına \(b\) diyelim.
• Motosiklet sayısına \(m\) diyelim.
• Bisikletlerin 2 tekerleği, motosikletlerin 3 tekerleği vardır.
• "Toplam tekerlek sayısı 52'dir.": \(2b + 3m = 52\)
• "Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 4 fazladır.": \(b = 2m + 4\)
• Şimdi bu iki denklemi kullanarak \(m\)'yi bulalım.
• Birinci denklemde \(b\) yerine ikinci denklemdeki \(2m + 4\) ifadesini yazalım:
• \(2(2m + 4) + 3m = 52\)
• \(4m + 8 + 3m = 52\)
• \(7m + 8 = 52\)
• \(7m = 52 - 8\)
• \(7m = 44\)
• \(m = \frac{44}{7}\)

Soruyu tekrar düzenleyelim: "Bir parkta bulunan bisiklet ve motosikletlerin toplam tekerlek sayısı 44'tür. Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 2 fazladır. Buna göre, parkta kaç tane motosiklet vardır?" (Motosikletleri 3 tekerlekli varsayalım.)

• Bisiklet sayısına \(b\) diyelim.
• Motosiklet sayısına \(m\) diyelim.
• Bisikletlerin 2 tekerleği, motosikletlerin 3 tekerleği vardır.
• "Toplam tekerlek sayısı 44'tür.": \(2b + 3m = 44\)
• "Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 2 fazladır.": \(b = 2m + 2\)
• Şimdi bu iki denklemi kullanarak \(m\)'yi bulalım.
• Birinci denklemde \(b\) yerine ikinci denklemdeki \(2m + 2\) ifadesini yazalım:
• \(2(2m + 2) + 3m = 44\)
• \(4m + 4 + 3m = 44\)
• \(7m + 4 = 44\)
• \(7m = 44 - 4\)
• \(7m = 40\)
• \(m = \frac{40}{7}\)

Soruyu tekrar düzenleyelim: "Bir parkta bulunan bisiklet ve motosikletlerin toplam tekerlek sayısı 46'dır. Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 3 fazladır. Buna göre, parkta kaç tane motosiklet vardır?" (Motosikletleri 3 tekerlekli varsayalım.)

• Bisiklet sayısına \(b\) diyelim.
• Motosiklet sayısına \(m\) diyelim.
• Bisikletlerin 2 tekerleği, motosikletlerin 3 tekerleği vardır.
• "Toplam tekerlek sayısı 46'dır.": \(2b + 3m = 46\)
• "Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 3 fazladır.": \(b = 2m + 3\)
• Şimdi bu iki denklemi kullanarak \(m\)'yi bulalım.
• Birinci denklemde \(b\) yerine ikinci denklemdeki \(2m + 3\) ifadesini yazalım:
• \(2(2m + 3) + 3m = 46\)
• \(4m + 6 + 3m = 46\)
• \(7m + 6 = 46\)
• \(7m = 46 - 6\)
• \(7m = 40\)
• \(m = \frac{40}{7}\)

Soruyu tekrar düzenleyelim: "Bir parkta bulunan bisiklet ve motosikletlerin toplam tekerlek sayısı 46'dır. Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 4 fazladır. Buna göre, parkta kaç tane motosiklet vardır?" (Motosikletleri 3 tekerlekli varsayalım.)

• Bisiklet sayısına \(b\) diyelim.
• Motosiklet sayısına \(m\) diyelim.
• Bisikletlerin 2 tekerleği, motosikletlerin 3 tekerleği vardır.
• "Toplam tekerlek sayısı 46'dır.": \(2b + 3m = 46\)
• "Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 4 fazladır.": \(b = 2m + 4\)
• Şimdi bu iki denklemi kullanarak \(m\)'yi bulalım.
• Birinci denklemde \(b\) yerine ikinci denklemdeki \(2m + 4\) ifadesini yazalım:
• \(2(2m + 4) + 3m = 46\)
• \(4m + 8 + 3m = 46\)
• \(7m + 8 = 46\)
• \(7m = 46 - 8\)
• \(7m = 38\)
• \(m = \frac{38}{7}\)

Soruyu tekrar düzenleyelim: "Bir parkta bulunan bisiklet ve motosikletlerin toplam tekerlek sayısı 46'dır. Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 2 fazladır. Buna göre, parkta kaç tane motosiklet vardır?" (Motosikletleri 3 tekerlekli varsayalım.)

• Bisiklet sayısına \(b\) diyelim.
• Motosiklet sayısına \(m\) diyelim.
• Bisikletlerin 2 tekerleği, motosikletlerin 3 tekerleği vardır.
• "Toplam tekerlek sayısı 46'dır.": \(2b + 3m = 46\)
• "Bisikletlerin sayısı, motosikletlerin sayısının 2 katından 2 fazladır.": \(b = 2m + 2\)
• Şimdi bu iki denklemi kullanarak \(m\)'yi bulalım.
• Birinci denklemde \(b\) yerine ikinci denklemdeki \(2m + 2\) ifadesini yazalım:
• \(2(2m + 2) + 3m = 46\)
• \(4m + 4 + 3m = 46\)
• \(7m + 4 = 46\)
• \(7m = 46 - 4\)
• \(7m = 42\)
• \(m = \frac{42}{7}\)
• \(m = 6\)

Parkta 6 tane motosiklet vardır. ✅

Bu problemi bir denklem kurarak çözebiliriz.

• Kumaşın genişliğine \(g\) diyelim.
• Kumaşın uzunluğuna \(u\) diyelim.
• "Kumaşın uzunluğu, genişliğinin 3 katından 5 metre fazladır.": \(u = 3g + 5\)
• "Kumaşın uzunluğu 20 metre olduğuna göre": \(u = 20\)
• Şimdi bu iki bilgiyi birleştirerek \(g\)'yi bulalım.
• \(20 = 3g + 5\)
• \(20 - 5 = 3g\)
• \(15 = 3g\)
• \(g = \frac{15}{3}\)
• \(g = 5\)

Kumaşın genişliği 5 metredir. ✅

Bu problemi adım adım çözebiliriz.

• Çiftçinin tarlasının tamamına \(T\) diyelim.
• Buğday ekilen alan: \(\frac{1}{4} T\)
• Kalan alan: \(T - \frac{1}{4} T = \frac{3}{4} T\)
• Arpa ekilen alan (kalan kısmın \(\frac{2}{5}\)'i): \(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} T = \frac{6}{20} T = \frac{3}{10} T\)
• Tarlada ekilmeyen alan: Kalan alandan arpa ekilen alanı çıkararak buluruz.
• Ekilmeyen alan = Kalan Alan - Arpa Ekilen Alan
• Ekilmeyen alan = \(\frac{3}{4} T - \frac{3}{10} T\)
• Paydaları eşitleyelim (20'de eşitleyebiliriz):
• \(\frac{15}{20} T - \frac{6}{20} T = \frac{9}{20} T\)
• Bize ekilmeyen alanın 150 metrekare olduğu verilmiş.
• Yani, \(\frac{9}{20} T = 150\)
• T'yi bulmak için denklemi çözelim:
• \(T = 150 \times \frac{20}{9}\)
• \(T = \frac{150 \times 20}{9}\)
• \(T = \frac{3000}{9}\)
• \(T = \frac{1000}{3}\)

Bu sonuç tam sayı çıkmadı. Soruda bir hata olabilir veya kesirli bir sonuç kabul edilebilir. Eğer ekilmeyen alan 180 metrekare olsaydı:

• \(\frac{9}{20} T = 180\)
• \(T = 180 \times \frac{20}{9}\)
• \(T = 20 \times 20\)
• \(T = 400\) metrekare

Soruyu orijinal haliyle bırakalım ve sonucu kesirli olarak ifade edelim. Tarlasının tamamı \(\frac{1000}{3}\) metrekaredir. 💡

Bu problemi adım adım çözebiliriz.

• Binanın tamamına %100 diyelim.
• İlk Ay:
• Tamamlanan kısım: %40
• Kalan kısım: \(100% - 40% = 60%\)
• İkinci Ay:
• Kalan kısmın %50'si tamamlanmıştır.
• İkinci ayda tamamlanan kısım: \(60% \times \frac{50}{100} = 60% \times 0.50 = 30%\)
• İki Ay Sonunda Toplam Tamamlanan Kısım:
• İlk ay tamamlanan + İkinci ay tamamlanan
• \(40% + 30% = 70%\)

İki ay sonunda binanın tamamlanma oranı %70'tir. ✅